Clasificación ADE

En matemáticas , la clasificación ADE (originalmente clasificaciones ADE ) es una situación en la que ciertos tipos de objetos se corresponden con diagramas de Dynkin de enlaces simples . La cuestión de dar un origen común a estas clasificaciones, en lugar de una verificación a posteriori de un paralelismo, se planteó en (Arnold 1976). La lista completa de diagramas de Dynkin de enlaces simples comprende

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

Aquí, "simplemente entrelazado" significa que no hay aristas múltiples, lo que corresponde a que todas las raíces simples en el sistema de raíces formen ángulos de (sin arista entre los vértices) o (arista única entre los vértices). Estas son dos de las cuatro familias de diagramas de Dynkin (omitiendo y ), y tres de los cinco diagramas de Dynkin excepcionales (omitiendo y ).${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$$Estilo de visualización B_{n}$$Estilo de visualización C_{n}$$Estilo de visualización F_{4}$$Estilo de visualización G_{2}$

Esta lista no es redundante si se toma como Si se extienden las familias para incluir términos redundantes, se obtienen los isomorfismos excepcionales${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n}.}$

${\ Displaystyle D_ {3} \ cong A_ {3}, E_ {4} \ cong A_ {4}, E_ {5} \ cong D_ {5},}$

y los isomorfismos correspondientes de los objetos clasificados.

La nomenclatura A , D , E también produce los grupos de Coxeter finitos simplemente enlazados , mediante los mismos diagramas: en este caso, los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter, ya que no hay aristas múltiples.

En términos de álgebras de Lie semisimples complejas:

• $Estilo de visualización A_{n}$corresponde al álgebra de Lie lineal especial de operadores sin traza ,${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C}),}$
• $Estilo de visualización D_{n}$corresponde al álgebra de Lie ortogonal especial par de operadores antisimétricos de dimensión par , y${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$
• ${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$son tres de las cinco álgebras de Lie excepcionales.

En términos de álgebras de Lie compactas y grupos de Lie simplemente enlazados correspondientes :

• $Estilo de visualización A_{n}$corresponde al álgebra del grupo unitario especial${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ ${\displaystyle SU(n+1);}$
• $Estilo de visualización D_{n}$corresponde al álgebra del grupo ortogonal especial proyectivo par , mientras que${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ $Estilo de visualización PSO(2n)$
• ${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}}$son tres de las cinco álgebras de Lie compactas excepcionales .

La misma clasificación se aplica a los subgrupos discretos de , los grupos poliédricos binarios ; propiamente, los grupos poliédricos binarios corresponden a los diagramas de Dynkin afines simplemente enlazados y las representaciones de estos grupos pueden entenderse en términos de estos diagramas. Esta conexión se conoce como la${\estilo de visualización SU(2)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$Correspondencia de McKay segúnJohn McKay. La conexión conlos sólidos platónicosse describe en (Dickson 1959). La correspondencia utiliza la construcción delgráfico de McKay.

Nótese que la correspondencia ADE no es la correspondencia de los sólidos platónicos con su grupo de reflexión de simetrías: por ejemplo, en la correspondencia ADE el tetraedro , cubo / octaedro y dodecaedro / icosaedro corresponden a mientras que los grupos de reflexión del tetraedro, cubo/octaedro y dodecaedro/icosaedro son en cambio representaciones de los grupos de Coxeter y${\ Displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8},}$ ${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$${\estilo de visualización H_{3}.}$

El orbifold construido utilizando cada subgrupo discreto conduce a una singularidad de tipo ADE en el origen, denominada singularidad de du Val .${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

La correspondencia de McKay se puede extender a diagramas de Dynkin con enlaces múltiples, utilizando un par de grupos poliédricos binarios. Esto se conoce como la correspondencia de Slodowy , llamada así por Peter Slodowy (véase (Stekolshchik 2008)).

Los grafos ADE y los grafos ADE extendidos (afines) también pueden caracterizarse en términos de etiquetados con ciertas propiedades, ^[1] que pueden enunciarse en términos de operadores discretos de Laplace ^[2] o matrices de Cartan . Se pueden encontrar demostraciones en términos de matrices de Cartan en (Kac 1990, pp. 47–54).

