Espacio normal

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio normal es un espacio topológico X que satisface el axioma T ₄ : cada dos conjuntos cerrados disjuntos de X tienen vecindarios abiertos disjuntos . Un espacio de Hausdorff normal también se denomina espacio T ₄ . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación y sus reforzamientos posteriores definen espacios de Hausdorff completamente normales , o espacios T ₅ , y espacios de Hausdorff perfectamente normales , o espacios T ₆ .

Un espacio topológico X es un espacio normal si, dados conjuntos cerrados disjuntos E y F , existen vecindades U de E y V de F que también son disjuntas. De manera más intuitiva, esta condición dice que E y F pueden estar separados por vecindades .

Un espacio T ₄ es un espacio T ₁ X que es normal; esto es equivalente a que X sea normal y Hausdorff .

Un espacio completamente normal , oEl espacio normal hereditario es un espacio topológicoXtal que cadasubespaciodeXes un espacio normal. Resulta queXes completamente normal si y solo si cada dosconjuntos separadospueden estar separados por vecindades. Además,Xes completamente normal si y solo si cada subconjunto abierto deXes normal con la topología del subespacio.

Un espacio T ₅ , o un espacio completamente T ₄ , es un espacio T _{1 completamente normal} X , lo que implica que X es Hausdorff; equivalentemente, cada subespacio de X debe ser un espacio T _{4 .}

Un espacio perfectamente normal es un espacio topológico en el que cada dos conjuntos cerrados disjuntos y pueden separarse con precisión por una función , en el sentido de que existe una función continua desde hasta el intervalo tal que y . ^[1] Esta es una propiedad de separación más fuerte que la normalidad, ya que por el lema de Urysohn los conjuntos cerrados disjuntos en un espacio normal pueden separarse por una función , en el sentido de y , pero no separarse con precisión en general. Resulta que X es perfectamente normal si y solo si X es normal y cada conjunto cerrado es un conjunto G _δ . Equivalentemente, X es perfectamente normal si y solo si cada conjunto cerrado es el conjunto cero de una función continua . La equivalencia entre estas tres caracterizaciones se llama teorema de Vedenissoff . ^{[2] [3]} Todo espacio perfectamente normal es completamente normal, porque la normalidad perfecta es una propiedad hereditaria . ^{[4] [5]}${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\displaystyle f^{-1}(0)=E}$$estilo de visualización f^{-1}(1)=F}$${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)}$${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(1)}$

Un espacio T6 , o _un espacio perfectamente T4 _, es un espacio de Hausdorff perfectamente normal.

Nótese que los términos "espacio normal" y "T ₄ " y los conceptos derivados ocasionalmente tienen un significado diferente. (No obstante, "T ₅ " siempre significa lo mismo que "completamente T ₄ ", cualquiera que sea el significado de T ₄ ). Las definiciones que se dan aquí son las que se usan habitualmente en la actualidad. Para más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .

Términos como " espacio regular normal " y "espacio de Hausdorff normal" también aparecen en la literatura; simplemente significan que el espacio es normal y satisface la otra condición mencionada. En particular, un espacio de Hausdorff normal es lo mismo que un espacio T ₄ . Dada la confusión histórica del significado de los términos, las descripciones verbales cuando corresponda son útiles, es decir, "Hausdorff normal" en lugar de "T ₄ ", o "Hausdorff completamente normal" en lugar de "T ₅ ".

Los espacios completamente normales y los espacios completamente T4 _se analizan en otra parte; están relacionados con la paracompacidad .

Un espacio localmente normal es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno abierto que es normal. Todo espacio normal es localmente normal, pero la inversa no es cierta. Un ejemplo clásico de un espacio localmente normal completamente regular que no es normal es el plano de Nemytskii .

La mayoría de los espacios que se encuentran en el análisis matemático son espacios de Hausdorff normales, o al menos espacios regulares normales:

• Todos los espacios métricos (y por tanto todos los espacios metrizables ) son Hausdorff perfectamente normales;
• Todos los espacios pseudométricos (y por tanto todos los espacios pseudometrisables ) son perfectamente normales y regulares, aunque no en general Hausdorff;
• Todos los espacios compactos de Hausdorff son normales;
• En particular, la compactificación de Stone-Čech de un espacio de Tychonoff es una Hausdorff normal;
• Generalizando los ejemplos anteriores, todos los espacios de Hausdorff paracompactos son normales, y todos los espacios regulares paracompactos son normales;
• Todas las variedades topológicas paracompactas son Hausdorff perfectamente normales. Sin embargo, existen variedades no paracompactas que ni siquiera son normales.
• Todas las topologías de orden en conjuntos totalmente ordenados son hereditariamente normales y de Hausdorff.
• Todo espacio regular de segundo orden contable es completamente normal, y todo espacio regular de Lindelöf es normal.

