Simetría icosaédrica

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Grupos de puntos seleccionados en tres dimensiones

Simetría involutiva C s , (*) [ ] =	Simetría cíclica C nv , (*nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (*n22) [n,2] =
Grupo poliédrico , [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica T d , (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O h , (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (*532) [5,3] =

En matemáticas, y especialmente en geometría, un objeto tiene simetría icosaédrica si tiene las mismas simetrías que un icosaedro regular . Ejemplos de otros poliedros con simetría icosaédrica incluyen el dodecaedro regular (el dual del icosaedro) y el triacontaedro rómbico .

Todo poliedro con simetría icosaédrica tiene 60 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación) y 60 simetrías que invierten la orientación (que combinan una rotación y una reflexión ), para un orden de simetría total de 120. El grupo de simetría completo es el grupo de Coxeter de tipo H ₃ . Puede representarse mediante la notación de Coxeter [5,3] y el diagrama de Coxeter. El conjunto de simetrías rotacionales forma un subgrupo que es isomorfo al grupo alterno A ₅ en 5 letras.

La simetría icosaédrica es una propiedad matemática de los objetos que indica que un objeto tiene las mismas simetrías que un icosaedro regular .

Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antiprismática, la simetría icosaédrica rotacional o simetría icosaédrica quiral de los objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o simetría icosaédrica aquiral son las simetrías puntuales discretas (o equivalentemente, simetrías en la esfera ) con los grupos de simetría más grandes .

La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría traslacional , por lo que no hay grupos puntuales ni grupos espaciales cristalográficos asociados .

Bueno.	Coxeter		Orbe.	Estructura abstracta	Orden
I	[5,3] +		532	Un 5	60
Yo soy	[5,3]		*532	Un 5 × 2	120

Las presentaciones correspondientes a lo anterior son:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Estos corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los grupos de triángulos (2,3,5) .

La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano . ^[1]

Téngase en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como grupo alterno (para I ).

El grupo de simetría completo es el grupo de Coxeter de tipo H ₃ . Puede representarse mediante la notación de Coxeter [5,3] y el diagrama de Coxeter El conjunto de simetrías rotacionales forma un subgrupo que es isomorfo al grupo alterno A ₅ en 5 letras.

Schoe. ( Orbe. )	Notación de Coxeter	Elementos	Diagramas de espejo
			Ortogonal	Proyección estereográfica
Yo tengo (*532)	[5,3]	Líneas de espejo : 15
Yo (532)	[5,3] +	Puntos de giro : 12 5 20 3 30 2

Cada poliedro con simetría icosaédrica tiene 60 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación) y 60 simetrías de inversión de la orientación (que combinan una rotación y una reflexión ), para un orden de simetría total de 120.

Las aristas de un compuesto esférico de cinco octaedros representan los 15 planos especulares como círculos máximos coloreados. Cada octaedro puede representar 3 planos especulares ortogonales por sus aristas.
La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro rojos de orden 3. Existen 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica.

ElEl grupo de rotación icosaédrica I es de orden 60. El grupoIesisomorfoaA₅, elgrupo alternantede permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo puede realizarse medianteIactuando sobre varios compuestos, en particular elcompuesto de cinco cubos(que se inscriben en eldodecaedro), elcompuesto de cinco octaedroso cualquiera de los doscompuestos de cinco tetraedros(que sonenantiomorfosy se inscriben en el dodecaedro). El grupo contiene 5 versiones deT_hcon 20 versiones deD ₃ (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones deD ₅ .

ElEl grupo icosaédrico completo I _h ​​tiene orden 120. Tienea Icomosubgrupo normaldeíndice2. El grupoI _h ​​es isomorfo aI×Z₂, oA₅×Z₂, con lainversión en el centrocorrespondiente al elemento (identidad, -1), dondeZ₂se escribe multiplicativamente.

I _h actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros , pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son simétricos centralmente). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros : I actúa sobre las dos mitades quirales ( compuestos de cinco tetraedros ), y −1 intercambia las dos mitades. Cabe destacar que no actúa como S ₅ , y estos grupos no son isomorfos; consulte a continuación para obtener más detalles.

El grupo contiene 10 versiones de D _3d y 6 versiones de D _5d (simetrías como antiprismas).

I también es isomorfo a PSL ₂ (5), pero I _h ​​no es isomorfo a SL ₂ (5).

Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A _{5 . En la siguiente tabla, las permutaciones P i} y Q _i actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación M _i son los elementos de I . Si P _k es el producto de tomar la permutación P _i y aplicarle P _j , entonces para los mismos valores de i , j y k , también es cierto que Q _k es el producto de tomar Q _i y aplicarle Q _j , y también que premultiplicar un vector por M _k es lo mismo que premultiplicar ese vector por M _i y luego premultiplicar ese resultado por M _j , es decir M _k = M _j × M _i . Dado que las permutaciones P _i son todas las 60 permutaciones pares de 12345, la correspondencia uno a uno se hace explícita, por lo tanto, también el isomorfismo.

Matriz de rotación	Permutación de 5 en 1 2 3 4 5	Permutación de 12 en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{1}$= ()	${\displaystyle Q_{1}}$= ()
${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{2}$= (3 4 5)	${\displaystyle Q_{2}}$= (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2 }}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{3}$= (3 5 4)	${\displaystyle Q_{3}}$= (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
${\displaystyle M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{4}$= (2 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{4}}$= (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
${\displaystyle M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{5}$= (2 3 4)	${\displaystyle Q_{5}}$= (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
${\displaystyle M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2} }\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{6}$= (2 3 5)	${\displaystyle Q_{6}}$= (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
${\displaystyle M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	$Estilo de visualización P_{7}$= (2 4 3)	${\displaystyle Q_{7}}$= (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
${\displaystyle M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{8}}$= (2 4 5)	${\displaystyle Q_{8}}$= (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
${\displaystyle M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{9}}$= (2 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{9}}$= (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
${\displaystyle M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{10}}$= (2 5 3)	${\displaystyle Q_{10}}$= (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
${\displaystyle M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{11}}$= (2 5 4)	${\displaystyle Q_{11}}$= (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
${\displaystyle M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{12}}$= (2 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{12}}$= (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
${\displaystyle M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{13}}$= (1 2)(4 5)	${\displaystyle Q_{13}}$= (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
${\displaystyle M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{14}}$= (1 2)(3 4)	${\displaystyle Q_{14}}$= (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
${\displaystyle M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{15}}$= (1 2)(3 5)	${\displaystyle Q_{15}}$= (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
${\displaystyle M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{16}}$= (1 2 3)	${\displaystyle Q_{16}}$= (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
${\displaystyle M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{17}}$= (1 2 3 4 5)	${\displaystyle Q_{17}}$= (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
${\displaystyle M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{18}}$= (1 2 3 5 4)	${\displaystyle Q_{18}}$= (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
${\displaystyle M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{19}}$= (1 2 4 5 3)	${\displaystyle Q_{19}}$= (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
${\displaystyle M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{20}}$= (1 2 4)	${\displaystyle Q_{20}}$= (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
${\displaystyle M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{21}}$= (1 2 4 3 5)	${\displaystyle Q_{21}}$= (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
${\displaystyle M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{22}}$= (1 2 5 4 3)	${\displaystyle Q_{22}}$= (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
${\displaystyle M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{23}}$= (1 2 5)	${\displaystyle Q_{23}}$= (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
${\displaystyle M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{24}}$= (1 2 5 3 4)	${\displaystyle Q_{24}}$= (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
${\displaystyle M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{25}}$= (1 3 2)	${\displaystyle Q_{25}}$= (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
${\displaystyle M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{26}}$= (1 3 4 5 2)	${\displaystyle Q_{26}}$= (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
${\displaystyle M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{27}}$= (1 3 5 4 2)	${\displaystyle Q_{27}}$= (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
${\displaystyle M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{28}}$= (1 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{28}}$= (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
${\displaystyle M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{29}}$= (1 3 4)	${\displaystyle Q_{29}}$= (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
${\displaystyle M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{30}}$= (1 3 5)	${\displaystyle Q_{30}}$= (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
${\displaystyle M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{31}}$= (1 3)(2 4)	${\displaystyle Q_{31}}$= (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
${\displaystyle M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{32}}$= (1 3 2 4 5)	${\displaystyle Q_{32}}$= (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
${\displaystyle M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{33}}$= (1 3 5 2 4)	${\displaystyle Q_{33}}$= (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
${\displaystyle M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{34}}$= (1 3)(2 5)	${\displaystyle Q_{34}}$= (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
${\displaystyle M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{35}}$= (1 3 2 5 4)	${\displaystyle Q_{35}}$= (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
${\displaystyle M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{36}}$= (1 3 4 2 5)	${\displaystyle Q_{36}}$= (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
${\displaystyle M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{37}}$= (1 4 5 3 2)	${\displaystyle Q_{37}}$= (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
${\displaystyle M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{38}}$= (1 4 2)	${\displaystyle Q_{38}}$= (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
${\displaystyle M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{39}}$= (1 4 3 5 2)	${\displaystyle Q_{39}}$= (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
${\displaystyle M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{40}}$= (1 4 3)	${\displaystyle Q_{40}}$= (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
${\displaystyle M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{41}}$= (1 4 5)	${\displaystyle Q_{41}}$= (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
${\displaystyle M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{42}}$= (1 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{42}}$= (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
${\displaystyle M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{43}}$= (1 4 5 2 3)	${\displaystyle Q_{43}}$= (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
${\displaystyle M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{44}}$= (1 4)(2 3)	${\displaystyle Q_{44}}$= (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
${\displaystyle M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{45}}$= (1 4 2 3 5)	${\displaystyle Q_{45}}$= (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
${\displaystyle M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{46}}$= (1 4 2 5 3)	${\displaystyle Q_{46}}$= (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
${\displaystyle M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{47}}$= (1 4 3 2 5)	${\displaystyle Q_{47}}$= (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
${\displaystyle M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{48}}$= (1 4)(2 5)	${\displaystyle Q_{48}}$= (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
${\displaystyle M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{49}}$= (1 5 4 3 2)	${\displaystyle Q_{49}}$= (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
${\displaystyle M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{50}}$= (1 5 2)	${\displaystyle Q_{50}}$= (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
${\displaystyle M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{51}}$= (1 5 3 4 2)	${\displaystyle Q_{51}}$= (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
${\displaystyle M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{52}}$= (1 5 3)	${\displaystyle Q_{52}}$= (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
${\displaystyle M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{53}}$= (1 5 4)	${\displaystyle Q_{53}}$= (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
${\displaystyle M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{54}}$= (1 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{54}}$= (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
${\displaystyle M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{55}}$= (1 5 4 2 3)	${\displaystyle Q_{55}}$= (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
${\displaystyle M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{56}}$= (1 5)(2 3)	${\displaystyle Q_{56}}$= (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
${\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{57}}$= (1 5 2 3 4)	${\displaystyle Q_{57}}$= (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
${\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{58}}$= (1 5 2 4 3)	${\displaystyle Q_{58}}$= (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
${\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{59}}$= (1 5 3 2 4)	${\displaystyle Q_{59}}$= (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
${\displaystyle M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{60}}$= (1 5)(2 4)	${\displaystyle Q_{60}}$= (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Los siguientes grupos tienen orden 120, pero no son isomorfos:

• S ₅ , el grupo simétrico de 5 elementos
• I _h , el grupo icosaédrico completo (objeto de este artículo, también conocido como H ₃ )
• 2 I , el grupo icosaédrico binario

Corresponden a las siguientes secuencias cortas exactas (la última de las cuales no se divide) y producto

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

En palabras,

• ${\displaystyle A_{5}}$es un subgrupo normal de${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$es un factor de , que es un producto directo${\displaystyle I_{h}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$es un grupo cociente de${\displaystyle 2I}$

Nótese que tiene una representación tridimensional irreducible excepcional (como el grupo de rotación icosaédrica), pero no tiene una representación tridimensional irreducible, lo que corresponde a que el grupo icosaédrico completo no sea el grupo simétrico.${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle S_{5}}$

Estos también pueden relacionarse con grupos lineales sobre el campo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y grupos de cobertura directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$el grupo lineal especial proyectivo , véase aquí una prueba;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$el grupo general lineal proyectivo ;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$El grupo lineal especial .

Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación.

Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) indica el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación.

Explicación de los colores: verde = los grupos que se generan por reflexiones, rojo = los grupos quirales (que preservan la orientación), que contienen solo rotaciones.

Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro.

La abreviatura "hts(edge)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y lo mismo ocurre con "cara" y "vértice".