Los grafos afines ADE son los únicos grafos que admiten un etiquetado positivo (etiquetado de los nodos mediante números reales positivos) con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta es la suma de las etiquetas de los vértices adyacentes.

Es decir, son las únicas funciones positivas con valor propio 1 para el Laplaciano discreto (suma de vértices adyacentes menos valor del vértice) – las soluciones positivas de la ecuación homogénea:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

De manera equivalente, las funciones positivas en el núcleo de La numeración resultante es única hasta la escala y, si se normaliza de modo que el número más pequeño sea 1, consta de números enteros pequeños, del 1 al 6, según el gráfico.${\displaystyle \Delta -I.}$

Los gráficos ADE ordinarios son los únicos gráficos que admiten un etiquetado positivo con la siguiente propiedad:

El doble de cualquier etiqueta menos dos es la suma de las etiquetas en los vértices adyacentes.

En términos del Laplaciano, las soluciones positivas de la ecuación no homogénea:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

La numeración resultante es única (la escala se especifica con el "2") y consta de números enteros; para E _8, varían de 58 a 270, y se han observado ya en (Bourbaki 1968).

Las catástrofes elementales también se clasifican según la clasificación ADE.

Los diagramas ADE son exactamente los carcajs de tipo finito, a través del teorema de Gabriel .

También existe un vínculo con los cuadrángulos generalizados , ya que los tres GQ no degenerados con tres puntos en cada línea corresponden a los tres sistemas de raíces excepcionales E ₆ , E ₇ y E ₈ . ^[3] Las clases A y D corresponden a casos degenerados donde el conjunto de líneas está vacío o tenemos todas las líneas pasando por un punto fijo, respectivamente. ^[4]

Se sugirió que las simetrías de pequeños grupos de gotas pueden estar sujetas a una clasificación ADE. ^[5]

Los modelos mínimos de la teoría de campos conforme bidimensional tienen una clasificación ADE.

Las teorías de calibre superconforme de cuatro dimensiones con grupos de calibre unitarios tienen una clasificación ADE.${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Arnold ha propuesto posteriormente muchas extensiones adicionales en este esquema de clasificación, en la idea de revisar y generalizar la clasificación de Coxeter y la clasificación de Dynkin bajo el paraguas único de los sistemas de raíces . Trató de introducir conceptos informales de complejización y simplectización basados ​​en analogías entre la teoría de Picard-Lefschetz que interpreta como la versión complejizada de la teoría de Morse y luego extenderlos a otras áreas de las matemáticas. También intenta identificar jerarquías y diccionarios entre objetos matemáticos y teorías donde, por ejemplo, el difeomorfismo corresponde al tipo A de la clasificación de Dynkyn , el difeomorfismo que preserva el volumen corresponde al tipo B y los simplectomorfismos corresponden al tipo C. En el mismo espíritu, revisa analogías entre diferentes objetos matemáticos donde, por ejemplo, el corchete de Lie en el ámbito de los difeomorfismos se vuelve análogo (y al mismo tiempo incluye como un caso especial) el corchete de Poisson del simplectomorfismo . ^{[6] [7]}

Arnold extendió esto aún más bajo la rúbrica de "trinidades matemáticas". ^[8] McKay ha extendido su correspondencia a lo largo de líneas paralelas y a veces superpuestas. Arnold llama a estas " trinidades " para evocar la religión, y sugiere que (actualmente) estos paralelismos se basan más en la fe que en una prueba rigurosa, aunque algunos paralelismos se elaboran. Otros autores han sugerido otras trinidades. ^{[9] [8] [10]} Las trinidades de Arnold comienzan con R / C / H (los números reales, los números complejos y los cuaterniones), que él comenta que "todo el mundo conoce", y procede a imaginar las otras trinidades como "complejizaciones" y "cuaternionificaciones" de las matemáticas clásicas (reales), por analogía con el hallazgo de análogos simplécticos de la geometría clásica de Riemann, que había propuesto previamente en la década de 1970. Además de ejemplos de topología diferencial (como las clases características ), Arnold considera las tres simetrías platónicas (tetraédrica, octaédrica, icosaédrica) como correspondientes a los reales, complejos y cuaterniones, lo que luego se conecta con las correspondencias más algebraicas de McKay, a continuación.

