Número primo

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales menores. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al propio 5. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto (2 × 2) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son centrales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o puede factorizarse como un producto de primos que es único hasta su orden.

La propiedad de ser primo se llama primalidad . Un método simple pero lento para verificar la primalidad de un número dado , llamado división de prueba , prueba si es un múltiplo de cualquier entero entre 2 y . Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad de Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Hay métodos particularmente rápidos disponibles para números de formas especiales, como los números de Mersenne . A diciembre de 2018, el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24,862,048 dígitos decimales . ^[1]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$^[actualizar]

Existen infinitos números primos, como demostró Euclides alrededor del año 300 a. C. No se conoce ninguna fórmula sencilla que separe los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de los primos dentro de los números naturales en los grandes puede modelarse estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , demostrado a finales del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relacionadas con los números primos aún no han sido resueltas. Entre ellas se encuentran la conjetura de Goldbach , según la cual todo entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , según la cual hay infinitos pares de primos que difieren en dos. Tales cuestiones impulsaron el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los primos se utilizan en varias rutinas de la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. En el álgebra abstracta , los objetos que se comportan de forma generalizada como los números primos incluyen los elementos primos y los ideales primos .

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no se puede escribir como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos . ^[2] En otras palabras, es primo si los elementos no se pueden dividir en grupos más pequeños de igual tamaño de más de un elemento, ^[3] o si no es posible organizar puntos en una cuadrícula rectangular que tenga más de un punto de ancho y más de un punto de alto. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5] ya que no hay otros números que los dividan de manera uniforme (sin un resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos.${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$

Los divisores de un número natural son los números naturales que se dividen de manera exacta. Todo número natural tiene como divisores tanto a 1 como a sí mismo. Si tiene cualquier otro divisor, no puede ser primo. Esto nos lleva a una definición equivalente de los números primos: son los números con exactamente dos divisores positivos . Esos dos son 1 y el número mismo. Como 1 solo tiene un divisor, él mismo, no es primo según esta definición. ^[6] Otra forma de expresar lo mismo es que un número es primo si es mayor que uno y si ninguno de los números se divide de manera exacta. ^[7]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle 2,3,\puntos ,n-1}$${\estilo de visualización n}$

Los primeros 25 números primos (todos los números primos menores que 100) son: ^[8]

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 (secuencia A000040 en la OEIS ).

Ningún número par mayor que 2 es primo porque cualquier número de este tipo puede expresarse como el producto de . Por lo tanto, todo número primo distinto de 2 es un número impar y se denomina primo impar . ^[9] De manera similar, cuando se escriben en el sistema decimal habitual , todos los números primos mayores que 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Los números que terminan con otros dígitos son todos compuestos: los números decimales que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 son pares, y los números decimales que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. ^[10]${\estilo de visualización n}$${\displaystyle 2\veces n/2}$

El conjunto de todos los números primos se denota a veces por (una P mayúscula en negrita ) ^[11] o por (una P mayúscula en negrita en pizarra ). ^[12]${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

El Papiro matemático Rhind , de alrededor de 1550 a. C., contiene expansiones fraccionarias egipcias de diferentes formas para números primos y compuestos. ^[13] Sin embargo, los primeros registros supervivientes del estudio de los números primos provienen de los antiguos matemáticos griegos , que los llamaban prōtos arithmòs ( πρῶτος ἀριθμὸς ). Los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.) prueban la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética , y muestran cómo construir un número perfecto a partir de un primo de Mersenne . ^[14] Otra invención griega, la criba de Eratóstenes , todavía se utiliza para construir listas de primos. ^{[15] [16]}

Alrededor del año 1000 d. C., el matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) descubrió el teorema de Wilson , que caracteriza a los números primos como los números que dividen de manera uniforme a . También conjeturó que todos los números perfectos pares provienen de la construcción de Euclides utilizando primos de Mersenne, pero no pudo demostrarlo. ^[17] Otro matemático islámico, Ibn al-Banna' al-Marrakushi , observó que la criba de Eratóstenes se puede acelerar considerando solo los divisores primos hasta la raíz cuadrada del límite superior. ^[16] Fibonacci llevó las innovaciones de las matemáticas islámicas a Europa. Su libro Liber Abaci (1202) fue el primero en describir la división por tanteo para probar la primalidad, nuevamente utilizando divisores solo hasta la raíz cuadrada. ^[16]${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)!+1}$

En 1640 Pierre de Fermat enunció (sin pruebas) el pequeño teorema de Fermat (más tarde demostrado por Leibniz y Euler ). ^[18] Fermat también investigó la primalidad de los números de Fermat , ^[19] y Marin Mersenne estudió los primos de Mersenne , números primos de la forma con él mismo un primo. ^[20] Christian Goldbach formuló la conjetura de Goldbach , de que todo número par es la suma de dos primos, en una carta de 1742 a Euler. ^[21] Euler demostró la conjetura de Alhazen (ahora el teorema de Euclides-Euler ) de que todos los números perfectos pares pueden construirse a partir de primos de Mersenne. ^[14] Introdujo métodos del análisis matemático en esta área en sus pruebas de la infinitud de los primos y la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos . ^[22] A principios del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron que como tiende a infinito, el número de primos hasta es asintótico a , donde es el logaritmo natural de . Una consecuencia más débil de esta alta densidad de primos fue el postulado de Bertrand , de que para cada hay un primo entre y , demostrado en 1852 por Pafnuty Chebyshev . ^[23] Las ideas de Bernhard Riemann en su artículo de 1859 sobre la función zeta esbozaron un esquema para demostrar la conjetura de Legendre y Gauss. Aunque la hipótesis de Riemann, estrechamente relacionada , sigue sin demostrarse, el esquema de Riemann fue completado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin , y el resultado ahora se conoce como el teorema de los números primos . ^[24] Otro resultado importante del siglo XIX fue el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , que afirma que ciertas progresiones aritméticas contienen infinitos números primos. ^[25]${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x/\log x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$

Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para números mayores que aquellos en los que la división por tanteo es prácticamente aplicable. Los métodos que están restringidos a formas numéricas específicas incluyen la prueba de Pépin para números de Fermat (1877), ^[26] el teorema de Proth (c. 1878), ^[27] la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (originada en 1856) y la prueba de primalidad generalizada de Lucas . ^[16]

Desde 1951, todos los primos más grandes conocidos se han encontrado utilizando estas pruebas en computadoras . ^[a] La búsqueda de primos cada vez más grandes ha generado interés fuera de los círculos matemáticos, a través de la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet y otros proyectos de computación distribuida . ^{[8] [29]} La idea de que los números primos tenían pocas aplicaciones fuera de las matemáticas puras ^[b] se hizo añicos en la década de 1970 cuando se inventaron la criptografía de clave pública y el criptosistema RSA , utilizando números primos como base. ^[32]

La creciente importancia práctica de las pruebas de primalidad y factorización computarizadas condujo al desarrollo de métodos mejorados capaces de manejar grandes cantidades de forma no restringida. ^{[15] [33] [34]} La teoría matemática de los números primos también avanzó con el teorema de Green-Tao (2004) que sostiene que existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos, y la prueba de Yitang Zhang de 2013 de que existen infinitos huecos primos de tamaño acotado. ^[35]

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban que el 1 fuera un número, ^{[36] [37]} por lo que no podían considerar su primalidad. Algunos eruditos de la tradición griega y romana posterior, incluidos Nicómaco , Jámblico , Boecio y Casiodoro , también consideraban que los números primos eran una subdivisión de los números impares, por lo que tampoco consideraban que el 2 fuera primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los demás matemáticos griegos consideraban que el 2 era primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar que el 1 no era un número. ^[36] En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar al 1 como un número, y algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^[38] A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach incluyó al 1 como primo en su correspondencia con Leonhard Euler ; ^[39] sin embargo, el propio Euler no consideraba que el 1 fuera primo. ^[40] Muchos matemáticos del siglo XIX todavía consideraban que el 1 era primo, ^[41] y Derrick Norman Lehmer incluyó al 1 en su lista de primos menores de diez millones publicada en 1914. ^[42] Las listas de primos que incluían al 1 continuaron publicándose hasta 1956. ^{[43] [44]} Sin embargo, en esta época, a principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que el 1 no debería clasificarse como un número primo. ^[41]

Si se considera que 1 es un número primo, muchas afirmaciones que involucran números primos deberían ser reformuladas de manera incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética debería ser reformulado en términos de factorizaciones en números primos mayores que 1, porque cada número tendría factorizaciones múltiples con cualquier número de copias de 1. ^[41] De manera similar, la criba de Eratóstenes no funcionaría correctamente si manejara 1 como un número primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y generaría solo el número único 1. ^[44] Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco se cumplen para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totiente de Euler o para la función de suma de divisores son diferentes para los números primos que para el 1. ^[45] A principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que 1 no debería figurar como primo, sino en su propia categoría especial como una " unidad ". ^[41]

Escribir un número como producto de números primos se denomina factorización prima del número. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se llaman factores primos . El mismo factor primo puede aparecer más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo. Cuando un primo aparece varias veces, se puede utilizar la exponenciación para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior, denota el cuadrado o la segunda potencia de${\displaystyle 5.}$${\displaystyle 5^{2}}$${\displaystyle 5.}$

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general se deriva del teorema fundamental de la aritmética . ^[46] Este teorema establece que todo entero mayor que 1 puede escribirse como un producto de uno o más primos. Más fuertemente, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primos cualesquiera del mismo número tendrán el mismo número de copias de los mismos primos, aunque su orden puede diferir. ^[47] Por lo tanto, aunque hay muchas formas diferentes de encontrar una factorización utilizando un algoritmo de factorización de números enteros , todas deben producir el mismo resultado. Los primos pueden considerarse, por lo tanto, los "bloques básicos de construcción" de los números naturales. ^[48]

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primales se basan en el lema de Euclides : Si es un número primo y divide un producto de números enteros y luego divide o divide (o ambos). ^[49] Por el contrario, si un número tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces debe ser primo. ^[50]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Hay infinitos números primos. Otra forma de decirlo es que la secuencia

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

La infinitud de los números primos nunca termina. Esta afirmación se conoce como el teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que la primera prueba conocida de esta afirmación se le atribuye a él. Se conocen muchas más pruebas de la infinitud de los números primos, incluida una prueba analítica de Euler , la prueba de Goldbach basada en los números de Fermat , ^{[51] la prueba} de Furstenberg utilizando la topología general , ^[52] y la prueba elegante de Kummer . ^[53]

La prueba de Euclides ^[54] muestra que toda lista finita de primos es incompleta. La idea clave es multiplicar los primos de cualquier lista dada y sumar. Si la lista consta de los primos, esto da el número${\displaystyle 1.}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Por el teorema fundamental, tiene una factorización prima${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos. es divisible de manera exacta por cada uno de estos factores, pero tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos de la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de puede estar en la lista dada. Como no hay una lista finita de todos los primos, debe haber infinitos primos.${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