Además, todos los espacios completamente normales son normales (aunque no sean regulares). El espacio de Sierpiński es un ejemplo de un espacio normal que no es regular.

Un ejemplo importante de una topología no normal lo da la topología de Zariski sobre una variedad algebraica o sobre el espectro de un anillo , que se utiliza en geometría algebraica .

Un espacio no normal de cierta relevancia para el análisis es el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la línea real R hasta sí misma, con la topología de convergencia puntual . De manera más general, un teorema de Arthur Harold Stone establece que el producto de un número incontable de espacios métricos no compactos nunca es normal.

Todo subconjunto cerrado de un espacio normal es normal. La imagen continua y cerrada de un espacio normal es normal. ^[6]

La importancia principal de los espacios normales reside en el hecho de que admiten "suficientes" funciones reales continuas , como lo expresan los siguientes teoremas válidos para cualquier espacio normal X.

Lema de Urysohn : Si A y B son dos subconjuntos cerrados disjuntos de X , entonces existe una función continua f desde X hasta la recta real R tal que f ( x ) = 0 para todo x en A y f ( x ) = 1 para todo x en B. De hecho, podemos tomar los valores de f como estando completamente dentro del intervalo unitario [0,1]. En términos más elegantes, los conjuntos cerrados disjuntos no solo están separados por vecindades, sino también separados por una función .

De manera más general, el teorema de extensión de Tietze : si A es un subconjunto cerrado de X y f es una función continua de A a R , entonces existe una función continua F : X → R que extiende f en el sentido de que F ( x ) = f ( x ) para todo x en A.

El mapa tiene la propiedad de elevación con respecto a un mapa desde un cierto espacio topológico finito con cinco puntos (dos abiertos y tres cerrados) al espacio con un punto abierto y dos cerrados. ^[7]${\displaystyle \emptyset \flecha derecha X}$

Si U es una cubierta abierta localmente finita de un espacio normal X , entonces existe una partición de la unidad precisamente subordinada a U . Esto muestra la relación de los espacios normales con la paracompacidad .

De hecho, cualquier espacio que satisfaga cualquiera de estas tres condiciones debe ser normal.

Un producto de espacios normales no es necesariamente normal. Este hecho fue demostrado por primera vez por Robert Sorgenfrey . Un ejemplo de este fenómeno es el plano de Sorgenfrey . De hecho, dado que existen espacios que son Dowker , un producto de un espacio normal y [0, 1] no necesita ser normal. Además, un subconjunto de un espacio normal no necesita ser normal (es decir, no todo espacio de Hausdorff normal es un espacio de Hausdorff completamente normal), ya que todo espacio de Tichonoff es un subconjunto de su compactificación de Stone–Čech (que es Hausdorff normal). Un ejemplo más explícito es el plano de Tichonoff . La única gran clase de espacios producto de espacios normales que se sabe que son normales son los productos de espacios de Hausdorff compactos, ya que tanto la compacidad ( teorema de Tichonoff ) como el axioma T ₂ se conservan bajo productos arbitrarios. ^[8]

Si un espacio normal es R ₀ , entonces es de hecho completamente regular . Por lo tanto, cualquier cosa desde "normal R ₀ " hasta "normal completamente regular" es lo mismo que lo que normalmente llamamos normal regular . Tomando los cocientes de Kolmogorov , vemos que todos los espacios normales T ₁ son de Tichonoff . Estos son lo que normalmente llamamos espacios normales de Hausdorff .

Se dice que un espacio topológico es pseudonormal si, dados dos conjuntos cerrados disjuntos, uno de los cuales es numerable, existen conjuntos abiertos disjuntos que los contienen. Todo espacio normal es pseudonormal, pero no al revés.

En las listas anteriores se pueden encontrar contraejemplos de algunas variaciones de estas afirmaciones. En concreto, el espacio de Sierpiński es normal pero no regular, mientras que el espacio de funciones desde R hasta sí mismo es de Tichonoff pero no normal.

• Espacio normal por colección  : propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad
• Espacio monótonamente normal  – Propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad

• Engelking, Ryszard , Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• Kemoto, Nobuyuki (2004). "Axiomas de separación superiores". En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam: Elsevier Science . ISBN. 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice-Hall . ISBN 978-0-13-181629-9.
• Sorgenfrey, RH (1947). "Sobre el producto topológico de espacios paracompactos". Bull. Amer. Math. Soc . 53 (6): 631–632. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• Stone, AH (1948). "Paracompacidad y espacios de producto". Bull. Amer. Math. Soc . 54 (10): 977–982. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7.