Función continua

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${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
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v t e

En matemáticas , una función continua es una función tal que una pequeña variación del argumento induce una pequeña variación del valor de la función. Esto implica que no hay cambios abruptos en el valor, conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiendo a cambios suficientemente pequeños de su argumento. Una función discontinua es una función que no es continua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos dependían en gran medida de nociones intuitivas de continuidad y consideraban solo funciones continuas. La definición épsilon-delta de un límite se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos básicos del cálculo y el análisis matemático , donde los argumentos y valores de las funciones son números reales y complejos . El concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos. Estos últimos son las funciones continuas más generales, y su definición es la base de la topología .

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . En la teoría del orden , especialmente en la teoría del dominio , un concepto relacionado con la continuidad es la continuidad de Scott .

Por ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el momento t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada punto del tiempo en que se deposita o retira dinero.

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y (véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad es muy similar a la definición infinitesimal que se utiliza hoy en día (véase microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, ^[1] Karl Weierstrass ^[2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que estuviera definida en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat ^[3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan ^[4] lo permitió incluso si la función estaba definida solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía se utilizan. ^[5] Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. ^[6]${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$

Una función real que es una función de números reales a números reales puede representarse mediante un gráfico en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es toda la recta real. A continuación se ofrece una definición matemáticamente más rigurosa. ^[8]

La continuidad de funciones reales se define habitualmente en términos de límites . Una función f con variable x es continua en el número real c , si el límite de cuando x tiende a c , es igual a${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$

Existen varias definiciones diferentes de la continuidad (global) de una función, que dependen de la naturaleza de su dominio .

Una función es continua en un intervalo abierto si el intervalo está contenido en el dominio de la función y la función es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en el intervalo (toda la recta real ) se suele llamar simplemente función continua; también se dice que una función de este tipo es continua en todas partes . Por ejemplo, todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes.${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Una función es continua en un intervalo semiabierto o cerrado ; si el intervalo está contenido en el dominio de la función, la función es continua en cada punto interior del intervalo, y el valor de la función en cada extremo que pertenece al intervalo es el límite de los valores de la función cuando la variable tiende al extremo desde el interior del intervalo. Por ejemplo, la función es continua en todo su dominio, que es el intervalo cerrado.${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle [0,+\infty ).}$

Muchas funciones que se encuentran comúnmente son funciones parciales que tienen un dominio formado por todos los números reales, excepto algunos puntos aislados . Ejemplos de ello son la función recíproca y la función tangente. Cuando son continuas en su dominio, se dice, en algunos contextos, que son continuas, aunque no lo sean en todas partes. En otros contextos, principalmente cuando se está interesado en su comportamiento cerca de los puntos excepcionales, se dice que son discontinuas.${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$

Una función parcial es discontinua en un punto si el punto pertenece al cierre topológico de su dominio y el punto no pertenece al dominio de la función o la función no es continua en el punto. Por ejemplo, las funciones y son discontinuas en 0 y permanecen discontinuas cualquiera sea el valor que se elija para definirlas en 0. Un punto en el que una función es discontinua se denomina discontinuidad .${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

Utilizando la notación matemática, existen varias formas de definir funciones continuas en los tres sentidos mencionados anteriormente.

Sea una función definida en un subconjunto del conjunto de números reales.$${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este subconjunto es el dominio de f . Algunas opciones posibles incluyen ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$: es decir, es el conjunto completo de números reales. o, para a y b números reales,${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$: es un intervalo cerrado , o${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$: es un intervalo abierto .${\displaystyle D}$

En el caso de que el dominio se defina como un intervalo abierto, y no pertenecen a , y los valores de y no importan para la continuidad en .${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle D}$

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de cuando x tiende a c a través del dominio de f , existe y es igual a ^[9] En notación matemática, esto se escribe como En detalle, esto significa tres condiciones: primero, f tiene que estar definida en c (garantizada por el requisito de que c esté en el dominio de f ). Segundo, el límite de esa ecuación tiene que existir. Tercero, el valor de este límite debe ser igual a${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$${\displaystyle f(c).}$

(Aquí, hemos asumido que el dominio de f no tiene ningún punto aislado ).

