Dodecaedro romo
Sólido arquimediano con 92 caras
Dodecaedro romo

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TipoSólido arquimediano
Poliedro uniforme
ElementosF = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Caras por lados(20+60){3}+12{5}
Notación de ConwayDakota del Sur
Símbolos de Schläflisr{5,3} o s { 5 3 } {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
alto 0,1,2 {5,3}
Símbolo de Wythoff| 2 3 5
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetríaYo , ⁠1/2⁠ H 3 , [5,3] + , (532), orden 60
Grupo de rotaciónYo , [5,3] + , (532), orden 60
Ángulo diedro3-3: 164°10′31″ (164,18°)
3-5: 152°55′53″ (152,93°)
ReferenciasU 29 , C 32 , O 18
PropiedadesQuiral convexo semirregular

Caras de colores
3.3.3.3.5
( Figura de vértice )

Hexecontaedro pentagonal
( poliedro dual )
Neto
Modelo 3D de un dodecaedro romo

En geometría , el dodecaedro romo , o icosidodecaedro romo , es un sólido arquimediano , uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos por dos o más tipos de caras de polígonos regulares .

El dodecaedro romo tiene 92 caras (la mayor cantidad de los 13 sólidos arquimedianos): 12 son pentágonos y las otras 80 son triángulos equiláteros . También tiene 150 aristas y 60 vértices.

Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") una de la otra. La unión de ambas formas es un compuesto de dos dodecaedros romos , y la envoltura convexa de ambas formas es un icosidodecaedro truncado .

Kepler lo nombró por primera vez en latín como dodecaedro simum en 1619 en su Harmonices Mundi . HSM Coxeter , notando que podría derivar igualmente del dodecaedro o del icosaedro, lo llamó icosidodecaedro romo , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente y un símbolo de Schläfli plano sr{5,3}. s { 5 3 } {\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}

Coordenadas cartesianas

Sea ξ ≈0,943 151 259 24 sea el cero real del polinomio cúbico x 3 + 2 x 2 − φ 2 , donde φ es la proporción áurea . Sea el punto p dado por Sean las matrices de rotación M 1 y M 2 dadas por M 1 representa la rotación alrededor del eje (0, 1, φ ) a través de un ángulo de ⁠ pag = ( φ 2 − φ 2 o − φ 3 + φ o + 2 φ o 2 o ) . {\displaystyle p={\begin{pmatrix}\varphi ^{2}-\varphi ^{2}\xi \\-\varphi ^{3}+\varphi \xi +2\varphi \xi ^{2} \\\xi \end{pmatrix}}.} METRO 1 = ( 1 2 φ − φ 2 1 2 φ 2 1 2 1 2 φ − 1 2 1 2 φ φ 2 ) , METRO 2 = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) . {\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\varphi }}&-{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\varphi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\varphi }}&{\frac {\varphi }{2}}\end{pmatrix}},\quad M_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.} 2π​/5⁠ en sentido antihorario, mientras que M 2 es un desplazamiento cíclico de ( x , y , z ) representa la rotación alrededor del eje (1, 1, 1) a través de un ángulo de ⁠2π​/3⁠ . Entonces los 60 vértices del dodecaedro romo son las 60 imágenes del punto p bajo la multiplicación repetida por M 1 y/o M 2 , iteradas hasta la convergencia. (Las matrices M 1 y M 2 generan las 60 matrices de rotación correspondientes a las 60 simetrías rotacionales de un icosaedro regular ). Las coordenadas de los vértices son combinaciones lineales integrales de 1, φ , ξ , φξ , ξ 2 y φξ 2 . La longitud de la arista es igual a Negando todas las coordenadas se obtiene la imagen especular de este dodecaedro romo. 2 o 1 − o ≈ 0,449 750 618 41. {\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\aproximadamente 0,449\,750\,618\,41.}