Los números que se forman sumando uno a los productos de los primos más pequeños se llaman números de Euclides . ^[55] Los primeros cinco de ellos son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

No se conoce ninguna fórmula eficiente para los números primos. Por ejemplo, no existe ningún polinomio no constante , incluso en varias variables, que tome solo valores primos. ^[56] Sin embargo, existen numerosas expresiones que codifican todos los primos, o solo los primos. Una fórmula posible se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^[57] También existe un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y solo si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una única fórmula con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^[56]

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de números primos provienen del teorema de Mills y un teorema de Wright . Estos afirman que existen constantes reales y tales que${\displaystyle A>1}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural en la primera fórmula y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^[58] Aquí representa la función base , el entero más grande menor o igual que el número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar primos, ya que los primos deben generarse primero para calcular los valores de o ^[56]${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu .}$

Se han planteado muchas conjeturas que giran en torno a los números primos. Muchas de estas conjeturas, que a menudo tienen una formulación elemental, han resistido la prueba durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 siguen sin resolverse. ^[59] Una de ellas es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 puede escribirse como una suma de dos primos. ^[60] A partir de 2014 , esta conjetura se ha verificado para todos los números hasta ^[61] Se han demostrado afirmaciones más débiles que esta, por ejemplo, el teorema de Vinogradov dice que todo entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos. ^[62] El teorema de Chen dice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^[63] Además, cualquier entero par mayor que 10 puede escribirse como la suma de seis primos. ^[64] La rama de la teoría de números que estudia estas cuestiones se llama teoría de números aditivos . ^[65]${\displaystyle n}$^[update]${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$

Otro tipo de problema se refiere a los huecos entre primos , las diferencias entre primos consecutivos. La existencia de huecos entre primos arbitrariamente grandes se puede ver al notar que la secuencia consiste en números compuestos, para cualquier número natural ^[66] Sin embargo, los huecos entre primos grandes ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^[67] Por ejemplo, el primer hueco entre primos de longitud 8 está entre los primos 89 y 97, ^[68] mucho más pequeño que Se conjetura que hay infinitos primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; esta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac establece de manera más general que para cada entero positivo hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en ^[69] La conjetura de Andrica , ^[69] la conjetura de Brocard , ^[70] la conjetura de Legendre , ^[71] y la conjetura de Oppermann ^[70] sugieren que las brechas más grandes entre primos de a deberían ser como máximo aproximadamente un resultado que se sabe que se sigue de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér mucho más fuerte establece el tamaño de brecha más grande en ^[69] Las brechas de primos se pueden generalizar a primos -tuplas , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitud y densidad son el tema de la primera conjetura de Hardy-Littlewood , que puede estar motivada por la heurística de que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con densidad dada por el teorema de los números primos. ^[72]${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 8!=40320.}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle 2k.}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}},}$${\displaystyle O((\log n)^{2}).}$${\displaystyle k}$

La teoría analítica de números estudia la teoría de números a través de la lente de las funciones continuas , los límites , las series infinitas y las matemáticas relacionadas con lo infinito y lo infinitesimal .

Esta área de estudio comenzó con Leonhard Euler y su primer resultado importante, la solución del problema de Basilea . El problema pedía el valor de la suma infinita que hoy puede reconocerse como el valor de la función zeta de Riemann . Esta función está estrechamente relacionada con los números primos y con uno de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas, la hipótesis de Riemann . Euler demostró que . ^[73] El recíproco de este número, , es la probabilidad límite de que dos números aleatorios seleccionados uniformemente de un rango grande sean primos entre sí (no tengan factores en común). ^[74]${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

La distribución de los números primos en los grandes, como la cuestión de cuántos primos son menores que un umbral grande dado, se describe mediante el teorema de los números primos , pero no se conoce ninguna fórmula eficiente para el primo -ésimo . ${\displaystyle n}$El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , en su forma básica, afirma que los polinomios lineales

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

con números enteros relativamente primos y toman infinitos valores primos. Las formas más fuertes del teorema establecen que la suma de los recíprocos de estos valores primos diverge, y que diferentes polinomios lineales con el mismo valor tienen aproximadamente las mismas proporciones de primos. Aunque se han formulado conjeturas sobre las proporciones de primos en polinomios de grado superior, siguen sin demostrarse, y se desconoce si existe un polinomio cuadrático que (para argumentos enteros) sea primo infinitamente a menudo.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

La prueba de Euler de que hay infinitos números primos considera las sumas de los recíprocos de los primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario , existe un primo para el cual esta suma es mayor que . ^[75] Esto demuestra que hay infinitos primos, porque si hubiera un número finito de primos la suma alcanzaría su valor máximo en el primo más grande en lugar de crecer más allá de cada . La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión mediante el segundo teorema de Mertens . ^[76] A modo de comparación, la suma${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito como tiende al infinito (véase el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos ocurren con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^[77] El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos ,${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , según la cual existen infinitos primos gemelos. ^[77]

La función de conteo de primos se define como el número de primos no mayores que . ^[78] Por ejemplo, , ya que hay cinco primos menores o iguales a 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de más rápido de lo que sería posible enumerar cada primo hasta . ^[79] El teorema de los números primos establece que es asintótico a , que se denota como${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (11)=5}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n/\log n}$

