Grupo de triángulos

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En matemáticas , un grupo de triángulos es un grupo que se puede realizar geométricamente mediante secuencias de reflexiones a través de los lados de un triángulo . El triángulo puede ser un triángulo euclidiano ordinario, un triángulo sobre la esfera o un triángulo hiperbólico . Cada grupo de triángulos es el grupo de simetría de una teselación del plano euclidiano , la esfera o el plano hiperbólico mediante triángulos congruentes llamados triángulos de Möbius , cada uno de los cuales es un dominio fundamental para la acción.

Sean l , m , n números enteros mayores o iguales a 2. Un grupo de triángulos Δ( l , m , n ) es un grupo de movimientos del plano euclidiano, la esfera bidimensional, el plano proyectivo real o el plano hiperbólico generado por las reflexiones en los lados de un triángulo con ángulos π/ l , π/ m y π/ n (medidos en radianes ). El producto de las reflexiones en dos lados adyacentes es una rotación por el ángulo que es el doble del ángulo entre esos lados, 2π/ l , 2π/ m y 2π/ n . Por lo tanto, si las reflexiones generadoras se etiquetan a , b , c y los ángulos entre ellas en el orden cíclico son como se indica anteriormente, entonces se cumplen las siguientes relaciones:

1. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$
2. ${\displaystyle (ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.}$

Es un teorema que todas las demás relaciones entre a, b, c son consecuencias de estas relaciones y que Δ( l,m,n ) es un grupo discreto de movimientos del espacio correspondiente. Por lo tanto, un grupo triangular es un grupo de reflexión que admite una presentación de grupo.

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc )^{n}=(ca)^{m}=1\rangle .}$

Un grupo abstracto con esta presentación es un grupo de Coxeter con tres generadores.

Dados números naturales cualesquiera l ,  m ,  n  > 1, exactamente una de las geometrías bidimensionales clásicas (euclidiana, esférica o hiperbólica) admite un triángulo con los ángulos (π/l, π/m, π/n), y el espacio está embaldosado por reflexiones del triángulo. La suma de los ángulos del triángulo determina el tipo de geometría por el teorema de Gauss-Bonnet : es euclidiana si la suma de los ángulos es exactamente π, esférica si excede π e hiperbólica si es estrictamente menor que π. Además, dos triángulos cualesquiera con los ángulos dados son congruentes. Cada grupo de triángulos determina un embaldosado, que convencionalmente se colorea en dos colores, de modo que dos embaldosados ​​adyacentes tienen colores opuestos.

En términos de los números l ,  m ,  n  > 1 existen las siguientes posibilidades.

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.}$

El grupo de triángulos es el grupo de simetría infinito de una determinada teselación (o mosaico) del plano euclidiano por triángulos cuyos ángulos suman π (o 180°). Salvo permutaciones, la terna ( l ,  m ,  n ) es una de las ternas (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Los grupos de triángulos correspondientes son instancias de grupos de papel tapiz .

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)
mosaico hexagonal bisecado	Tejas cuadradas de tetrakis	mosaico triangular
Diagramas más detallados, que etiquetan los vértices y muestran cómo funciona la reflexión:

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1.}$

El grupo de triángulos es el grupo de simetría finito de una teselación de una esfera unitaria por triángulos esféricos, o triángulos de Möbius , cuyos ángulos suman un número mayor que π. Salvo permutaciones, la terna ( l , m , n ) tiene la forma (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5), o (2,2, n ), n  > 1. Los grupos de triángulos esféricos se pueden identificar con los grupos de simetría de los poliedros regulares en el espacio euclidiano tridimensional: Δ(2,3,3) corresponde al tetraedro , Δ(2,3,4) tanto al cubo como al octaedro (que tienen el mismo grupo de simetría), Δ(2,3,5) tanto al dodecaedro como al icosaedro . Los grupos Δ(2,2, n ), n  > 1 de simetría diedral pueden interpretarse como los grupos de simetría de la familia de los diedros , que son sólidos degenerados formados por dos n -gonos regulares idénticos unidos entre sí, o de los hosoedros duales , que se forman uniendo n digones entre sí en dos vértices.

El teselado esférico correspondiente a un poliedro regular se obtiene formando la subdivisión baricéntrica del poliedro y proyectando los puntos y líneas resultantes sobre la esfera circunscrita. En el caso del tetraedro, hay cuatro caras y cada cara es un triángulo equilátero que se subdivide en 6 partes más pequeñas por las medianas que se cortan en el centro. El teselado resultante tiene 4 × 6 = 24 triángulos esféricos (es el cubo de Disdyakis esférico ).

Estos grupos son finitos, lo que corresponde a la compacidad de la esfera: las áreas de los discos en la esfera inicialmente crecen en términos de radio, pero eventualmente cubren toda la esfera.