Hermoso.	Coxeter		Orbe.	Su Majestad	Estructura	Cic.	Orden	Índice	Multiplica	Descripción
Yo soy	[5,3]		*532	53 2/metro	Un 5 × Z 2		120	1	1	grupo completo
D 2 horas	[2,2]		*222	mmm	D4 × D2 = D23​​		8	15	5	Arreglar dos bordes opuestos, posiblemente intercambiándolos
C 5v	[5]		*55	5 m	D10​		10	12	6	arreglando una cara
C 3v	[3]		*33	3 m	D6 = S3​		6	20	10	arreglando un vértice
C2v​	[2]		*22	2 mm	D4 = D22​​		4	30	15	arreglando un borde
C s	[ ]		*	2 o m	D2​		2	60	15	Reflexión que intercambia dos puntos finales de un borde
El​	[3 + ,4]		3*2	metros 3	Un 4 × Z2		24	5	5	grupo piritoédrico
D 5d	[2 + ,10]		2*5	10 m2	D20 = Z2 × D10​		20	6	6	Arreglar dos caras opuestas, posiblemente intercambiándolas
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3 metros	D12 = Z2 × D6​		12	10	10	Fijando dos vértices opuestos, posiblemente intercambiándolos
D1d = C2h​	[2 + ,2]		2*	2/metro	D4 = Z2 × D2​​		4	30	15	media vuelta alrededor del punto medio del borde, más inversión central
S 10	[2 + ,10 + ]		5×	5	Z10 = Z2 × Z5​		10	12	6	rotaciones de una cara, más inversión central
S 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z6 = Z2 × Z3​		6	20	10	rotaciones alrededor de un vértice, más inversión central
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	El 2		2	60	1	inversión central
I	[5,3] +		532	532	Un 5		60	2	1	todas las rotaciones
yo	[3,3] +		332	332	Un 4		12	10	5	rotaciones de un tetraedro contenido
D 5	[2,5] +		522	522	D10​		10	12	6	rotaciones alrededor del centro de una cara y hts(cara)
D3​	[2,3] +		322	322	D6 = S3​		6	20	10	rotaciones alrededor de un vértice y hts(vertex)
D2​	[2,2] +		222	222	D4 = Z22​​		4	30	5	media vuelta alrededor del punto medio del borde y hts(borde)
C 5	[5] +		55	5	Z5​		5	24	6	rotaciones alrededor del centro de una cara
C 3	[3] +		33	3	Z3 = A3​		3	40	10	rotaciones alrededor de un vértice
C 2	[2] +		22	2	El 2		2	60	15	media vuelta alrededor del punto medio del borde
C 1	[ ] +		11	1	El 1		1	120	1	grupo trivial

Los estabilizadores de un par opuesto de vértices pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.

• Los estabilizadores de vértice en I dan grupos cíclicos C ₃
• Los estabilizadores de vértice en I _h dan grupos diedros D ₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I dan grupos diedros D ₃
• Los estabilizadores de un par opuesto de vértices en I _h dan${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Los estabilizadores de un par de aristas opuestas pueden interpretarse como estabilizadores del rectángulo que generan.

• Los estabilizadores de bordes en I dan grupos cíclicos Z ₂
• Los estabilizadores de aristas en I _h dan lugar a los cuatro grupos de Klein ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• estabilizadores de un par de aristas en I doy cuatro grupos de Klein ; hay 5 de estos, dados por rotación de 180° en 3 ejes perpendiculares.${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• Los estabilizadores de un par de aristas en I _h dan ; hay 5 de estos, dados por reflexiones en 3 ejes perpendiculares.${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

Los estabilizadores de un par opuesto de caras pueden interpretarse como estabilizadores del antiprisma que generan.

• Los estabilizadores faciales en I dan grupos cíclicos C ₅
• Los estabilizadores faciales en I _h dan grupos diedros D ₅
• estabilizadores de un par opuesto de caras en I dan grupos diedros D ₅
• estabilizadores de un par opuesto de caras en I _h dan${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Para cada uno de éstos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da un mapa, de hecho un isomorfismo, .${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I son una copia de T
• Los estabilizadores de los tetraedros inscritos en I _h son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o pares opuestos de tetraedros u octaedros) en I son una copia de T
• Los estabilizadores de los cubos inscritos (o pares opuestos de tetraedros u octaedros) en I _h son una copia de T _h

El grupo de simetría icosaédrica completo [5,3] () de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión R ₀ , R ₁ , R ₂ a continuación, con relaciones R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = Identidad. El grupo [5,3] ⁺ () de orden 60 se genera por dos rotaciones cualesquiera S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Una rotorreflexión de orden 10 se genera por V _0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones. Aquí denota la proporción áurea .${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

[5,3],

	Reflexiones			Rotaciones			Reflexión rotatoria
Nombre	R0​	R1​	R2​	S 0,1	S 1,2	S 0,2	V 0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	5	3	2	10
Matriz	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0) n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})}$norte	(0,1,0) n	${\displaystyle (0,-1,\phi )}$eje	${\displaystyle (1-\phi ,0,\phi )}$eje	${\displaystyle (0,0,1)}$eje