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la razón de a la fracción de la derecha se acerca a 1 a medida que crece hasta el infinito. ^[80] Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que sea primo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en . ^[81] También implica que el º número primo es proporcional a ^[82] y, por lo tanto, que el tamaño promedio de un espacio primo es proporcional a . ^[67] Una estimación más precisa para se da mediante la integral logarítmica de desplazamiento ^[80]${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\log n}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Una progresión aritmética es una secuencia finita o infinita de números tal que todos los números consecutivos en la secuencia tienen la misma diferencia. ^[83] Esta diferencia se llama módulo de la progresión. ^[84] Por ejemplo,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

es una progresión aritmética infinita con módulo 9. En una progresión aritmética, todos los números tienen el mismo resto cuando se dividen por el módulo; en este ejemplo, el resto es 3. Como tanto el módulo 9 como el resto 3 son múltiplos de 3, también lo es cada elemento de la secuencia. Por lo tanto, esta progresión contiene solo un número primo, el propio 3. En general, la progresión infinita

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

puede tener más de un primo sólo cuando su resto y módulo son primos entre sí. Si son primos entre sí, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas afirma que la progresión contiene infinitos primos. ^[85]${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

Primos en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la delgada banda horizontal muestra una de las nueve posibles progresiones módulo 9, con los números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 módulo 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 2, 4, 5, 7 y 8 módulo 9 tienen infinitos números primos, con cantidades similares de primos en cada progresión.

El teorema de Green-Tao muestra que existen progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que constan únicamente de números primos. ^{[35] [86]}

Euler observó que la función

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

produce números primos para , aunque los números compuestos aparecen entre sus valores posteriores. ^{[87] [88]} La búsqueda de una explicación para este fenómeno condujo a la teoría de números algebraicos profundos de los números de Heegner y al problema del número de clase . ^[89] La conjetura de Hardy-Littlewood F predice la densidad de primos entre los valores de polinomios cuadráticos con coeficientes enteros en términos de la integral logarítmica y los coeficientes polinomiales. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático tome infinitos valores primos. ^[90]${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$

La espiral de Ulam organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando espirales en cuadrados concéntricos que rodean el origen con los números primos resaltados. Visualmente, los primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^[90]

Una de las cuestiones sin resolver más famosas de las matemáticas, que data de 1859 y que forma parte de los Problemas del Premio del Milenio , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde se encuentran los ceros de la función zeta de Riemann . Esta función es una función analítica sobre los números complejos . Para los números complejos con parte real mayor que uno, es igual a una suma infinita sobre todos los números enteros y a un producto infinito sobre los números primos.${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se llama producto de Euler . ^[91] El producto de Euler se puede derivar del teorema fundamental de la aritmética, y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^[92] Conduce a otra prueba de que hay infinitos primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad suma-producto también sería válida en , pero la suma divergiría (es la serie armónica ) mientras que el producto sería finito, una contradicción. ^[93]${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con parte real igual a 1/2. ^[94] La prueba original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con parte real igual a 1, ^{[95] [96]} aunque se han encontrado otras pruebas más elementales. ^[97] La ​​función de conteo de primos puede expresarse mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica, y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^[98] En este sentido, los ceros controlan la regularidad con la que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es verdadera, estas fluctuaciones serán pequeñas, y la distribución asintótica de los primos dada por el teorema de los números primos también se mantendrá en intervalos mucho más cortos (de longitud aproximadamente la raíz cuadrada de para intervalos cercanos a un número ). ^[96]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

La aritmética modular modifica la aritmética habitual utilizando únicamente los números , para un número natural llamado módulo. Cualquier otro número natural puede asignarse a este sistema reemplazándolo por su residuo después de la división por . ^[99] Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando el mismo reemplazo por el residuo en el resultado de la suma, diferencia o producto habitual de números enteros. ^[100] La igualdad de números enteros corresponde a la congruencia en la aritmética modular: y son congruentes (escritos mod ) cuando tienen el mismo residuo después de la división por . ^[101] Sin embargo, en este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y solo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo como módulo, la división por es posible: , porque despejar los denominadores multiplicando ambos lados por da la fórmula válida . Sin embargo, con el módulo compuesto , la división por es imposible. No existe una solución válida para : despejar denominadores multiplicando por hace que el lado izquierdo se convierta en mientras que el lado derecho se convierte en o . En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar divisiones significa que la aritmética modular módulo un número primo forma un cuerpo o, más específicamente, un cuerpo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo pero no un cuerpo. ^[102]${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\equiv y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 3}$

Se pueden formular varios teoremas sobre números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si (mod ), entonces (mod ). ^[103] Sumando esto sobre todas las opciones de se obtiene la ecuación${\displaystyle a\not \equiv 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre que sea primo. La conjetura de Giuga dice que esta ecuación también es una condición suficiente para que sea primo. ^[104] El teorema de Wilson dice que un entero es primo si y solo si el factorial es congruente con módulo . Para un número compuesto esto no puede cumplirse, ya que uno de sus factores divide tanto a n como a , y por lo tanto es imposible. ^[105]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \;n=r\cdot s\;}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$