Las correspondencias de McKay son más fáciles de describir. En primer lugar, los diagramas de Dynkin extendidos (que corresponden a la simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica) tienen grupos de simetría respectivamente, y los plegamientos asociados son los diagramas (nótese que en una redacción menos cuidadosa, el calificador extendido (tilde) a menudo se omite). Más significativamente, McKay sugiere una correspondencia entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación del grupo monstruo , que se conoce como la observación E ₈ de McKay ; ^{[11] [12]} véase también monstrous moonshine . McKay relaciona además los nodos de con las clases de conjugación en 2. B (una extensión de orden 2 del grupo del monstruo bebé ), y los nodos de con las clases de conjugación en 3. Fi ₂₄ ' (una extensión de orden 3 del grupo de Fischer ) ^[12] – note que estos son los tres grupos esporádicos más grandes , y que el orden de la extensión corresponde a las simetrías del diagrama.${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$

Pasando de grandes grupos simples a pequeños, los grupos platónicos correspondientes tienen conexiones con los grupos lineales especiales proyectivos PSL(2,5), PSL(2,7) y PSL(2,11) (órdenes 60, 168 y 660), ^{[13] [14]} lo que se considera una "correspondencia de McKay". ^[15] Estos grupos son los únicos valores (simples) para p tales que PSL(2, p ) actúa de manera no trivial en p puntos , un hecho que se remonta a Évariste Galois en la década de 1830. De hecho, los grupos se descomponen como productos de conjuntos (no como productos de grupos) como: y Estos grupos también están relacionados con varias geometrías, que se remontan a Felix Klein en la década de 1870; consulte simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para una discusión histórica y (Kostant 1995) para una exposición más reciente. Las geometrías asociadas (teselados sobre superficies de Riemann ) en las que se puede ver la acción sobre los puntos p son las siguientes: PSL(2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0) con el compuesto de cinco tetraedros como un conjunto de 5 elementos, PSL(2,7) del cuártico de Klein (género 3) con un plano de Fano incrustado (complementario) como un conjunto de 7 elementos (biplano de orden 2), y PSL(2,11) el${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$superficie de buckminsterfullereno (género 70) conbiplano de Paleycomo un conjunto de 11 elementos (biplano).^[16]De estos, el icosaedro data de la antigüedad, el cuártico de Klein a Klein en la década de 1870 y la superficie de buckybola a Pablo Martin y David Singerman en 2008.

Algebro-geométricamente, McKay también asocia E ₆ , E ₇ , E ₈ respectivamente con: las 27 líneas en una superficie cúbica , las 28 bitangentes de una curva cuártica plana , y los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4. ^{[17] [18]} El primero de estos es bien conocido, mientras que el segundo está conectado de la siguiente manera: proyectar la cúbica desde cualquier punto que no esté en una línea produce una doble cobertura del plano, ramificada a lo largo de una curva cuártica, con las 27 líneas mapeándose a 27 de las 28 bitangentes, y la línea 28 es la imagen de la curva excepcional de la explosión. Nótese que las representaciones fundamentales de E ₆ , E ₇ , E ₈ tienen dimensiones 27, 56 (28·2), y 248 (120+128), mientras que el número de raíces es 27+45 = 72, 56+70 = 126, y 112+128 = 240. Esto también debería encajar en el esquema ^[19] de relacionar E _8,7,6 con los tres más grandes de los grupos simples esporádicos, Monster, Baby y Fischer 24', cf. monstrous moonshine .

• Superficie elíptica

• John Baez , Hallazgos de esta semana en física matemática: Semana 62, Semana 63, Semana 64, Semana 65, del 28 de agosto de 1995 al 3 de octubre de 1995, y Semana 230, 4 de mayo de 2006
• La correspondencia de McKay, Tony Smith
• Clasificación ADE, correspondencia de McKay y teoría de cuerdas, Luboš Motl , The Reference Frame, 7 de mayo de 2006