Sólido arquimediano
Poliedros en los que todos los vértices son iguales
Los sólidos de Arquímedes. Dos de ellos son quirales y se muestran ambas formas, lo que da un total de 15 modelos.

Los sólidos arquimedianos son un conjunto de trece poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares, pero no todos iguales, y cuyos vértices son todos simétricos entre sí. Los sólidos recibieron su nombre en honor a Arquímedes , aunque él no se atribuyó el mérito de su creación. Pertenecen a la clase de poliedros uniformes , los poliedros con caras regulares y vértices simétricos. Algunos sólidos arquimedianos fueron representados en las obras de artistas y matemáticos durante el Renacimiento .

La girobicúpula cuadrada alargada o pseudorrombicuboctaedro es un poliedro extra con caras regulares y vértices congruentes, pero generalmente no se considera un sólido arquimediano porque no es transitivo en sus vértices .

Los sólidos

Los sólidos de Arquímedes tienen la configuración de vértice y propiedades altamente simétricas. La configuración de vértice significa un poliedro cuyas dos o más caras poligonales se encuentran en el vértice. Por ejemplo, significa un poliedro en el que cada vértice se encuentra alternando dos triángulos y dos pentágonos. Las propiedades altamente simétricas en este caso significan que el grupo de simetría de cada sólido se derivó de los sólidos platónicos , como resultado de su construcción. [1] Algunas fuentes dicen que los sólidos de Arquímedes son sinónimos del poliedro semirregular . [2] Sin embargo, la definición de un poliedro semirregular también puede incluir los prismas y antiprismas infinitos , incluida la girobicúpula cuadrada alargada . [3] 3 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 {\displaystyle 3\cdot 5\cdot 3\cdot 5}

Los trece sólidos de Arquímedes
NombreSólidosConfiguraciones de vértices [4]Caras [5]Bordes [5]Vértices [5]
Grupo de puntos [6]
Tetraedro truncadoTetraedro truncado3.6.6
4 triángulos
4 hexágonos		1812T.D.​
CuboctaedroCuboctaedro3.4.3.4
8 triángulos
6 cuadrados		2412Oh​
Cubo truncadoHexaedro truncado3.8.8
8 triángulos
6 octógonos		3624Oh​
Octaedro truncadoOctaedro truncado4.6.6
6 cuadrados
8 hexágonos		3624Oh​
RombicuboctaedroRombicuboctaedro3.4.4.4
8 triángulos
18 cuadrados		4824Oh​
Cuboctaedro truncadoCuboctaedro truncado4.6.8
12 cuadrados
8 hexágonos
6 octógonos		7248Oh​
Cubo de snubHexaedro romo (Ccw)3.3.3.3.4
32 triángulos
6 cuadrados		6024Oh
IcosidodecaedroIcosidodecaedro3.5.3.5
20 triángulos
12 pentágonos		6030Yo h
Dodecaedro truncadoDodecaedro truncado3.10.10
20 triángulos
12 decágonos		9060Yo h
Icosaedro truncadoIcosaedro truncado5.6.6
12 pentágonos
20 hexágonos		9060Yo h
rombicosidodecaedrorombicosidodecaedro3.4.5.4
20 triángulos
30 cuadrados
12 pentágonos		12060Yo h
Icosidodecaedro truncadoIcosidodecaedro truncado4.6.10
30 cuadrados
20 hexágonos
12 decágonos		180120Yo h
Dodecaedro romoDodecaedro romo (Cw)3.3.3.3.5
80 triángulos
12 pentágonos		15060I

La construcción de algunos sólidos arquimedianos comienza a partir de los sólidos platónicos. El truncamiento implica cortar las esquinas; para preservar la simetría, el corte se realiza en un plano perpendicular a la línea que une una esquina con el centro del poliedro y es el mismo para todas las esquinas, y un ejemplo se puede encontrar en el icosaedro truncado construido cortando todos los vértices del icosaedro , que tiene la misma simetría que el icosaedro, la simetría icosaédrica . [7] Si el truncamiento es lo suficientemente profundo como para que cada par de caras de los vértices adyacentes comparta exactamente un punto, se conoce como rectificación . La expansión implica alejar cada cara del centro (por la misma distancia para preservar la simetría del sólido platónico) y tomar la envoltura convexa. Un ejemplo es el rombicuboctaedro, construido separando las caras del cubo u octaedro del centroide y llenándolas con cuadrados. [8] El snub es un proceso de construcción de poliedros que consiste en separar las caras del poliedro, torcer sus caras en ciertos ángulos y rellenarlas con triángulos equiláteros . Se pueden encontrar ejemplos en el cubo snub y el dodecaedro snub . La construcción resultante de estos sólidos da la propiedad de quiralidad , lo que significa que no son idénticos cuando se reflejan en un espejo. [9] Sin embargo, no todos ellos se pueden construir de esa manera, o se podrían construir de forma alternativa. Por ejemplo, el icosidodecaedro se puede construir uniendo dos bases de rotonda pentagonales , o el rombicuboctaedro, que se puede construir de forma alternativa uniendo dos cúpulas cuadradas sobre las bases de un prisma octogonal. [5]