El orden -ádico de un entero es el número de copias de en la factorización prima de . El mismo concepto se puede extender de los números enteros a los números racionales definiendo el orden -ádico de una fracción como . El valor absoluto -ádico de cualquier número racional se define entonces como . Multiplicar un entero por su valor absoluto -ádico cancela los factores de en su factorización, dejando solo los otros primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su distancia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su distancia -ádica, el valor absoluto -ádico de su diferencia. Para esta definición de distancia, dos números están cerca uno del otro (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una alta potencia de . De la misma manera que los números reales se pueden formar a partir de los números racionales y sus distancias, añadiendo valores límite adicionales para formar un cuerpo completo , los números racionales con la distancia -ádica se pueden extender a un cuerpo completo diferente, los números -ádicos . ^{[106] [107]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m/n}$${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |q|_{p}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Esta imagen de un orden, valor absoluto y cuerpo completo derivada de ellos puede generalizarse a cuerpos de números algebraicos y sus valoraciones (ciertos mapeos del grupo multiplicativo del cuerpo a un grupo aditivo totalmente ordenado , también llamados órdenes), valores absolutos (ciertos mapeos multiplicativos del cuerpo a los números reales, también llamados normas), ^[106] y lugares (extensiones a cuerpos completos en los que el cuerpo dado es un conjunto denso , también llamados compleciones). ^[108] La extensión de los números racionales a los números reales , por ejemplo, es un lugar en el que la distancia entre números es el valor absoluto usual de su diferencia. El mapeo correspondiente a un grupo aditivo sería el logaritmo del valor absoluto, aunque esto no cumple con todos los requisitos de una valoración. Según el teorema de Ostrowski , hasta una noción natural de equivalencia, los números reales y los números -ádicos, con sus órdenes y valores absolutos, son las únicas valoraciones, valores absolutos y lugares en los números racionales. ^[106] El principio local-global permite que ciertos problemas sobre números racionales se resuelvan juntando soluciones de cada uno de sus lugares, lo que subraya nuevamente la importancia de los números primos para la teoría de números. ^[109]${\displaystyle p}$

Un anillo conmutativo es una estructura algebraica donde se definen la adición, la sustracción y la multiplicación. Los números enteros son un anillo, y los números primos en los números enteros se han generalizado a anillos de dos maneras diferentes, elementos primos y elementos irreducibles . Un elemento de un anillo se llama primo si es distinto de cero, no tiene inverso multiplicativo (es decir, no es una unidad ) y satisface el siguiente requisito: siempre que divide el producto de dos elementos de , también divide al menos uno de o . Un elemento es irreducible si no es una unidad ni el producto de otros dos elementos no unitarios. En el anillo de números enteros, los elementos primos e irreducibles forman el mismo conjunto,${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

En un anillo arbitrario, todos los elementos primos son irreducibles. La inversa no se cumple en general, pero sí para dominios de factorización únicos . ^[110]

El teorema fundamental de la aritmética sigue siendo válido (por definición) en dominios de factorización única. Un ejemplo de dicho dominio son los números enteros gaussianos , el anillo de números complejos de la forma donde denota la unidad imaginaria y y son números enteros arbitrarios. Sus elementos primos se conocen como primos gaussianos . No todos los números que son primos entre los números enteros siguen siendo primos en los números enteros gaussianos; por ejemplo, el número 2 se puede escribir como un producto de los dos primos gaussianos y . Los primos racionales (los elementos primos en los números enteros) congruentes con 3 módulo 4 son primos gaussianos, pero los primos racionales congruentes con 1 módulo 4 no lo son. ^[111] Esto es una consecuencia del teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar es expresable como la suma de dos cuadrados, , y por lo tanto factorizable como , exactamente cuando es 1 módulo 4. ^[112]${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle 1-i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$${\displaystyle p}$

No todos los anillos son un dominio de factorización única. Por ejemplo, en el anillo de números (para enteros y ) el número tiene dos factorizaciones , donde ninguno de los cuatro factores puede reducirse más, por lo que no tiene una factorización única. Para extender la factorización única a una clase más grande de anillos, la noción de un número puede reemplazarse por la de un ideal , un subconjunto de los elementos de un anillo que contiene todas las sumas de pares de sus elementos y todos los productos de sus elementos con elementos del anillo. Los ideales primos , que generalizan elementos primos en el sentido de que el ideal principal generado por un elemento primo es un ideal primo, son una herramienta importante y un objeto de estudio en álgebra conmutativa , teoría de números algebraicos y geometría algebraica . Los ideales primos del anillo de números enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... El teorema fundamental de la aritmética se generaliza al teorema de Lasker-Noether , que expresa cada ideal en un anillo conmutativo noetheriano como una intersección de ideales primarios , que son las generalizaciones apropiadas de potencias primos . ^[113]${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$

El espectro de un anillo es un espacio geométrico cuyos puntos son los ideales primos del anillo. ^[114] La geometría aritmética también se beneficia de esta noción, y existen muchos conceptos tanto en geometría como en teoría de números. Por ejemplo, la factorización o ramificación de ideales primos cuando se elevan a un cuerpo de extensión , un problema básico de la teoría algebraica de números, tiene cierta semejanza con la ramificación en geometría . Estos conceptos pueden incluso ayudar en cuestiones de teoría de números que solo se ocupan de números enteros. Por ejemplo, los ideales primos en el anillo de números enteros de cuerpos de números cuadráticos se pueden utilizar para demostrar la reciprocidad cuadrática , una afirmación que se refiere a la existencia de raíces cuadradas módulo números primos enteros. ^[115] Los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat llevaron a la introducción de Kummer de los primos regulares , números primos enteros relacionados con el fracaso de la factorización única en los números enteros ciclotómicos . ^[116] La cuestión de cuántos números primos enteros se factorizan en un producto de múltiples ideales primos en un campo de números algebraicos se aborda mediante el teorema de densidad de Chebotarev , que (cuando se aplica a los números enteros ciclotómicos) tiene como caso especial el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. ^[117]