Como volumen, el dodecaedro romo consta de 80 pirámides triangulares y 12 pirámides pentagonales. El volumen V 3 de una pirámide triangular está dado por: y el volumen V 5 de una pirámide pentagonal por: El volumen total es V 3 = 1 3 φ ( 3 o 2 − φ 2 ) ≈ 0,027 274 068 85 , {\displaystyle V_{3}={\frac {1}{3}}\varphi \left(3\xi ^{2}-\varphi ^{2}\right)\aproximadamente 0,027\,274\,068\,85,} V 5 = 1 3 ( 3 φ + 1 ) ( φ + 3 − 2 o − 3 o 2 ) o 3 ≈ 0,103 349 665 04. {\displaystyle V_{5}={\frac {1}{3}}(3\varphi +1)\left(\varphi +3-2\xi -3\xi ^{2}\right)\xi ^ {3}\aproximadamente 0,103\,349\,665\,04.} 80 V 3 + 12 V 5 ≈ 3.422 121 488 76. {\displaystyle 80V_{3}+12V_{5}\aprox. 3,422\,121\,488\,76.}

El radio circunscrito es igual a El radio medio es igual a ξ . Esto da una interpretación geométrica interesante del número ξ . Los 20 triángulos "icosaédricos" del dodecaedro romo descrito anteriormente son coplanares con las caras de un icosaedro regular. El radio medio de este icosaedro "circunscrito" es igual a 1. Esto significa que ξ es la relación entre los radios medios de un dodecaedro romo y el icosaedro en el que está inscrito. 4 o 2 − φ 2 ≈ 0,969 589 192 65. {\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\varphi ^{2}}}\aproximadamente 0,969\,589\,192\,65.}

El ángulo diedro triángulo-triángulo está dado por θ 33 = 180 ∘ − arcos ⁡ ( 2 3 o + 1 3 ) ≈ 164.175 366 056 03 ∘ . {\displaystyle \theta _{33}=180^{\circ }-\arccos \left({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}}\right)\aprox 164.175\,366\,056\,03^{\circ }.}

El ángulo diedro del triángulo-pentágono está dado por θ 35 = 180 ∘ − arcos ⁡ − ( 4 φ + 8 ) o 2 − ( 4 φ + 8 ) o + 12 φ + 19 15 ≈ 152.929 920 275 84 ∘ . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{35}&=180^{\circ }-\arccos {\sqrt {\frac {-(4\varphi +8)\xi ^{2}-(4\varphi +8)\xi +12\varphi +19}{15}}}\\[2pt]&\approx 152.929\,920\,275\,84^{\circ }.\end{aligned}}}

Propiedades métricas

Para un dodecaedro romo cuya longitud de arista es 1, el área de superficie es Su volumen es Alternativamente, este volumen puede escribirse como donde Su radio circunscrito es Su radio medio es A = 20 3 + 3 25 + 10 5 ≈ 55.286 744 958 445 15. {\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\aproximadamente 55,286\,744\,958\,445\,15.} V = ( 3 φ + 1 ) o 2 + ( 3 φ + 1 ) o − φ / 6 − 2 3 o 2 − φ 2 ≈ 37.616 649 962 733 36. {\displaystyle V={\frac {(3\varphi +1)\xi ^{2}+(3\varphi +1)\xi -\varphi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2 }-\varphi ^{2}}}}\aprox 37.616\,649\,962\,733\,36.} V = 5 + 5 5 6 3 18 + 6 5 + a ( 3 + 3 5 + a ) + 5 + 3 5 24 2 72 + ( 5 + 5 ) a ( 3 + 3 5 + a ) ≈ 37.616 649 962 733 36 , {\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {5+5{\sqrt {5}}}{6{\sqrt {3}}}}{\sqrt {{18+6{\sqrt {5}}}+{a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}}+{\frac {5+3{\sqrt {5}}}{24{\sqrt {2}}}}{\sqrt {72+{\left({5+{\sqrt {5}}}\right)}a\left({3+3{\sqrt {5}}}+a\right)}}\\[2pt]&\approx 37.616\,649\,962\,733\,36,\end{aligned}}} a = 54 ( 1 + 5 ) + 6 102 + 162 5 3 + 54 ( 1 + 5 ) − 6 102 + 162 5 3 ≈ 10.293 368 998 184 21. {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})+6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}+{\sqrt[{3}]{54(1+{\sqrt {5}})-6{\sqrt {102+162{\sqrt {5}}}}}\\[2pt]&\aproximadamente 10,293\,368\,998\,184\,21.\end{aligned}}} R = 1 2 2 − o 1 − o ≈ 2.155 837 375. {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\aproximadamente 2,155\,837\,375.} a = 1 2 1 1 − o ≈ 2.097 053 835 25. {\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\aproximadamente 2.097\,053\,835\,25.}

