Espacio regular

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En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio topológico X se denomina espacio regular si cada subconjunto cerrado C de X y un punto p no contenido en C tienen vecindades abiertas que no se superponen . ^[1] Por lo tanto, p y C pueden estar separados por vecindades. Esta condición se conoce como Axioma T ₃ . El término " espacio T ₃ " generalmente significa "un espacio regular de Hausdorff ". Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .

Un espacio topológico X es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado F y cualquier punto x que no pertenece a F , existe un entorno U de x y un entorno V de F que son disjuntos . En pocas palabras, debe ser posible separar x y F con entornos disjuntos.

AT ₃ espacio oUn espacio regular de Hausdorff es un espacio topológico que es a la vez regular y unespacio de Hausdorff. (Un espacio de Hausdorff o espacio T₂es un espacio topológico en el que dos puntos distintos están separados por vecindades.) Resulta que un espacio es T₃si y solo si es regular y T_0.(AT₀oespacio de Kolmogoroves un espacio topológico en el que dos puntos distintos sontopológicamente distinguibles, es decir, para cada par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene unavecindad abiertaque no contiene al otro.) De hecho, si un espacio es de Hausdorff entonces es T₀, y cada espacio regular T₀es de Hausdorff: dados dos puntos distintos, al menos uno de ellos pierde la clausura del otro, por lo que (por regularidad) existen vecindades disjuntas que separan un punto de (la clausura de) el otro.

Aunque las definiciones presentadas aquí para "regular" y "T ₃ " no son poco comunes, hay una variación significativa en la literatura: algunos autores intercambian las definiciones de "regular" y "T ₃ " tal como se usan aquí, o usan ambos términos indistintamente. Este artículo usa el término "regular" libremente, pero generalmente dirá "regular Hausdorff", que es inequívoco, en lugar del menos preciso "T ₃ ". Para más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .

AUn espacio localmente regular es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno abierto que es regular. Todo espacio regular es localmente regular, pero lo inverso no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente regular que no es regular es lalínea con ojos saltones.

Un espacio regular es necesariamente también preregular , es decir, dos puntos cualesquiera que sean topológicamente distinguibles pueden estar separados por vecindades. Puesto que un espacio de Hausdorff es lo mismo que un espacio preregular T ₀ , un espacio regular que también sea T ₀ debe ser Hausdorff (y por tanto T ₃ ). De hecho, un espacio regular de Hausdorff satisface la condición ligeramente más fuerte T _2½ . (Sin embargo, un espacio de este tipo no necesita ser completamente Hausdorff .) Por tanto, la definición de T ₃ puede citar T ₀ , T ₁ o T _2½ en lugar de T ₂ (Hausdorffness); todos son equivalentes en el contexto de los espacios regulares.

Hablando más teóricamente, las condiciones de regularidad y T ₃ -ness están relacionadas por cocientes de Kolmogorov . Un espacio es regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es T ₃ ; y, como se mencionó, un espacio es T ₃ si y solo si es regular y T ₀ . Por lo tanto, un espacio regular encontrado en la práctica generalmente se puede asumir como T ₃ , reemplazando el espacio con su cociente de Kolmogorov.

Existen muchos resultados para espacios topológicos que se aplican tanto a espacios regulares como a espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados se aplican a todos los espacios preregulares; se enumeraron por separado para espacios regulares y de Hausdorff porque la idea de espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, aquellos resultados que realmente se refieren a la regularidad generalmente no se aplican también a espacios de Hausdorff no regulares.

Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la normalidad , la pseudonormalidad , la paracompacidad o la compacidad local ) implicará regularidad si se satisface algún axioma de separación más débil, como la preregularidad. ^[2] Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión regular y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son generalmente regulares, un espacio de Hausdorff que también sea (por ejemplo) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, la regularidad no es realmente el problema aquí, y podríamos imponer una condición más débil en su lugar para obtener el mismo resultado. Sin embargo, las definiciones suelen seguir formulándose en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que cualquier otra más débil.

La mayoría de los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son regulares; de hecho, suelen ser completamente regulares , lo que constituye una condición más fuerte. Los espacios regulares también deben contrastarse con los espacios normales .

Un espacio de dimensión cero con respecto a la dimensión inductiva pequeña tiene una base que consiste en conjuntos clopen . Todos esos espacios son regulares.

Como se ha descrito anteriormente, cualquier espacio completamente regular es regular, y cualquier espacio T ₀ que no sea de Hausdorff (y por tanto no preregular) no puede ser regular. La mayoría de los ejemplos de espacios regulares y no regulares estudiados en matemáticas se pueden encontrar en esos dos artículos. Por otro lado, los espacios que son regulares pero no completamente regulares, o preregulares pero no regulares, suelen construirse solo para proporcionar contraejemplos a las conjeturas, mostrando los límites de los posibles teoremas . Por supuesto, uno puede encontrar fácilmente espacios regulares que no sean T ₀ , y por tanto no sean de Hausdorff, como un espacio indiscreto , pero estos ejemplos proporcionan más información sobre el axioma T ₀ que sobre la regularidad. Un ejemplo de un espacio regular que no es completamente regular es el sacacorchos de Tichonoff.

La mayoría de los espacios interesantes en matemáticas que son regulares también satisfacen alguna condición más fuerte. Por lo tanto, los espacios regulares se estudian generalmente para encontrar propiedades y teoremas, como los que se muestran a continuación, que se aplican realmente a espacios completamente regulares, normalmente en análisis.

Existen espacios de Hausdorff que no son regulares. Un ejemplo es la K-topología sobre el conjunto de los números reales. De manera más general, si es un subconjunto fijo no cerrado de con interior vacío respecto de la topología euclidiana habitual, se puede construir una topología más fina sobre tomando como base la colección de todos los conjuntos y para abiertos en la topología habitual. Esa topología será de Hausdorff, pero no regular.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle U\setmenos C}$${\estilo de visualización U}$

Supongamos que X es un espacio regular. Entonces, dado cualquier punto x y un entorno G de x , existe un entorno cerrado E de x que es un subconjunto de G. En términos más elegantes, los entornos cerrados de x forman una base local en x . De hecho, esta propiedad caracteriza a los espacios regulares; si los entornos cerrados de cada punto en un espacio topológico forman una base local en ese punto, entonces el espacio debe ser regular.

Tomando los interiores de estos vecindarios cerrados, vemos que los conjuntos abiertos regulares forman una base para los conjuntos abiertos del espacio regular X. Esta propiedad es en realidad más débil que la regularidad; un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares forman una base es semirregular .