En la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow implican que, si una potencia de un número primo divide el orden de un grupo , entonces el grupo tiene un subgrupo de orden . Por el teorema de Lagrange , cualquier grupo de orden primo es un grupo cíclico , y por el teorema de Burnside, cualquier grupo cuyo orden sea divisible por sólo dos primos es resoluble . ^[118]${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p^{n}}$

Durante mucho tiempo, la teoría de números en general, y el estudio de los números primos en particular, fue vista como el ejemplo canónico de las matemáticas puras, sin aplicaciones fuera de las matemáticas ^[b] más allá del uso de dientes de engranajes con números primos para distribuir el desgaste de manera uniforme. ^[119] En particular, los teóricos de números como el matemático británico GH Hardy se enorgullecían de hacer un trabajo que no tenía absolutamente ninguna importancia militar. ^[120]

Esta visión de la pureza de la teoría de números se hizo añicos en la década de 1970, cuando se anunció públicamente que los números primos podían usarse como base para la creación de algoritmos de criptografía de clave pública . ^[32] Estas aplicaciones han llevado a un estudio significativo de algoritmos para computar con números primos, y en particular de pruebas de primalidad , métodos para determinar si un número dado es primo. La rutina de prueba de primalidad más básica, la división de prueba, es demasiado lenta para ser útil para números grandes. Un grupo de pruebas de primalidad modernas es aplicable a números arbitrarios, mientras que hay pruebas más eficientes disponibles para números de tipos especiales. La mayoría de las pruebas de primalidad solo indican si su argumento es primo o no. Las rutinas que también proporcionan un factor primo de argumentos compuestos (o todos sus factores primos) se denominan algoritmos de factorización . Los números primos también se utilizan en computación para sumas de comprobación , tablas hash y generadores de números pseudoaleatorios .

El método más básico para comprobar la primalidad de un entero dado se llama división de prueba . Este método divide por cada entero desde 2 hasta la raíz cuadrada de . Cualquier entero de este tipo que se divida de manera uniforme se establece como compuesto; de lo contrario, es primo. Los enteros mayores que la raíz cuadrada no necesitan ser comprobados porque, siempre que , uno de los dos factores y es menor o igual que la raíz cuadrada de . Otra optimización es comprobar solo los primos como factores en este rango. ^[121] Por ejemplo, para comprobar si 37 es primo, este método lo divide por los primos en el rango de 2 a , que son 2, 3 y 5. Cada división produce un resto distinto de cero, por lo que 37 es de hecho primo.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=a\cdot b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {37}}}$

Aunque este método es simple de describir, no es práctico para probar la primalidad de números enteros grandes, porque el número de pruebas que realiza crece exponencialmente en función del número de dígitos de estos números enteros. ^[122] Sin embargo, todavía se utiliza la división de prueba, con un límite menor que la raíz cuadrada en el tamaño del divisor, para descubrir rápidamente números compuestos con factores pequeños, antes de utilizar métodos más complicados en los números que pasan este filtro. ^[123]

Antes de las computadoras, era común imprimir tablas matemáticas que enumeraban todos los primos o factorizaciones primos hasta un límite dado. ^[124] El método más antiguo conocido para generar una lista de primos se llama criba de Eratóstenes. ^[125] La animación muestra una variante optimizada de este método. ^[126] Otro método de cribado asintóticamente más eficiente para el mismo problema es la criba de Atkin . ^[127] En matemáticas avanzadas, la teoría de cribas aplica métodos similares a otros problemas. ^[128]

Algunas de las pruebas modernas más rápidas para determinar si un número dado arbitrario es primo son algoritmos probabilísticos (o de Monte Carlo ), lo que significa que tienen una pequeña probabilidad aleatoria de producir una respuesta incorrecta. ^[129] Por ejemplo, la prueba de primalidad de Solovay-Strassen sobre un número dado elige un número al azar entre y utiliza la exponenciación modular para comprobar si es divisible por . ^[c] Si es así, responde sí y, en caso contrario, responde no. Si realmente es primo, siempre responderá sí, pero si es compuesto, entonces responde sí con una probabilidad de como máximo 1/2 y no con una probabilidad de como mínimo 1/2. ^[130] Si esta prueba se repite veces sobre el mismo número, la probabilidad de que un número compuesto pueda pasar la prueba cada vez es como máximo . Debido a que esto disminuye exponencialmente con el número de pruebas, proporciona una alta confianza (aunque no certeza) de que un número que pasa la prueba repetida es primo. Por otro lado, si la prueba alguna vez falla, entonces el número es ciertamente compuesto. ^[131] Un número compuesto que pasa dicha prueba se llama pseudoprimo . ^[130]${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p-2}$${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/2^{n}}$

Por el contrario, algunos otros algoritmos garantizan que su respuesta siempre será correcta: los primos siempre se determinarán como primos y los compuestos siempre se determinarán como compuestos. Por ejemplo, esto es cierto para la división por tanteo. Los algoritmos con salida correcta garantizada incluyen algoritmos deterministas (no aleatorios), como la prueba de primalidad AKS , ^[132] y algoritmos aleatorios de Las Vegas donde las elecciones aleatorias hechas por el algoritmo no afectan su respuesta final, como algunas variaciones de la prueba de primalidad de curva elíptica . ^[129] Cuando el método de curva elíptica concluye que un número es primo, proporciona un certificado de primalidad que se puede verificar rápidamente. ^[133] La prueba de primalidad de curva elíptica es la más rápida en la práctica de las pruebas de primalidad correcta garantizada, pero su análisis en tiempo de ejecución se basa en argumentos heurísticos en lugar de pruebas rigurosas. La prueba de primalidad AKS ha demostrado matemáticamente la complejidad temporal, pero es más lenta que la prueba de primalidad de curva elíptica en la práctica. ^[134] Estos métodos se pueden utilizar para generar números primos aleatorios grandes, generando y probando números aleatorios hasta encontrar uno que sea primo; al hacer esto, una prueba probabilística más rápida puede eliminar rápidamente la mayoría de los números compuestos antes de que se utilice un algoritmo de corrección garantizada para verificar que los números restantes sean primos. ^[d]