Los mosaicos triangulares se representan a continuación:

(2,2,2)	(2,2,3)	(2,2,4)	(2,2,5)	(2,2,6)	(2,2,n)
(2,3,3)		(2,3,4)		(2,3,5)

Los teselados esféricos correspondientes al octaedro y al icosaedro y los teselados esféricos diedros con n par son centralmente simétricos . Por lo tanto, cada uno de ellos determina un teselado del plano proyectivo real, un teselado elíptico . Su grupo de simetría es el cociente del grupo de triángulos esféricos por la reflexión a través del origen (- I ), que es un elemento central de orden 2. Como el plano proyectivo es un modelo de geometría elíptica , tales grupos se denominan grupos de triángulos elípticos . ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1.}$

El grupo de triángulos es el grupo de simetría infinito de una teselación del plano hiperbólico formada por triángulos hiperbólicos cuyos ángulos suman un número menor que π. Todos los triples que no se enumeran anteriormente representan teselación del plano hiperbólico. Por ejemplo, el triple (2,3,7) produce el grupo de triángulos (2,3,7) . Hay una cantidad infinita de grupos de este tipo; las teselaciónes asociadas con algunos valores pequeños:

Modelo de disco de Poincaré de triángulos de dominio fundamental

Ejemplo de triángulos rectángulos (2 pq)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3 ∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4 ∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2 ∞ ∞)
Ejemplo de triángulos generales (pqr)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3 ∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3 ∞ ∞)	(6 6 6)	(∞ ∞ ∞)

Los grupos de triángulos hiperbólicos son ejemplos de grupos cristalográficos no euclidianos y se han generalizado en la teoría de grupos hiperbólicos de Gromov .

Denotemos por D ( l , m , n ) el subgrupo de índice 2 en Δ(l,m,n) generado por palabras de longitud par en los generadores. A estos subgrupos a veces se los denomina grupos de triángulos "ordinarios" ^[2] o grupos de von Dyck , en honor a Walther von Dyck . Para los triángulos esféricos, euclidianos e hiperbólicos, estos corresponden a los elementos del grupo que preservan la orientación del triángulo: el grupo de rotaciones. Para los triángulos proyectivos (elípticos), no pueden interpretarse así, ya que el plano proyectivo no es orientable, por lo que no existe la noción de "preservación de la orientación". Sin embargo, las reflexiones son localmente invertidas en cuanto a la orientación (y cada variedad es localmente orientable, porque es localmente euclidiana): fijan una línea y en cada punto de la línea hay una reflexión a través de la línea. ^[3]

El grupo D ( l , m , n ) se define mediante la siguiente presentación:

${\displaystyle D(l,m,n)=\langle x,y\mid x^{l},y^{m},(xy)^{n}\rangle .}$

En términos de los generadores anteriores, estos son x = ab, y = ca, yx = cb . Geométricamente, los tres elementos x , y , xy corresponden a rotaciones de 2π/ l , 2π/ m y 2π/ n alrededor de los tres vértices del triángulo.

Nótese que D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ), ​​por lo que D ( l , m , n ) es independiente del orden de l , m , n .

Un grupo de von Dyck hiperbólico es un grupo fuchsiano , un grupo discreto que consiste en isometrías del plano hiperbólico que preservan la orientación.

Los grupos de triángulos conservan una teselación de triángulos, es decir, un dominio fundamental para la acción (el triángulo definido por las líneas de reflexión), llamado triángulo de Möbius , y están dados por una terna de números enteros, ( l , m , n ), – los números enteros corresponden a (2 l ,2 m ,2 n ) triángulos que se unen en un vértice. También hay teselación de triángulos superpuestos, que corresponden a triángulos de Schwarz con números racionales ( l / a , m / b , n / c ), donde los denominadores son coprimos con los numeradores. Esto corresponde a aristas que se encuentran en ángulos de a π/ l (resp.), lo que corresponde a una rotación de 2 a π/ l (resp.), que tiene orden l y, por lo tanto, es idéntica como elemento de grupo abstracto, pero distinta cuando se representa mediante una reflexión.

Por ejemplo, el triángulo de Schwarz (2 3 3) produce una teselación de la esfera con densidad 1, mientras que el triángulo (2 3/2 3) produce una teselación de la esfera con densidad 3, pero con el mismo grupo abstracto. Estas simetrías de teselación superpuesta no se consideran grupos de triángulos.

Los grupos de triángulos datan al menos de la presentación del grupo icosaédrico como el grupo de triángulos (rotacionales) (2,3,5) por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano . ^[4]

Videos externos
Teselación modular deformada [5] : visualización del mapa (2,3,∞) → (2,3,7) mediante la transformación de las teselas asociadas.

Los grupos de triángulos surgen en geometría aritmética . El grupo modular es generado por dos elementos, S y T , sujetos a las relaciones S ² = ( ST )³ = 1 (ninguna relación en T ), es el grupo de triángulos rotacional (2,3,∞) y se asigna a todos los grupos de triángulos (2,3, n ) sumando la relación T ⁿ = 1. De manera más general, el grupo de Hecke H _q es generado por dos elementos, S y T , sujetos a las relaciones S ² = ( ST ) ^q = 1 (ninguna relación en T ), es el grupo de triángulos rotacional (2, q ,∞), y se asigna a todos los grupos de triángulos (2, q , n ) sumando la relación T ⁿ = 1 el grupo modular es el grupo de Hecke H ₃ . En la teoría de dessins d'enfants de Grothendieck , una función de Belyi da lugar a una teselación de una superficie de Riemann por dominios de reflexión de un grupo de triángulos.

Los 26 grupos esporádicos son cocientes de grupos triangulares, ^[6] de los cuales 12 son grupos de Hurwitz (cocientes del grupo (2,3,7)).

• Triángulo de Schwarz
• El mapa de triángulos de Schwarz es un mapa de triángulos en el semiplano superior .
• Teoría de grupos geométricos

• Imágenes de fondo de escritorio de grupos de triángulos de elizabeth r chen (2010)

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