Se conocen al menos diez sólidos que poseen la propiedad de Rupert , un poliedro que puede atravesar una copia de sí mismo con el mismo tamaño o uno similar. Son el cuboctaedro, el octaedro truncado, el cubo truncado, el rombicuboctaedro, el icosidodecaedro, el cuboctaedro truncado, el icosaedro truncado, el dodecaedro truncado y el tetraedro truncado. [10] Los sólidos de Catalan son el poliedro dual de los sólidos de Arquímedes. [1]

Antecedentes del descubrimiento

Los nombres de los sólidos arquimedianos se tomaron del matemático griego Arquímedes , quien los analizó en una obra ahora perdida. Aunque originalmente no se le atribuyeron a Arquímedes, Pappus de Alejandría, en la quinta sección de su compendio titulado Synagoge, hace referencia a que Arquímedes enumeró trece poliedros y los describió brevemente en términos de cuántas caras de cada tipo tienen estos poliedros. [11]

Durante el Renacimiento , los artistas y matemáticos valoraban las formas puras con alta simetría. Algunos sólidos arquimedianos aparecieron en De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca , en un intento de estudiar y copiar las obras de Arquímedes, así como de incluir citas a Arquímedes. [12] Sin embargo, no atribuyó esas formas a Arquímedes ni conocía el trabajo de Arquímedes, sino que parecían ser un redescubrimiento independiente. [13] Otras apariciones de los sólidos aparecieron en las obras de Wenzel Jamnitzer en Perspectiva Corporum Regularium , y tanto en Summa de arithmetica como en Divina percentagee de Luca Pacioli , dibujadas por Leonardo da Vinci . [14] La red de sólidos arquimedianos apareció en Underweysung der Messung de Albrecht Dürer , copiada del trabajo de Pacioli. Hacia 1620, Johannes Kepler en su Harmonices Mundi había completado el redescubrimiento de los trece poliedros, además de definir los prismas , antiprismas y los sólidos no convexos conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . [15]

La girobicúpula cuadrada alargada , un poliedro donde los matemáticos construyeron por error el rombicuboctaedro.

Kepler también pudo haber encontrado otro sólido conocido como girobicúpula cuadrada alargada o pseudorrombicuboctaedro . Kepler afirmó una vez que había catorce sólidos arquimedianos, pero su enumeración publicada solo incluye los trece poliedros uniformes. La primera declaración clara de tal existencia sólida fue hecha por Duncan Sommerville en 1905. [16] El sólido apareció cuando algunos matemáticos construyeron por error el rombicuboctaedro : dos cúpulas cuadradas unidas al prisma octogonal , con una de ellas rotada cuarenta y cinco grados. [17] Los trece sólidos tienen la propiedad de ser transitivos por vértice , lo que significa que dos vértices cualesquiera de ellos pueden trasladarse al otro, pero la girobicúpula cuadrada alargada no. Grünbaum (2009) observó que cumple con una definición más débil de un sólido arquimediano, en la que "vértices idénticos" significa simplemente que las partes del poliedro cerca de dos vértices cualesquiera parecen iguales (tienen las mismas formas de caras que se encuentran alrededor de cada vértice en el mismo orden y forman los mismos ángulos). Grünbaum señaló un error frecuente en el que los autores definen los sólidos arquimedianos utilizando alguna forma de esta definición local pero omiten el decimocuarto poliedro. Si solo se deben enumerar trece poliedros, la definición debe utilizar simetrías globales del poliedro en lugar de vecindarios locales. Posteriormente, la girobicúpula cuadrada alargada se retiró de los sólidos arquimedianos y se incluyó en el sólido de Johnson , un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares. [16]

Véase también

Referencias

Notas al pie

  1. ^ ab Diudea (2018), pág. 39.
  2. ^ Kinsey, Moore y Prassidis (2011), pág. 380.
  3. ^
    • Rovenski (2010), pág. 116
    • Malkevitch (1988), pág. 85
  4. ^ Williams (1979).
  5. ^abcd Berman (1971).
  6. ^ Koca y Koca (2013), pág. 47–50.
  7. ^
    • Chancey y O'Brien (1997), pág. 13
    • Koca y Koca (2013), pág. 48
  8. ^ Viana y col. (2019), pág. 1123, consulte la figura 6.
  9. ^ Koca y Koca (2013), pág. 49.
  10. ^
    • Chai, Yuan y Zamfirescu (2018)
    • Hoffman (2019)
    • Lavau (2019)
  11. ^
    • Cromwell (1997), pág. 156
    • Grünbaum (2009)
    • Campo (1997), pág. 248
  12. ^ Banquero (2005).
  13. ^ Campo (1997), pág. 248.
  14. ^
    • Cromwell (1997), pág. 156
    • Campo (1997), págs. 253-254
  15. ^ Schreiber, Fischer y Sternath (2008).
  16. ^ por Grünbaum (2009).
  17. ^
    • Cromwell (1997), pág. 91
    • Berman (1971)