La siguiente tabla enumera algunas de estas pruebas. Su tiempo de ejecución se da en términos de , el número que se va a probar y, para algoritmos probabilísticos, el número de pruebas realizadas. Además, es un número positivo arbitrariamente pequeño y log es el logaritmo en una base no especificada. La notación O mayúscula significa que cada límite de tiempo debe multiplicarse por un factor constante para convertirlo de unidades adimensionales a unidades de tiempo; este factor depende de detalles de implementación como el tipo de computadora utilizada para ejecutar el algoritmo, pero no de los parámetros de entrada y .${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Prueba	Desarrollado en	Tipo	Duración del programa	Notas	Referencias
Prueba de primalidad AKS	2002	determinista	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}$		[132] [135]
Demostración de primalidad de curva elíptica	1986	Las Vegas	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}$ Heurísticamente		[134]
Prueba de primalidad de Baillie-PSW	1980	Montecarlo	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}$		[136] [137]
Prueba de primalidad de Miller-Rabin	1980	Montecarlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	probabilidad de error${\displaystyle 4^{-k}}$	[138]
Prueba de primalidad de Solovay-Strassen	1977	Montecarlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	probabilidad de error${\displaystyle 2^{-k}}$	[138]

Además de las pruebas mencionadas anteriormente que se aplican a cualquier número natural, algunos números de una forma especial pueden ser sometidos a pruebas de primalidad más rápidamente. Por ejemplo, la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer puede determinar si un número de Mersenne (uno menos que una potencia de dos ) es primo, de manera determinista, en el mismo tiempo que una única iteración de la prueba de Miller-Rabin. ^[139] Es por esto que desde 1992 (a diciembre de 2018 ^[update]) el primo más grande conocido siempre ha sido un primo de Mersenne. ^[140] Se conjetura que hay infinitos primos de Mersenne. ^[141]

La siguiente tabla muestra los números primos más grandes conocidos de varios tipos. Algunos de estos números primos se han encontrado utilizando computación distribuida . En 2009, el proyecto Great Internet Mersenne Prime Search recibió un premio de 100.000 dólares estadounidenses por descubrir primero un número primo con al menos 10 millones de dígitos. ^[142] La Electronic Frontier Foundation también ofrece 150.000 y 250.000 dólares por números primos con al menos 100 millones de dígitos y 1.000 millones de dígitos, respectivamente. ^[143]

Dado un entero compuesto , la tarea de proporcionar uno (o todos) de los factores primos se conoce como factorización de . Es significativamente más difícil que la prueba de primalidad, ^[150] y aunque se conocen muchos algoritmos de factorización, son más lentos que los métodos de prueba de primalidad más rápidos. La división de prueba y el algoritmo rho de Pollard se pueden utilizar para encontrar factores muy pequeños de , ^[123] y la factorización de curva elíptica puede ser efectiva cuando tiene factores de tamaño moderado. ^[151] Los métodos adecuados para números arbitrarios grandes que no dependen del tamaño de sus factores incluyen la criba cuadrática y la criba de campo numérico general . Al igual que con la prueba de primalidad, también hay algoritmos de factorización que requieren que su entrada tenga una forma especial, incluida la criba de campo numérico especial . ^[152] A diciembre de 2019, el número más grande conocido que ha sido factorizado por un algoritmo de propósito general es RSA-240 , que tiene 240 dígitos decimales (795 bits) y es el producto de dos primos grandes. ^[153]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$^[update]

El algoritmo de Shor puede factorizar cualquier número entero en un número polinómico de pasos en un ordenador cuántico . ^[154] Sin embargo, la tecnología actual sólo puede ejecutar este algoritmo para números muy pequeños. A fecha de octubre de 2012, ^[update]el número más grande que ha sido factorizado por un ordenador cuántico que ejecuta el algoritmo de Shor es 21. ^[155]

Varios algoritmos de criptografía de clave pública , como RSA y el intercambio de claves Diffie-Hellman , se basan en números primos grandes (los primos de 2048 bits son comunes). ^[156] RSA se basa en el supuesto de que es mucho más fácil (es decir, más eficiente) realizar la multiplicación de dos números (grandes) y que calcular y (supuestos coprimos ) si solo se conoce el producto. ^[32] El intercambio de claves Diffie-Hellman se basa en el hecho de que existen algoritmos eficientes para la exponenciación modular (computación ), mientras que la operación inversa (el logaritmo discreto ) se considera un problema difícil. ^[157]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$

Los números primos se utilizan con frecuencia para las tablas hash . Por ejemplo, el método original de Carter y Wegman para el hash universal se basaba en calcular funciones hash eligiendo funciones lineales aleatorias módulo números primos grandes. Carter y Wegman generalizaron este método para el hash independiente mediante el uso de polinomios de grado superior, nuevamente módulo números primos grandes. ^[158] Así como en la función hash, los números primos se utilizan para el tamaño de la tabla hash en las tablas hash basadas en sondeo cuadrático para garantizar que la secuencia de sondeo cubra toda la tabla. ^[159]${\displaystyle k}$

