Topología

La topología (de las palabras griegas τόπος , 'lugar, ubicación', y λόγος , 'estudio') es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de un objeto geométrico que se conservan bajo deformaciones continuas , como estiramiento , torsión , arrugamiento y flexión; es decir, sin cerrar agujeros, abrir agujeros, rasgar, pegar o pasar a través de sí mismo.

Un espacio topológico es un conjunto dotado de una estructura, llamada topología , que permite definir deformaciones continuas de subespacios, y, de forma más general, todo tipo de continuidad . Los espacios euclídeos , y, de forma más general, los espacios métricos son ejemplos de espacios topológicos, pues cualquier distancia o métrica define una topología. Las deformaciones que se consideran en topología son los homeomorfismos y las homotopías . Una propiedad que es invariante bajo tales deformaciones es una propiedad topológica . Son ejemplos básicos de propiedades topológicas los siguientes: la dimensión , que permite distinguir entre una línea y una superficie ; la compacidad , que permite distinguir entre una línea y un círculo; la conexidad , que permite distinguir un círculo de dos círculos no intersecantes.

Las ideas que sustentan la topología se remontan a Gottfried Wilhelm Leibniz , quien en el siglo XVII imaginó la geometria situs y el analysis situs . El problema de los siete puentes de Königsberg y la fórmula del poliedro de Leonhard Euler son posiblemente los primeros teoremas de la disciplina. El término topología fue introducido por Johann Benedict Listing en el siglo XIX, aunque no fue hasta las primeras décadas del siglo XX cuando se desarrolló la idea de un espacio topológico.

La idea que motiva la topología es que algunos problemas geométricos no dependen de la forma exacta de los objetos en cuestión, sino más bien de la manera en que se los une. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas propiedades en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos dividen el plano en dos partes, la parte interior y la parte exterior.

En uno de los primeros artículos sobre topología, Leonhard Euler demostró que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (actualmente Kaliningrado ) que cruzara cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no dependía de la longitud de los puentes ni de su distancia entre sí, sino solo de las propiedades de conectividad: qué puentes conectan con qué islas o riberas. Este problema de los siete puentes de Königsberg condujo a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos .

De manera similar, el teorema de la bola peluda de la topología algebraica dice que "no se puede peinar el pelo de una bola peluda sin crear un remolino de pelo ". Este hecho convence inmediatamente a la mayoría de las personas, aunque tal vez no reconozcan la afirmación más formal del teorema, que no existe ningún campo vectorial tangente continuo no nulo en la esfera. Al igual que con los Puentes de Königsberg , el resultado no depende de la forma de la esfera; se aplica a cualquier tipo de mancha lisa, siempre que no tenga agujeros.

Para tratar estos problemas que no dependen de la forma exacta de los objetos, hay que tener claro en qué propiedades se basan. De esta necesidad surge la noción de homeomorfismo . La imposibilidad de cruzar cada puente sólo una vez se aplica a cualquier disposición de puentes homeomorfos a los de Königsberg, y el teorema de la bola peluda se aplica a cualquier espacio homeomorfo a una esfera.

Intuitivamente, dos espacios son homeomorfos si uno puede deformarse para convertirse en el otro sin cortar ni pegar. Un chiste tradicional es que un topólogo no puede distinguir una taza de café de un donut, ya que un donut suficientemente maleable podría transformarse en una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se encoge el agujero para convertirlo en un asa. ^[1]

El homeomorfismo puede considerarse la equivalencia topológica más básica . Otra es la equivalencia homotópica . Esta es más difícil de describir sin entrar en tecnicismos, pero la noción esencial es que dos objetos son homotópicamente equivalentes si ambos resultan de "aplastar" un objeto más grande.