Un entorno de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre el entorno de c se reduce a un único punto a medida que el ancho del entorno alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier entorno, hay un entorno en su dominio tal que siempre que${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle N_{1}(f(c))}$${\displaystyle N_{2}(c)}$${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Como los vecindarios se definen en cualquier espacio topológico , esta definición de función continua se aplica no solo a funciones reales, sino también cuando el dominio y el codominio son espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De ello se deduce que una función es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Por ejemplo, toda función de valor real en los números enteros es continua.

En cambio, se puede exigir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converge a c , la secuencia correspondiente converge a En notación matemática,${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

Incluyendo explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autónoma: Dada una función como la anterior y un elemento del dominio , se dice que es continua en el punto cuando se cumple lo siguiente: Para cualquier número real positivo por pequeño que sea, existe algún número real positivo tal que para todo en el dominio de con el valor de satisface${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

Alternativamente escrito, la continuidad de en significa que para cada existe un tal que para todo :${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in D}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in D}$$${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

De manera más intuitiva, podemos decir que si queremos que todos los valores permanezcan en un pequeño vecindario alrededor, necesitamos elegir un vecindario lo suficientemente pequeño para los valores alrededor. Si podemos hacer eso sin importar cuán pequeño sea el vecindario, entonces es continuo en${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base para la topología , aquí la topología métrica .

Weierstrass había exigido que el intervalo estuviera enteramente dentro del dominio , pero Jordan eliminó esa restricción.${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$${\displaystyle D}$

En las demostraciones y los análisis numéricos, a menudo necesitamos saber qué tan rápido convergen los límites o, en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto con una definición de continuidad. Una función se denomina función de control si${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• C no es decreciente
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Una función es C -continua en si existe un entorno tal que ${\displaystyle f:D\to R}$${\displaystyle x_{0}}$${\textstyle N(x_{0})}$$${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}$$

Una función es continua en si es C -continua para alguna función de control C.${\displaystyle x_{0}}$

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad al restringir el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control, una función es -continua si es -continua para algún Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder de exponente α a continuación se definen por el conjunto de funciones de control respectivamente ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}$$

La continuidad también puede definirse en términos de oscilación : una función f es continua en un punto si y sólo si su oscilación en ese punto es cero; ^[10] en símbolos, Un beneficio de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación da cuánto es discontinua la función en un punto.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Esta definición es útil en la teoría de conjuntos descriptivos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos – los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que (por lo tanto, un conjunto ) – y proporciona una prueba rápida de una dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . ^[11]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle G_{\delta }}$

La oscilación es equivalente a la definición por un simple reordenamiento y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un dado no hay ningún que satisfaga la definición, entonces la oscilación es al menos y a la inversa, si para cada hay un deseado, la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico .${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0},}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta ,}$

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal en la variable dependiente (ver Curso de análisis , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer que esto sea matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta añadiendo números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En el análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.

Una función de valor real f es continua en x si su extensión natural a los hiperreales tiene la propiedad de que para todo infinitesimal dx , es infinitesimal ^[12]${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$

(ver microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

La comprobación de la continuidad de una función dada se puede simplificar comprobando una de las propiedades definitorias anteriores para los bloques de construcción de la función dada. Es sencillo demostrar que la suma de dos funciones, continuas en algún dominio, también es continua en este dominio. Dado entonces que la suma de funciones continuas (definida por para todo ) es continua en$${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle s=f+g}$$${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D.}$

Lo mismo se aplica al producto de funciones continuas , (definido por para todo ) es continuo en$${\displaystyle p=f\cdot g}$$${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D.}$

Combinando las anteriores preservaciones de continuidad y la continuidad de funciones constantes y de la función identidad en , se llega a la continuidad de todas las funciones polinómicas en , tales como (en la imagen de la derecha).${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$$

De la misma manera, se puede demostrar que el recíproco de una función continua (definida por para todos tales que ) es continua en$${\displaystyle r=1/f}$$${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}.}$

Esto implica que, excluyendo las raíces del cociente de funciones continuas (definido por para todo , tal que ) también es continuo en .${\displaystyle g,}$$${\displaystyle q=f/g}$$${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle g(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$

Por ejemplo, la función (en la imagen) está definida para todos los números reales y es continua en cada uno de esos puntos. Por lo tanto, es una función continua. La cuestión de la continuidad en no se plantea ya que no está en el dominio de No existe ninguna función continua que concuerde con para todos los$${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$$${\displaystyle x\neq -2}$${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle x\neq -2.}$

Como la función seno es continua en todos los números reales, la función sinc está definida y es continua para todos los números reales. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G se puede extender a una función continua en todos los números reales, definiendo el valor como 1, que es el límite de cuando x se acerca a 0, es decir,${\displaystyle G(x)=\sin(x)/x,}$${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle G(0)}$${\displaystyle G(x),}$$${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

Por lo tanto, al establecer

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

La función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se utiliza en estos casos cuando se (re)definen los valores de una función para que coincidan con los límites apropiados y se hace que la función sea continua en puntos específicos.