Algunos métodos de suma de comprobación se basan en las matemáticas de los números primos. Por ejemplo, las sumas de comprobación utilizadas en los números de libros estándar internacionales se definen tomando el resto del número módulo 11, un número primo. Debido a que 11 es primo, este método puede detectar tanto errores de un solo dígito como transposiciones de dígitos adyacentes. ^[160] Otro método de suma de comprobación, Adler-32 , utiliza el módulo aritmético 65521, el número primo más grande menor que . ^[161] Los números primos también se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios, incluidos los generadores congruenciales lineales ^[162] y el Mersenne Twister . ^[163]${\displaystyle 2^{16}}$

Los números primos son de importancia central para la teoría de números, pero también tienen muchas aplicaciones en otras áreas dentro de las matemáticas, incluyendo el álgebra abstracta y la geometría elemental. Por ejemplo, es posible colocar números primos de puntos en una cuadrícula bidimensional de modo que no haya tres en una línea , o de modo que cada triángulo formado por tres de los puntos tenga un área grande . ^[164] Otro ejemplo es el criterio de Eisenstein , una prueba para determinar si un polinomio es irreducible en función de la divisibilidad de sus coeficientes por un número primo y su cuadrado. ^[165]

El concepto de número primo es tan importante que se ha generalizado de diferentes maneras en varias ramas de las matemáticas. Generalmente, "primo" indica minimalidad o indecomponibilidad, en un sentido apropiado. Por ejemplo, el cuerpo primo de un cuerpo dado es su subcuerpo más pequeño que contiene tanto 0 como 1. Es el cuerpo de los números racionales o un cuerpo finito con un número primo de elementos, de ahí el nombre. ^[166] A menudo se pretende un segundo significado adicional al usar la palabra primo, a saber, que cualquier objeto puede ser, esencialmente de manera única, descompuesto en sus componentes primos. Por ejemplo, en la teoría de nudos , un nudo primo es un nudo que es indecomponible en el sentido de que no puede escribirse como la suma conexa de dos nudos no triviales. Cualquier nudo puede expresarse de manera única como una suma conexa de nudos primos. ^[167] La ​​descomposición en primos de 3-variedades es otro ejemplo de este tipo. ^[168]

Más allá de las matemáticas y la informática, los números primos tienen conexiones potenciales con la mecánica cuántica y se han utilizado metafóricamente en las artes y la literatura. También se han utilizado en biología evolutiva para explicar los ciclos de vida de las cigarras .

Los primos de Fermat son primos de la forma

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

con un entero no negativo . ^[169] Reciben su nombre de Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos esos números son primos. Los primeros cinco de estos números (3, 5, 17, 257 y 65 537) son primos, ^[170] pero son compuestos, al igual que todos los demás números de Fermat que se han verificado hasta 2017. ^[171] Un -gono regular se puede construir usando regla y compás si y solo si los factores primos impares de (si los hay) son primos de Fermat distintos. ^[170] Del mismo modo, se puede construir un -gono regular usando regla, compás y un trisector de ángulos si y solo si los factores primos de son cualquier número de copias de 2 o 3 junto con un conjunto (posiblemente vacío) de primos de Pierpont distintos , primos de la forma . ^[172]${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{5}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$

Es posible dividir cualquier polígono convexo en polígonos convexos más pequeños de igual área y perímetro igual, cuando es una potencia de un número primo , pero esto no se sabe para otros valores de . ^[173]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

A partir del trabajo de Hugh Montgomery y Freeman Dyson en la década de 1970, los matemáticos y físicos han especulado que los ceros de la función zeta de Riemann están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos . ^{[174] [175]} Los números primos también son significativos en la ciencia de la información cuántica , gracias a estructuras matemáticas como bases mutuamente imparciales y medidas simétricas informacionalmente completas con valores de operadores positivos . ^{[176] [177]}

La estrategia evolutiva utilizada por las cigarras del género Magicicada hace uso de números primos. ^[178] Estos insectos pasan la mayor parte de sus vidas como larvas bajo tierra. Solo pupan y luego emergen de sus madrigueras después de 7, 13 o 17 años, momento en el que vuelan, se reproducen y luego mueren después de unas pocas semanas como máximo. Los biólogos teorizan que estas duraciones de ciclos de reproducción con números primos han evolucionado para evitar que los depredadores se sincronicen con estos ciclos. ^{[179] [180]} En contraste, se plantea la hipótesis de que los períodos de varios años entre la floración en las plantas de bambú son números lisos , que tienen solo pequeños números primos en sus factorizaciones. ^[181]

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen utilizó números primos para crear música amétrica a partir de «fenómenos naturales». En obras como La nativité du seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-50), empleó simultáneamente motivos con duraciones dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en el tercer estudio, «Neumes rythmiques». Según Messiaen, esta forma de componer estaba «inspirada en los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales». ^[182]

En su novela de ciencia ficción Contacto , el científico Carl Sagan sugirió que la factorización prima podría usarse como un medio para establecer planos de imagen bidimensionales en las comunicaciones con extraterrestres, una idea que había desarrollado por primera vez de manera informal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975. ^[183] ​​En la novela El curioso incidente del perro a medianoche de Mark Haddon , el narrador organiza las secciones de la historia mediante números primos consecutivos como una forma de transmitir el estado mental de su personaje principal, un adolescente matemáticamente dotado con síndrome de Asperger . ^[184] Los números primos se utilizan como una metáfora de la soledad y el aislamiento en la novela de Paolo Giordano La soledad de los números primos , en la que se los retrata como "forasteros" entre los números enteros. ^[185]