La topología, como disciplina matemática bien definida, se origina a principios del siglo XX, pero algunos resultados aislados se remontan a varios siglos atrás. ^[2] Entre ellos se encuentran ciertas cuestiones de geometría investigadas por Leonhard Euler . Su artículo de 1736 sobre los Siete Puentes de Königsberg se considera una de las primeras aplicaciones prácticas de la topología. ^[2] El 14 de noviembre de 1750, Euler le escribió a un amigo que se había dado cuenta de la importancia de las aristas de un poliedro . Esto condujo a su fórmula del poliedro , V − E + F = 2 (donde V , E y F indican respectivamente el número de vértices, aristas y caras del poliedro). Algunas autoridades consideran este análisis como el primer teorema, que señala el nacimiento de la topología. ^[3]

Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann y Enrico Betti realizaron contribuciones adicionales . ^[4] Listing introdujo el término "Topologie" en Vorstudien zur Topologie , escrito en su alemán nativo, en 1847, habiendo usado la palabra durante diez años en correspondencia antes de su primera aparición impresa. ^[5] La forma inglesa "topology" fue utilizada en 1883 en el obituario de Listing en la revista Nature para distinguir "la geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que se tratan principalmente las relaciones cuantitativas". ^[6]

Su trabajo fue corregido, consolidado y ampliado en gran medida por Henri Poincaré . En 1895, publicó su artículo innovador sobre Análisis Situs , que introdujo los conceptos ahora conocidos como homotopía y homología , que ahora se consideran parte de la topología algebraica . ^[4]

Unificando el trabajo sobre espacios funcionales de Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. ^[7] Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general, y cualquier espacio topológico dado puede dar lugar a muchos espacios métricos distintos. En 1914, Felix Hausdorff acuñó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama espacio de Hausdorff . ^[8] Actualmente, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski . ^[9]

La topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría de conjuntos, desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Además de establecer las ideas básicas de la teoría de conjuntos, Cantor consideró los conjuntos de puntos en el espacio euclidiano como parte de su estudio de las series de Fourier . Para más desarrollos, véase topología de conjuntos de puntos y topología algebraica.

El Premio Abel 2022 fue otorgado a Dennis Sullivan "por sus contribuciones innovadoras a la topología en su sentido más amplio, y en particular sus aspectos algebraicos, geométricos y dinámicos". ^[10]

El término topología también se refiere a una idea matemática específica que es central en el área de las matemáticas llamada topología. De manera informal, una topología describe cómo los elementos de un conjunto se relacionan espacialmente entre sí. El mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la línea real , el plano complejo y el conjunto de Cantor pueden considerarse como el mismo conjunto con diferentes topologías.

Formalmente, sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se llama una topología en X si:

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ .
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ .
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ .

Si τ es una topología sobre X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico. La notación X _τ puede utilizarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ . Por definición, cada topología es un π -sistema .

Los miembros de τ se denominan conjuntos abiertos en X . Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (un conjunto clopen ) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X son siempre cerrados y abiertos. Un subconjunto abierto de X que contiene un punto x se denomina entorno de x .

Una función o aplicación de un espacio topológico a otro se llama continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. Si la función asigna los números reales a los números reales (ambos espacios con la topología estándar), entonces esta definición de continua es equivalente a la definición de continua en cálculo . Si una función continua es biunívoca y sobre , y si la inversa de la función también es continua, entonces la función se llama homeomorfismo y se dice que el dominio de la función es homeomorfo al rango. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomorfos, tienen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomorfos, al igual que la taza de café y la dona. Sin embargo, la esfera no es homeomorfa a la dona.

Aunque los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de la topología se centran en la clase más familiar de espacios conocidos como variedades. Una variedad es un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad n -dimensional tiene un vecindario que es homeomorfo al espacio euclidiano de dimensión n . Las líneas y los círculos , pero no los ochos , son variedades unidimensionales. Las variedades bidimensionales también se denominan superficies , aunque no todas las superficies son variedades. Los ejemplos incluyen el plano , la esfera y el toro, que pueden realizarse sin autointersección en tres dimensiones, y la botella de Klein y el plano proyectivo real , que no pueden (es decir, todas sus realizaciones son superficies que no son variedades).

La topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos que se utilizan en topología. ^{[11] [12]} Es la base de la mayoría de las demás ramas de la topología, incluidas la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos puntuales.