Una construcción más compleja de funciones continuas es la composición de funciones . Dadas dos funciones continuas , su composición, denotada como y definida por, es continua.$${\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ and }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$$${\displaystyle c=g\circ f:D_{f}\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que es continua para todo$${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$$${\displaystyle x>0.}$

Un ejemplo de función discontinua es la función escalonada de Heaviside , definida por${\displaystyle H}$$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

Elija, por ejemplo , . Entonces no hay vecindad alrededor de , es decir, no hay intervalo abierto con que obligue a todos los valores a estar dentro de la vecindad de , es decir, dentro de . Intuitivamente, podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de la función.${\displaystyle \varepsilon =1/2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle H(0)}$${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

De manera similar, la función signum o signum es discontinua en pero continua en todos los demás lugares. Otro ejemplo más: la función es continua en todos los lugares excepto .$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

Además de las continuidades y discontinuidades plausibles como las anteriores, también hay funciones con un comportamiento, a menudo denominado patológico , por ejemplo, la función de Thomae es continua para todos los números irracionales y discontinua para todos los números racionales. En una línea similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de números racionales, no es continua en ningún caso.$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$$${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

Sea una función que es continua en un punto y sea un valor tal Entonces en todo el vecindario de ^[13]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$${\displaystyle x_{0}.}$

Demostración: Por la definición de continuidad, tomemos , entonces existe tal que Supongamos que hay un punto en el vecindario para el cual entonces tenemos la contradicción${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$${\displaystyle \delta >0}$$${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle f(x)=y_{0};}$$${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud de los números reales , y establece:

Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado y k es un número entre y entonces existe un número tal que${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b),}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle f(c)=k.}$

Por ejemplo, si un niño crece de 1 m a 1,5 m entre los dos y los seis años, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años de edad, la altura del niño debe haber sido de 1,25 m.

En consecuencia, si f es continua en y y difieren en signo , entonces, en algún punto debe ser igual a cero .${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)}$

El teorema de los valores extremos establece que si una función f está definida en un intervalo cerrado (o en cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua en él, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe con para todo Lo mismo es cierto del mínimo de f . Estas afirmaciones no son, en general, verdaderas si la función está definida en un intervalo abierto (o en cualquier conjunto que no sea a la vez cerrado y acotado), como, por ejemplo, la función continua definida en el intervalo abierto (0,1), no alcanza un máximo, al ser ilimitada por encima.${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle c\in [a,b]}$${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$${\displaystyle x\in [a,b].}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

Toda función diferenciable es continua, como se puede demostrar. La inversa no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto$${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

es continua en todas partes, pero no es diferenciable en (pero sí en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes, pero no es diferenciable en ninguna.${\displaystyle x=0}$

La derivada f′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) no necesita ser continua. Si f′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable . El conjunto de tales funciones se denota De manera más general, el conjunto de funciones (desde un intervalo abierto (o subconjunto abierto de ) hasta los reales) tales que f es 10 veces diferenciable y tales que la derivada -ésima de f es continua se denota Véase clase de diferenciabilidad . En el campo de los gráficos de computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) con a veces se denominan (continuidad de posición), (continuidad de tangencia) y (continuidad de curvatura); véase Suavidad de curvas y superficies .${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$${\displaystyle G^{0}}$${\displaystyle G^{1}}$${\displaystyle G^{2}}$

Toda función continua es integrable (por ejemplo, en el sentido de la integral de Riemann ). La inversa no se cumple, como lo demuestra la función signo (integrable pero discontinua) .$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

Dada una secuencia de funciones tal que el límite existe para todo , la función resultante se denomina límite puntual de la secuencia de funciones. La función límite puntual no necesita ser continua, incluso si todas las funciones son continuas, como lo muestra la animación de la derecha. Sin embargo, f es continua si todas las funciones son continuas y la secuencia converge uniformemente , por el teorema de convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , logaritmos , función de raíz cuadrada y funciones trigonométricas son continuas.$${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$${\displaystyle x\in D,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de manera restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas derecha e izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua por la derecha si no se produce ningún salto cuando se aproxima al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua por la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número, por pequeño que sea, existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisfará${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$$

