Espacio normal por colección

Propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad

En matemáticas, un espacio topológico se denomina normal por colección si para cada familia discreta F _i ( i ∈ I ) de subconjuntos cerrados de existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos U _i ( i ∈ I ), tal que F _i ⊆ U _i . Aquí, una familia de subconjuntos de se denomina discreta cuando cada punto de tiene un entorno que interseca a lo sumo uno de los conjuntos de . Una definición equivalente ^{[1] de normal por colección exige que los}U _i ( i ∈ I ) anteriores formen por sí mismos una familia discreta, que es más fuerte que la disjunta por pares. ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\mathcal {F}}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\mathcal {F}}$

_Algunos autores asumen que también es un espacio T1 como parte de la definición, pero aquí no se hace tal suposición. ${\estilo de visualización X}$

La propiedad tiene una fuerza intermedia entre la paracompacidad y la normalidad , y aparece en los teoremas de metrización .

Propiedades

Un espacio normal por colección es un espacio de Hausdorff por colección .
Un espacio normal por colección es normal .
Un espacio paracompacto de Hausdorff es normal en conjunto. ^[2] En particular, todo espacio metrizable es normal en conjunto. Nota: La condición de Hausdorff es necesaria aquí, ya que, por ejemplo, un conjunto infinito con la topología cofinita es compacto , por lo tanto paracompacto, y T ₁ , pero ni siquiera es normal.
Todo espacio numerable compacto normal (y, por lo tanto, todo espacio compacto normal) es normal en cuanto a colección.
Demostración : utilicemos el hecho de que en un espacio numerable compacto cualquier familia discreta de subconjuntos no vacíos es finita.
Un conjunto F _σ en un espacio normal por conjuntos también es normal por conjuntos en la topología de subespacios . En particular, esto se cumple para subconjuntos cerrados.
ElEl teorema de metrización de Moore establece que unespacio de Mooreesmetrizable.

Espacio normal hereditario por colección

Un espacio topológico X se denomina hereditariamente normal por colección si cada subespacio de X con la topología de subespacio es normal por colección.

De la misma manera que los espacios normales hereditarios pueden caracterizarse en términos de conjuntos separados , existe una caracterización equivalente para los espacios normales hereditarios por colección. Una familia de subconjuntos de X se denomina familia separada si para cada i , tenemos , donde cl denota el operador de clausura en X , en otras palabras, si la familia de es discreta en su unión. Las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3] $F_{i}(i\in I)$ ${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ $Estilo de visualización F_{i}$

X es hereditariamente una colección normal.
Todo subespacio abierto de X es normal en su conjunto.
Para cada familia separada de subconjuntos de X , existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos , tal que . $Estilo de visualización F_{i}$ $U_{i}(i\in I)$ $F_{i}\subseteq U_{i}$

Ejemplos de espacios normales hereditarios por colección

Todo espacio topológico ordenado linealmente (LOTS) ^[4]^[5]
Todo espacio ordenado generalizado (GO-espacio)
Todo espacio metrizable . Esto se deduce del hecho de que los espacios metrizables son normales en cuanto a colección y que ser metrizable es una propiedad hereditaria.
Todo espacio monótonamente normal ^[6]

Notas

^ Engelking, Teorema 5.1.17, muestra la equivalencia entre las dos definiciones (bajo el supuesto de T ₁ , pero la prueba no utiliza la propiedad T _{1 ).}
^ Engelking 1989, Teorema 5.1.18.
^ Engelking 1989, Problema 5.5.1.
^ Steen, Lynn A. (1970). "Una prueba directa de que un espacio ordenado linealmente es hereditariamente normal en conjunto". Proc. Amer. Math. Soc. 24 : 727–728. doi : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
^ Cater, Frank S. (2006). "Una prueba simple de que un espacio ordenado linealmente es hereditaria y completamente normal en conjunto". Rocky Mountain Journal of Mathematics . 36 (4): 1149–1151. doi : 10.1216/rmjm/1181069408 . ISSN 0035-7596. JSTOR 44239306. Zbl 1134.54317.
^ Heath, RW; Lutzer, DJ; Zenor, PL (abril de 1973). "Espacios monótonamente normales" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713.

Referencias

Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.

[1] Engelking, Teorema 5.1.17, muestra la equivalencia entre las dos definiciones (bajo el supuesto de T ₁ , pero la prueba no utiliza la propiedad T _{1 ).}

[FOOTNOTEEngelking1989Theorem_5.1.18-2] Engelking 1989, Teorema 5.1.18.

[FOOTNOTEEngelking1989Problem_5.5.1-3] Engelking 1989, Problema 5.5.1.

[4] Steen, Lynn A. (1970). "Una prueba directa de que un espacio ordenado linealmente es hereditariamente normal en conjunto". Proc. Amer. Math. Soc. 24 : 727–728. doi : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .

[5] Cater, Frank S. (2006). "Una prueba simple de que un espacio ordenado linealmente es hereditaria y completamente normal en conjunto". Rocky Mountain Journal of Mathematics . 36 (4): 1149–1151. doi : 10.1216/rmjm/1181069408 . ISSN 0035-7596. JSTOR 44239306. Zbl 1134.54317.

[6] Heath, RW; Lutzer, DJ; Zenor, PL (abril de 1973). "Espacios monótonamente normales" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713.