El objeto básico de estudio son los espacios topológicos , que son conjuntos dotados de una topología , es decir, una familia de subconjuntos , llamados conjuntos abiertos , que está cerrada bajo intersecciones finitas y uniones (finitas o infinitas) . Los conceptos fundamentales de la topología, como continuidad , compacidad y conexidad , pueden definirse en términos de conjuntos abiertos. Intuitivamente, las funciones continuas llevan puntos cercanos a puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conexos son conjuntos que no pueden dividirse en dos partes que estén muy separadas. Las palabras cercano , arbitrariamente pequeño y muy separado pueden precisarse utilizando conjuntos abiertos. Se pueden definir varias topologías en un espacio dado. Cambiar una topología consiste en cambiar la colección de conjuntos abiertos. Esto cambia qué funciones son continuas y qué subconjuntos son compactos o conexos.

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde la distancia entre dos puntos cualesquiera está definida por una función llamada métrica . En un espacio métrico, un conjunto abierto es una unión de discos abiertos, donde un disco abierto de radio r centrado en x es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a x es menor que r . Muchos espacios comunes son espacios topológicos cuya topología puede definirse mediante una métrica. Este es el caso de la línea real , el plano complejo , los espacios vectoriales reales y complejos y los espacios euclidianos . Tener una métrica simplifica muchas demostraciones.

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra para estudiar los espacios topológicos. ^[13] El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente la mayoría los clasifican hasta la equivalencia de homotopía.

Los más importantes de estos invariantes son los grupos de homotopía , homología y cohomología .

Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite demostrar de forma cómoda que cualquier subgrupo de un grupo libre es a su vez un grupo libre.

La topología diferencial es el campo que trata de funciones diferenciables en variedades diferenciables . ^[14] Está estrechamente relacionada con la geometría diferencial y juntas conforman la teoría geométrica de variedades diferenciables.

Más específicamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren solo una estructura suave en una variedad para ser definidas. Las variedades suaves son "más suaves" que las variedades con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstáculos para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave; es decir, se pueden "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.

La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en variedades de baja dimensión (es decir, espacios de dimensiones 2, 3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye algo de topología de mayor dimensión. ^[15] Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son orientabilidad , descomposiciones de manejadores , planicidad local , arrugamiento y el teorema de Schönflies plano y de mayor dimensión .

En la topología de alta dimensión, las clases características son un invariante básico y la teoría de la cirugía es una teoría clave.

La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones (toda superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva /esférica, curvatura cero/plana y curvatura negativa/hiperbólica) y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones (cada 3-variedad se puede cortar en pedazos, cada uno de los cuales tiene una de ocho geometrías posibles).

La topología bidimensional puede estudiarse como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas) – por el teorema de uniformización cada clase conforme de métricas es equivalente a una única clase compleja, y la topología 4-dimensional puede estudiarse desde el punto de vista de la geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no toda 4-variedad admite una estructura compleja.

Ocasionalmente, es necesario utilizar las herramientas de la topología, pero no se dispone de un "conjunto de puntos". En la topología sin puntos, se considera en cambio la red de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, ^[16] mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas sobre categorías arbitrarias que permiten la definición de haces sobre esas categorías y, con ello, la definición de teorías generales de cohomología. ^[17]

La topología se ha utilizado para estudiar varios sistemas biológicos, incluidas las moléculas y la nanoestructura (por ejemplo, objetos membranosos). En particular, la topología de circuitos y la teoría de nudos se han aplicado ampliamente para clasificar y comparar la topología de proteínas plegadas y ácidos nucleicos. La topología de circuitos clasifica las cadenas moleculares plegadas en función de la disposición por pares de sus contactos intracadena y los cruces de cadenas. La teoría de nudos , una rama de la topología, se utiliza en biología para estudiar los efectos de ciertas enzimas en el ADN. Estas enzimas cortan, retuercen y reconectan el ADN, lo que provoca la formación de nudos con efectos observables como una electroforesis más lenta . ^[18]