Esta es la misma condición que las funciones continuas, excepto que se requiere que se cumpla solo para x estrictamente mayor que c . Si se la requiere para todo x con se obtiene la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y solo si es continua por la derecha y continua por la izquierda.${\displaystyle c-\delta <x<c}$

Una función f es semicontinua inferior si, aproximadamente, cualquier salto que pueda ocurrir solo va hacia abajo, pero no hacia arriba. Es decir, para cualquier existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisface La condición inversa es la semicontinuidad superior .${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$$

El concepto de funciones continuas de valor real se puede generalizar a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto equipado con una función (llamada métrica ) que puede considerarse como una medida de la distancia de dos elementos cualesquiera en X . Formalmente, la métrica es una función que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad triangular . Dados dos espacios métricos y y una función entonces es continua en el punto (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo existe un número real positivo tal que todos los que satisfacen también satisfagan Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia en con límite tenemos La última condición se puede debilitar de la siguiente manera: es continua en el punto si y solo si para cada secuencia convergente en con límite , la secuencia es una secuencia de Cauchy , y está en el dominio de .${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{X},}$$${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle c\in X}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un conjunto  ; esto se desprende de la definición de continuidad.${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una afirmación clave en esta área dice que un operador lineal entre espacios vectoriales normados y (que son espacios vectoriales dotados de una norma compatible , denotada como ) es continuo si y solo si está acotado , es decir, existe una constante tal que para todo$${\displaystyle T:V\to W}$$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \|x\|}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$${\displaystyle x\in V.}$

El concepto de continuidad para funciones entre espacios métricos se puede fortalecer de varias maneras limitando la forma en que depende de y c en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real exista tal que para cada con tenemos que Por lo tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. La inversa no se cumple generalmente, pero se cumple cuando el espacio del dominio X es compacto . Las funciones uniformemente continuas se pueden definir en la situación más general de espacios uniformes . ^[14]${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c,b\in X}$${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

Una función es continua de Hölder con exponente α (un número real) si hay una constante K tal que para toda la desigualdad se cumple. Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular se conoce como continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si hay una constante K tal que la desigualdad se cumple para cualquier ^[15] La condición de Lipschitz se da, por ejemplo, en el teorema de Picard-Lindelöf relativo a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias .${\displaystyle b,c\in X,}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$${\displaystyle \alpha =1}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$${\displaystyle b,c\in X.}$

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos en los que generalmente no hay una noción formal de distancia, como la hay en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología en X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen unos pocos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones que generalizan las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos al tiempo que permiten hablar de las vecindades de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función entre dos espacios topológicos X e Y es continua si para cada conjunto abierto la imagen inversa es un subconjunto abierto de X . Es decir, f es una función entre los conjuntos X e Y (no sobre los elementos de la topología ), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas sobre X e Y .$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle V\subseteq Y,}$$${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$${\displaystyle T_{X}}$

Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y estén cerradas en X.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta (en la que cada subconjunto es abierto), todas las funciones de cualquier espacio topológico T son continuas. Por otra parte, si X está equipado con la topología indiscreta (en la que los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el conjunto del espacio T es al menos T ₀ , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo codominio sea indiscreto es continua.$${\displaystyle f:X\to T}$$

La traducción en el lenguaje de vecindades de la -definición de continuidad conduce a la siguiente definición de la continuidad en un punto:${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

Una función es continua en un punto si y solo si para cualquier entorno V de en Y , existe un entorno U de tal que${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(U)\subseteq V.}$

Esta definición es equivalente a la misma afirmación con barrios restringidos a barrios abiertos y puede reformularse de varias maneras utilizando preimágenes en lugar de imágenes.