Obras citadas

  • Banker, James R. (marzo de 2005), "Un manuscrito de las obras de Arquímedes de la mano de Piero della Francesca", The Burlington Magazine , 147 (1224): 165–169, JSTOR  20073883, S2CID  190211171.
  • Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
  • Chai, Ying; Yuan, Liping; Zamfirescu, Tudor (2018), "Propiedad de Rupert de los sólidos arquimedianos", The American Mathematical Monthly , 125 (6): 497–504, doi :10.1080/00029890.2018.1449505, S2CID  125508192.
  • Chancey, CC; O'Brien, MCM (1997), El efecto Jahn-Teller en C60 y otros complejos icosaédricos, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-22534-0.
  • Cromwell, Peter R. (1997), Poliedros, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55432-9.
  • Diudea, MV (2018), Cúmulos poliédricos de múltiples capas, Springer , doi :10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
  • Field, JV (1997), "Redescubriendo los poliedros de Arquímedes: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro y Johannes Kepler", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 50 (3–4): 241–289, doi :10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740.
  • Grünbaum, Branko (2009), "Un error duradero" (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469. Reimpreso en Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010 , Princeton University Press, págs. 18-31.
  • Hoffmann, Balazs (2019), "Propiedades de Rupert de los poliedros y la constante de Nieuwland generalizada", Journal for Geometry and Graphics , 23 (1): 29–35
  • Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E.; Prassidis, Efstratios (2011), Geometría y simetría , John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-49949-8.
  • Koca, M.; Koca, NO (2013), "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D", Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010 , World Scientific.
  • Lavau, Gérard (2019), "El tetraedro truncado es Rupert", The American Mathematical Monthly , 126 (10): 929–932, doi :10.1080/00029890.2019.1656958, S2CID  213502432.
  • Malkevitch, Joseph (1988), "Hitos en la historia de los poliedros", en Senechal, M. ; Fleck, G. (eds.), Shaping Space: A Polyhedral Approach , Boston: Birkhäuser, págs. 80–92.
  • Rovenski, Vladimir (2010), Modelado de curvas y superficies con MATLAB®, Springer, doi :10.1007/978-0-387-71278-9, ISBN 978-0-387-71278-9.
  • Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008), "Nueva luz sobre el redescubrimiento de los sólidos de Arquímedes durante el Renacimiento", Archive for History of Exact Sciences , 62 (4): 457–467, Bibcode :2008AHES...62..457S, doi :10.1007/s00407-008-0024-z, ISSN  0003-9519, JSTOR  41134285, S2CID  122216140.
  • Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019), "Expansión interactiva de poliedros aquirales", en Cocchiarella, Luigi (ed.), ICGG 2018 - Actas de la 18.ª Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos 40.º aniversario - Milán, Italia, 3-7 de agosto de 2018 , Springer, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95587-2.
  • Williams, Robert (1979), La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia sobre diseño, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-23729-9.

Lectura adicional

  • Viana, Vera (2024), "Los sólidos arquimedianos en los siglos XV y XVI", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , doi : 10.1007/s00407-024-00331-7.
  • Williams, Kim; Monteleone, Cosimo (2021), La perspectiva de Daniele Barbaro de 1568, p. 19–20, doi :10.1007/978-3-030-76687-0, ISBN 978-3-030-76687-0.
  • Weisstein, Eric W. "Sólido arquimediano". MathWorld .
  • Sólidos arquimedianos por Eric W. Weisstein , Proyecto de demostraciones Wolfram .
  • Modelos de papel de sólidos arquimedianos y sólidos catalanes
  • Modelos de papel gratuitos (redes) de sólidos arquimedianos
  • Los poliedros uniformes del Dr. R. Mäder
  • Sólidos arquimedianos en Visual Polyhedra por David I. McCooey
  • Poliedros de realidad virtual, La enciclopedia de poliedros de George W. Hart
  • El penúltimo origami modular de James S. Plank
  • Poliedros 3D interactivos en Java
  • Solid Body Viewer es un visor de poliedros 3D interactivo que le permite guardar el modelo en formato svg, stl u obj.
  • Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear muchas de las imágenes de esta página.
  • Modelos de papel de poliedros de Arquímedes (y otros)
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