El análisis de datos topológicos utiliza técnicas de la topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal ). El principal método utilizado por el análisis de datos topológicos es:

1. Reemplazar un conjunto de puntos de datos con una familia de complejos simpliciales , indexados por un parámetro de proximidad.
2. Analice estos complejos topológicos a través de la topología algebraica, específicamente, a través de la teoría de homología persistente . ^[19]
3. Codifique la homología persistente de un conjunto de datos en forma de una versión parametrizada de un número de Betti , que se denomina código de barras. ^[19]

Varias ramas de la semántica de los lenguajes de programación , como la teoría de dominios , se formalizan utilizando la topología. En este contexto, Steve Vickers , basándose en el trabajo de Samson Abramsky y Michael B. Smyth, caracteriza los espacios topológicos como álgebras booleanas o de Heyting sobre conjuntos abiertos, que se caracterizan como propiedades semidecidibles (equivalentemente, finitamente observables). ^[20]

La topología es relevante para la física en áreas como la física de la materia condensada , ^[21] la teoría cuántica de campos y la cosmología física .

La dependencia topológica de las propiedades mecánicas en sólidos es de interés en las disciplinas de ingeniería mecánica y ciencia de los materiales . Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de red de las moléculas y las unidades elementales en los materiales. ^[22] La resistencia a la compresión de las topologías arrugadas se estudia en los intentos de comprender la alta resistencia al peso de tales estructuras que son en su mayoría espacio vacío. ^[23] La topología es de mayor importancia en la mecánica de contacto , donde la dependencia de la rigidez y la fricción de la dimensionalidad de las estructuras de la superficie es el tema de interés con aplicaciones en la física de múltiples cuerpos.

Una teoría cuántica de campos topológicos (o teoría cuántica de campos topológicos o TQFT) es una teoría cuántica de campos que calcula invariantes topológicos .

Aunque las TQFT fueron inventadas por físicos, también son de interés matemático, estando relacionadas, entre otras cosas, con la teoría de nudos , la teoría de cuatro variedades en topología algebraica y la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica. Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por trabajos relacionados con la teoría de campos topológicos.

La clasificación topológica de las variedades de Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas , ya que diferentes variedades pueden sostener diferentes tipos de cuerdas. ^[24]

En cosmología, la topología se puede utilizar para describir la forma general del universo . ^[25] Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología del espacio-tiempo .

En materia condensada, una aplicación relevante para la física topológica proviene de la posibilidad de obtener corriente unidireccional, que es una corriente protegida de la retrodispersión. Fue descubierta por primera vez en electrónica con el famoso efecto Hall cuántico , y luego generalizada en otras áreas de la física, por ejemplo en fotónica ^[26] por FDM Haldane .

Las posibles posiciones de un robot se pueden describir mediante una variedad llamada espacio de configuración . ^[27] En el área de planificación del movimiento , se encuentran caminos entre dos puntos en el espacio de configuración. Estos caminos representan un movimiento de las articulaciones y otras partes del robot hacia la pose deseada. ^[28]

Los rompecabezas de desenredo se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas. ^{[29] [30] [31]}

Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear un camino ininterrumpido en un orden que rodee cada pieza y atraviese cada borde solo una vez. Este proceso es una aplicación del camino euleriano . ^[32]

• Geometry & Topology - una revista de investigación matemática centrada en la geometría y la topología y sus aplicaciones, publicada por Mathematical Sciences Publishers .
• Journal of Topology : una revista científica que publica artículos de alta calidad y importancia en topología, geometría y áreas adyacentes de las matemáticas.

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Wikilibros tiene más información sobre el tema: Topología

• "Topología, general". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Topología elemental: un primer curso Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• El Zoológico Topológico en el Centro de Geometría .
• Atlas de topología
• Notas de clases del curso de topología Aisling McCluskey y Brian McMaster, Topology Atlas.
• Glosario de topología
• Moscú 1935: La topología avanza hacia América, un ensayo histórico de Hassler Whitney .