Además, como todo conjunto que contiene un vecindario es también un vecindario, y es el subconjunto más grande U de X, de modo que esta definición puede simplificarse en:${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

Una función es continua en un punto si y sólo si es un entorno de para cada entorno V de en Y .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

Como un conjunto abierto es un conjunto que es vecindad de todos sus puntos, una función es continua en cada punto de X si y sólo si es una función continua.${\displaystyle f:X\to Y}$

Si X e Y son espacios métricos, es equivalente considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centradas en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto devuelve la definición anterior de continuidad en el contexto de espacios métricos. En espacios topológicos generales, no existe la noción de proximidad o distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y solo si el límite de f cuando x tiende a a es f ( a ). En un punto aislado, toda función es continua.${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

Dado un mapa es continuo en si y solo si siempre que es un filtro en que converge a en que se expresa escribiendo entonces necesariamente en Si denota el filtro de vecindad en entonces es continuo en si y solo si en ^[16] Además, esto sucede si y solo si el prefiltro es una base de filtro para el filtro de vecindad de en ^[16]${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica ; por lo tanto, existen varias formas equivalentes de definir una función continua.

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . Esto se logra a menudo especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia . Sin embargo, para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por un conjunto dirigido , conocidos como redes . Una función es (Heine-)continua solo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, la preservación de los límites también es suficiente; en el segundo, una función puede preservar todos los límites de secuencias y aún así no ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función es secuencialmente continua si siempre que una secuencia en converge a un límite, la secuencia converge a Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si es un espacio de primer numeración y se cumple la elección numerable , entonces también se cumple la inversa: cualquier función que preserve los límites secuenciales es continua. En particular, si es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios no de primer numeración, la continuidad secuencial podría ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los que las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes, y esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Por ejemplo, considere el caso de funciones de valor real de una variable real: ^[17]

En términos del operador interior , una función entre espacios topológicos es continua si y solo si para cada subconjunto${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$$

En términos del operador de cierre , es continua si y solo si para cada subconjunto Es decir, dado cualquier elemento que pertenece al cierre de un subconjunto necesariamente pertenece al cierre de en Si declaramos que un punto está cerca de un subconjunto si entonces esta terminología permite una descripción en inglés simple de la continuidad: es continua si y solo si para cada subconjunto asigna puntos que están cerca de a puntos que están cerca de De manera similar, es continua en un punto dado fijo si y solo si siempre que está cerca de un subconjunto entonces está cerca de${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

En lugar de especificar espacios topológicos por sus subconjuntos abiertos , cualquier topología en puede determinarse alternativamente por un operador de clausura o por un operador interior . Específicamente, la función que envía un subconjunto de un espacio topológico a su clausura topológica satisface los axiomas de clausura de Kuratowski . A la inversa, para cualquier operador de clausura existe una topología única en (específicamente, ) tal que para cada subconjunto es igual a la clausura topológica de en Si los conjuntos y están asociados cada uno con operadores de clausura (ambos denotados por ), entonces una función es continua si y solo si para cada subconjunto${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X.}$

De manera similar, el mapa que envía un subconjunto de a su interior topológico define un operador interior . Por el contrario, cualquier operador interior induce una topología única en (específicamente, ) tal que para cada es igual al interior topológico de en Si los conjuntos y están asociados cada uno con operadores interiores (ambos denotados por ), entonces un mapa es continuo si y solo si para cada subconjunto ^[18]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$${\displaystyle B\subseteq Y.}$

La continuidad también se puede caracterizar en términos de filtros . Una función es continua si y sólo si siempre que un filtro converge en un punto , entonces el prefiltro converge en Esta caracterización sigue siendo cierta si la palabra "filtro" se reemplaza por "prefiltro". ^[16]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x).}$

Si y son continuas, entonces también lo es la composición Si es continua y${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$${\displaystyle f:X\to Y}$

• X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
• X está conexo , entonces f ( X ) está conexo.
• X está conexo por trayectorias , entonces f ( X ) está conexo por trayectorias.
• X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
• X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología es más burda que otra topología (notación: ) si cada subconjunto abierto con respecto a también es abierto con respecto a Entonces, la función identidad es continua si y solo si (véase también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua permanece continua si la topología se reemplaza por una topología más burda y/o se reemplaza por una topología más fina .${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}.}$$${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}$$${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$$${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}$$${\displaystyle \tau _{Y}}$${\displaystyle \tau _{X}}$

Simétrica al concepto de función continua es una función abierta , para la cual las imágenes de conjuntos abiertos son abiertas. Si una función abierta f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si una función continua g tiene una inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa no necesita ser continua. Una función continua biyectiva con una función inversa continua se llama homeomorfismo .${\displaystyle f^{-1}}$

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Dada una función donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales es abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más burda que la topología final en S . Por lo tanto, la topología final es la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .$${\displaystyle f:X\to S,}$$${\displaystyle f^{-1}(A)}$