Hiperplano

En geometría , un hiperplano es una generalización de un plano bidimensional en un espacio tridimensional a espacios matemáticos de dimensión arbitraria . Al igual que un plano en el espacio , un hiperplano es una hipersuperficie plana , un subespacio cuya dimensión es una menos que la del espacio circundante . Dos ejemplos de hiperplanos de menor dimensión son las líneas unidimensionales en un plano y los puntos de dimensión cero en una línea.

Lo más común es que el espacio ambiente sea un espacio euclidiano de dimensión n , en cuyo caso los hiperplanos son los "planos" de dimensión ( n  − 1) , cada uno de los cuales separa el espacio en dos semiespacios . ^[1] Una reflexión a través de un hiperplano es un tipo de movimiento ( transformación geométrica que preserva la distancia entre puntos), y el grupo de todos los movimientos es generado por las reflexiones. Un politopo convexo es la intersección de semiespacios.

En geometría no euclidiana , el espacio ambiental puede ser la esfera n -dimensional o el espacio hiperbólico , o más generalmente una forma espacial pseudo-riemanniana , y los hiperplanos son las hipersuperficies que consisten en todas las geodésicas a través de un punto que son perpendiculares a una geodésica normal específica .

En otros tipos de espacios ambientales, algunas propiedades del espacio euclidiano ya no son relevantes. Por ejemplo, en el espacio afín no existe el concepto de distancia, por lo que no hay reflexiones ni movimientos. En un espacio no orientable , como el espacio elíptico o el espacio proyectivo , no existe el concepto de semiplanos. En términos generales, la noción de hiperplano tiene sentido en cualquier espacio matemático en el que se defina el concepto de dimensión de un subespacio .

La diferencia de dimensión entre un subespacio y su espacio circundante se conoce como codimensión . Un hiperplano tiene codimensión 1 .

En geometría , un hiperplano de un espacio n -dimensional V es un subespacio de dimensión n  − 1, o equivalentemente, de codimensión  1 en  V. El espacio V puede ser un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín , o un espacio vectorial o un espacio proyectivo , y la noción de hiperplano varía correspondientemente ya que la definición de subespacio difiere en estos contextos; en todos los casos, sin embargo, cualquier hiperplano puede darse en coordenadas como la solución de una única ecuación algebraica (debido a la restricción de "codimensión 1") de grado 1.

Si V es un espacio vectorial, se distinguen "hiperplanos vectoriales" (que son subespacios lineales y, por lo tanto, deben pasar por el origen) e "hiperplanos afines" (que no necesitan pasar por el origen; se pueden obtener por traslación de un hiperplano vectorial). Un hiperplano en un espacio euclidiano separa ese espacio en dos semiespacios y define una reflexión que fija el hiperplano e intercambia esos dos semiespacios.

Se definen varios tipos específicos de hiperplanos con propiedades que se adaptan bien a propósitos particulares. Algunas de estas especializaciones se describen aquí.

Un hiperplano afín es un subespacio afín de codimensión 1 en un espacio afín . En coordenadas cartesianas , un hiperplano de este tipo se puede describir con una única ecuación lineal de la siguiente forma (donde al menos una de las s es distinta de cero y es una constante arbitraria):$Estilo de visualización ai$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\ }$

En el caso de un espacio afín real, es decir cuando las coordenadas son números reales, este espacio afín separa el espacio en dos semiespacios, que son las componentes conexas del complemento del hiperplano, y están dadas por las desigualdades

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\ }$

y

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\ }$

Por ejemplo, un punto es un hiperplano en el espacio unidimensional, una línea es un hiperplano en el espacio bidimensional y un plano es un hiperplano en el espacio tridimensional. Una línea en el espacio tridimensional no es un hiperplano y no divide el espacio en dos partes (el complemento de dicha línea es conexo).

Cualquier hiperplano de un espacio euclidiano tiene exactamente dos vectores normales unitarios: . En particular, si consideramos que está dotado del producto interno convencional ( producto escalar ), entonces se puede definir el subespacio afín con vector normal y traslación al origen como el conjunto de todos los tales que .${\displaystyle \pm {\sombrero {n}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle {\tilde {b}}\in \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle {\hat {n}}\cdot (x-{\tilde {b}})=0}$

Los hiperplanos afines se utilizan para definir límites de decisión en muchos algoritmos de aprendizaje automático, como árboles de decisión de combinación lineal (oblicuos) y perceptrones .

En un espacio vectorial, un hiperplano vectorial es un subespacio de codimensión 1, que solo puede ser desplazado del origen por un vector, en cuyo caso se denomina plano . Un hiperplano de este tipo es la solución de una única ecuación lineal .

Los hiperplanos proyectivos se utilizan en geometría proyectiva . Un subespacio proyectivo es un conjunto de puntos con la propiedad de que para dos puntos cualesquiera del conjunto, todos los puntos de la línea determinada por los dos puntos están contenidos en el conjunto. ^[2] La geometría proyectiva puede verse como una geometría afín con puntos de fuga (puntos en el infinito) añadidos. Un hiperplano afín junto con los puntos asociados en el infinito forma un hiperplano proyectivo. Un caso especial de un hiperplano proyectivo es el hiperplano infinito o ideal , que se define con el conjunto de todos los puntos en el infinito.

En el espacio proyectivo, un hiperplano no divide el espacio en dos partes, sino que se necesitan dos hiperplanos para separar los puntos y dividir el espacio. La razón de esto es que el espacio esencialmente "se envuelve" de modo que ambos lados de un hiperplano solitario están conectados entre sí.

En geometría convexa , dos conjuntos convexos disjuntos en un espacio euclidiano n-dimensional están separados por un hiperplano, un resultado llamado teorema de separación de hiperplanos .

En el aprendizaje automático , los hiperplanos son una herramienta clave para crear máquinas de vectores de soporte para tareas como la visión artificial y el procesamiento del lenguaje natural .

El punto de datos y su valor predicho a través de un modelo lineal es un hiperplano.

El ángulo diedro entre dos hiperplanos no paralelos de un espacio euclidiano es el ángulo entre los vectores normales correspondientes . El producto de las transformaciones en los dos hiperplanos es una rotación cuyo eje es el subespacio de codimensión 2 obtenido al intersecar los hiperplanos, y cuyo ángulo es el doble del ángulo entre los hiperplanos.

Un hiperplano H se denomina hiperplano "de soporte" del poliedro P si P está contenido en uno de los dos semiespacios cerrados delimitados por H y . ^[3] La intersección de P y H se define como una "cara" del poliedro. La teoría de los poliedros y la dimensión de las caras se analizan observando estas intersecciones que involucran hiperplanos.${\displaystyle H\cap P\neq \varnothing}$

• Hipersuperficie
• Límite de decisión
• Teorema del sándwich de jamón
• Disposición de hiperplanos
• Teorema de apoyo al hiperplano

• Binmore, Ken G. (1980). Fundamentos del análisis topológico: una introducción sencilla: libro 2 Ideas topológicas. Cambridge University Press. pág. 13. ISBN 0-521-29930-6.
• Charles W. Curtis (1968) Álgebra lineal , página 62, Allyn & Bacon , Boston.
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable , página 7, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 . 
• Victor V. Prasolov y VM Tikhomirov (1997, 2001) Geometría , página 22, volumen 200 en Traducciones de monografías matemáticas , American Mathematical Society , Providence ISBN 0-8218-2038-9 . 

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• Weisstein, Eric W. "Hiperplano". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Plano". MathWorld .