Hay dos esferas inscritas, una que toca las caras triangulares y otra, un poco más pequeña, que toca las caras pentagonales. Sus radios son, respectivamente: a 3 = φ 3 6 o 1 1 − o ≈ 2.077 089 659 74 a 5 = 1 2 φ 2 o 2 + 3 φ 2 o + 11 5 φ + 12 5 ≈ 1.980 915 947 28. {\displaystyle {\begin{aligned}r_{3}&={\frac {\varphi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74\\[4pt]r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi ^{2}\xi ^{2}+3\varphi ^{2}\xi +{\frac {11}{5}}\varphi +{\frac {12}{5}}}}\approx 1.980\,915\,947\,28.\end{aligned}}}

Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación séxtica en R 2 son los radios circunscritos del dodecaedro romo ( U 29 ), el gran icosidodecaedro romo ( U 57 ), el gran icosidodecaedro romo invertido ( U 69 ) y el gran icosidodecaedro retrorromo ( U 74 ). 4096 R 12 − 27648 R 10 + 47104 R 8 − 35776 R 6 + 13872 R 4 − 2696 R 2 + 209 = 0 {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}

El dodecaedro romo tiene la mayor esfericidad de todos los sólidos arquimedianos. Si la esfericidad se define como la relación entre el volumen al cuadrado y el área de la superficie al cubo, multiplicada por una constante de 36 π (donde esta constante hace que la esfericidad de una esfera sea igual a 1), la esfericidad del dodecaedro romo es de aproximadamente 0,947. [1]

Proyecciones ortogonales

El dodecaedro romo no tiene simetría puntual , por lo que el vértice en la parte delantera no corresponde a un vértice opuesto en la parte trasera.

El dodecaedro romo tiene dos proyecciones ortogonales especialmente simétricas como se muestra a continuación, centradas en dos tipos de caras: triángulos y pentágonos, correspondientes a los planos de Coxeter A 2 y H 2 .

Proyecciones ortogonales
Centrado por
Triángulo facial		Cara
del Pentágono		Borde
Sólido
Estructura alámbrica

Simetría proyectiva		[3][5][2]
Dual

Relaciones geométricas

Dodecaedro, rombicosidodecaedro y dodecaedro romo ( expansión y torsión animadas )
Alternancia uniforme de un icosidodecaedro truncado

El dodecaedro romo se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro y tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen. A una distancia adecuada, esto puede crear el rombicosidodecaedro rellenando las caras cuadradas entre los bordes divididos y las caras triangulares entre los vértices divididos. Pero para la forma romo, tira un poco menos de las caras pentagonales, agrega solo las caras triangulares y deja los otros espacios vacíos (los otros espacios son rectángulos en este punto). Luego aplica una rotación igual a los centros de los pentágonos y triángulos, y continúa la rotación hasta que los espacios se puedan llenar con dos triángulos equiláteros. (El hecho de que la cantidad adecuada para sacar las caras sea menor en el caso del dodecaedro romo se puede observar de dos maneras: el radio circunscrito del dodecaedro romo es menor que el del icosidodecaedro; o bien, la longitud de las aristas de los triángulos equiláteros formados por los vértices divididos aumenta cuando se rotan las caras pentagonales).

El dodecaedro romo también puede derivarse del icosidodecaedro truncado mediante el proceso de alternancia . Sesenta de los vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro romo; los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo por vértices pero no uniforme.

Alternativamente, la combinación de los vértices del dodecaedro romo dado por las coordenadas cartesianas (arriba) y su espejo formará un icosidodecaedro truncado semirregular. Las comparaciones entre estos poliedros regulares y semirregulares se muestran en la figura de la derecha.

Las coordenadas cartesianas de los vértices de este dodecaedro romo alternativo se obtienen seleccionando conjuntos de 12 (de 24 posibles permutaciones pares contenidas en los cinco conjuntos de coordenadas cartesianas del icosidodecaedro truncado ). Las alternancias son aquellas con un número impar de signos negativos en estos tres conjuntos:

Superposición de icosidodecaedros truncados regulares y semirregulares y dodecaedros chatos

( ± 1 φ , ± 1 φ , ± [ 3 + φ ] ) , ( ± 1 φ , ± φ 2 , ± [ 3 φ − 1 ] ) , ( ± [ 2 φ − 1 ] , ± 2 , ± [ 2 + φ ] ) , {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm [3+\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm {\tfrac {1}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi ^{2}&,&\pm [3\varphi -1]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm [2\varphi -1]&,&\pm \,2&,&\pm [2+\varphi ]&{\Bigr )},\end{array}}} y un número par de signos menos en estos dos conjuntos: ( ± 2 φ , ± φ , ± [ 1 + 2 φ ] ) , ( ± φ , ± 3 , ± 2 φ ) , {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}{\Bigl (}&\pm {\tfrac {2}{\varphi }}&,&\pm \,\varphi &,&\pm [1+2\varphi ]&{\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&\pm \,\varphi &,&\pm \,3&,&\pm \,2\varphi &{\Bigr )},\end{array}}}

donde es la proporción áurea . Los espejos tanto del icosidodecaedro truncado regular como de este dodecaedro romo alternativo se obtienen intercambiando las referencias pares e impares a las permutaciones de signo y posición. φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Familia de poliedros icosaédricos uniformes
Simetría : [5,3] , (*532)[5,3] + , (532)
{5,3}t{5,3}r{5,3}t{3,5}{3,5}rr{5,3}tr{5,3}sr{5,3}
De poliedros duales a uniformes
V5.5.5V3.10.10V3.5.3.5V5.6.6V3.3.3.3.3V3.4.5.4V4.6.10V3.3.3.3.5

Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de poliedros snubbed y teselaciones con figura de vértice (3.3.3.3. n ) y diagrama de Coxeter-Dynkin Estas figuras y sus duales tienen simetría rotacional ( n 32) , estando en el plano euclidiano para n  = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n mayor . Se puede considerar que la serie comienza con n  = 2, con un conjunto de caras degeneradas en dígonos .

n 32 mutaciones de simetría de teselaciones snub: 3.3.3.3.n
Simetría
n.° 32		EsféricoEuclidianoHiperbólica compactaParacomp.
232332432532632732832∞32

Figuras desairadas
Configuración.3.3.3.3.23.3.3.3.33.3.3.3.43.3.3.3.53.3.3.3.63.3.3.3.73.3.3.3.83.3.3.3.∞

Figuras de giroscopio
Configuración.V3.3.3.3.2V3.3.3.3.3V3.3.3.3.4V3.3.3.3.5V3.3.3.3.6V3.3.3.3.7V3.3.3.3.8V3.3.3.3.∞

Gráfico dodecaédrico romo

Gráfico dodecaédrico romo
Diagrama de Schlegel de simetría quíntuple
Vértices60
Bordes150
Automorfismos60
PropiedadesHamiltoniano , regular
Tabla de gráficos y parámetros

En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo dodecaédrico romo es el grafo de vértices y aristas del dodecaedro romo, uno de los sólidos arquimedianos . Tiene 60 vértices y 150 aristas, y es un grafo arquimediano . [2]

Véase también

Referencias

  1. ^ Aravind, PK (marzo de 2011), "¿Qué tan esféricos son los sólidos arquimedianos y sus duales?", The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi :10.4169/college.math.j.42.2.098
  2. ^ Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press , pág. 269
  • Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Mathematical Gazette . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID  125675814.
  • Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
  • Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79–86. Sólidos arquimedianos . ISBN . 0-521-55432-2.
  • Weisstein, Eric W. , "Dodecaedro romo" ("Sólido arquimediano") en MathWorld .
  • Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s5s - snid".
  • Red editable e imprimible de un dodecaedro romo con vista 3D interactiva
  • Los poliedros uniformes
  • Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
  • Mark S. Adams y Menno T. Kosters. Soluciones de volumen para el dodecaedro romo
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