Espacio vectorial topológico

En matemáticas , un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y comúnmente abreviado TVS o tvs ) es una de las estructuras básicas investigadas en el análisis funcional . Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial que también es un espacio topológico con la propiedad de que las operaciones del espacio vectorial (suma vectorial y multiplicación escalar) también son funciones continuas . Tal topología se llama topología vectorial y cada espacio vectorial topológico tiene una estructura topológica uniforme , lo que permite una noción de convergencia uniforme y completitud . Algunos autores también requieren que el espacio sea un espacio de Hausdorff (aunque este artículo no lo hace). Una de las categorías más estudiadas de TVS son los espacios vectoriales topológicos localmente convexos . Este artículo se centra en los TVS que no son necesariamente localmente convexos. Otros ejemplos bien conocidos de TVS incluyen los espacios de Banach , los espacios de Hilbert y los espacios de Sobolev .

Muchos espacios vectoriales topológicos son espacios de funciones u operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define de modo de capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.

En este artículo, se supondrá que el campo escalar de un espacio vectorial topológico está formado por números complejos o números reales, a menos que se indique claramente lo contrario. ${\displaystyle \mathbb {C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Todo espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural : la norma induce una métrica y la métrica induce una topología. Este es un espacio vectorial topológico porque ^{[ cita requerida ]} :

1. La función de adición vectorial definida por es (conjuntamente) continua con respecto a esta topología. Esto se deduce directamente de la desigualdad triangular que obedece la norma.${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\veces X\a X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. La función de multiplicación escalar definida por donde es el campo escalar subyacente de es (conjuntamente) continua. Esto se desprende de la desigualdad triangular y de la homogeneidad de la norma.${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$${\displaystyle \mathbb {K}}$${\estilo de visualización X,}$

Por lo tanto, todos los espacios de Banach y los espacios de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.

Existen espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que aun así son de interés para el análisis. Ejemplos de tales espacios son los espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables , los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba y los espacios de distribuciones en ellas. ^[1] Todos estos son ejemplos de espacios de Montel . Un espacio de Montel de dimensión infinita nunca es normable. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogorov .

Un campo topológico es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcampos .

Un espacio vectorial topológico ( TVS ) es un espacio vectorial sobre un cuerpo topológico (generalmente los números reales o complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores y la multiplicación escalar son funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías de producto ). Tal topología se denomina${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle \mathbb {K}}$${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\veces X\a X}$${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$topología vectorial o unaTopología TVS activada${\estilo de visualización X.}$

Todo espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo bajo adición.

Supuesto de Hausdorff

Muchos autores (por ejemplo, Walter Rudin ), pero no esta página, requieren que la topología en sea T ₁ ; entonces se sigue que el espacio es Hausdorff , e incluso Tychonoff . Se dice que un espacio vectorial topológico es${\estilo de visualización X}$Separado si es de Hausdorff; es importante destacar que "separado" no significaseparable. Las estructuras topológicas y algebraicas lineales se pueden vincular aún más estrechamente con suposiciones adicionales, las más comunes de las cuales se enumeran a continuación.

Categoría y morfismos

La categoría de espacios vectoriales topológicos sobre un campo topológico dado se denota comúnmente como Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobre y los morfismos son los mapas continuos -lineales de un objeto a otro.${\displaystyle \mathbb {K}}$${\displaystyle \mathrm {TVS} _ {\mathbb {K} }}$${\displaystyle \mathrm {TVect} _ {\mathbb {K} }.}$${\displaystyle \mathbb {K}}$${\displaystyle \mathbb {K}}$

Ahomomorfismo del espacio vectorial topológico (abreviadoHomomorfismo TVS ), también llamadoEl homomorfismo topológico ,^[2][3]es unmapa linealcontinuo entre espacios vectoriales topológicos (TVS) tal que el mapa inducidoes unmapeo abiertocuandoque es el rango o la imagen dese da latopología del subespacioinducida por ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to \nombre del operador {Im} u}$${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$${\estilo de visualización u,}$${\displaystyle Y.}$

Aincrustación de espacio vectorial topológico (abreviadoIncorporación de TVS ), también llamadaEl monomorfismo topológico es uninyectivo. De manera equivalente, una incrustación TVS es una función lineal que también es unaincrustación topológica.^[2]

Aisomorfismo del espacio vectorial topológico (abreviadoIsomorfismo TVS ), también llamadoisomorfismo vectorial topológico ^[4]o unEl isomorfismo en la categoría de TVS es unhomeomorfismolineal . Equivalentemente, es unaincrustación de TVSsobreyectiva^[2]

Muchas propiedades de los TVS que se estudian, como la convexidad local , la metrizabilidad , la completitud y la normabilidad , son invariantes bajo los isomorfismos de TVS.

Una condición necesaria para una topología vectorial

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se denomina aditiva ^[5] si para cada uno existe alguno tal que${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Por consiguiente, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial.

Dado que toda topología vectorial es invariante en la traslación (lo que significa que para todo el mapa definido por es un homeomorfismo ), para definir una topología vectorial basta con definir una base (o subbase) de vecindad para ella en el origen.${\displaystyle x_{0}\in X,}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de vecindad en el origen para ninguna topología vectorial. ^[5]

Sea un espacio vectorial y sea una secuencia de subconjuntos de Cada conjunto en la secuencia se llama${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle U_{\bullet }}$El nudo dey para cada índicese llama-ésimo nudodeEl conjuntose llamainiciodeLa secuenciaes/es un:^[7][8][9]${\displaystyle U_{\bullet }}$${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{\bullet }.}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{\bullet }.}$${\displaystyle U_{\bullet }}$

• Sumativo sipara cada índice${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$${\displaystyle i.}$
• Equilibrado (resp. absorbente , cerrado , ^{[nota 1]} convexo , abierto , simétrico , en barril , absolutamente convexo/en disco , etc.) si esto es cierto para cada${\displaystyle U_{i}.}$
• La cadena essumativa, absorbente y equilibrada.${\displaystyle U_{\bullet }}$
• Cadena topológica o unacadena de vecindad en un TVSsies una cadena y cada uno de sus nudos es una vecindad del origen en${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\bullet }}$${\displaystyle X.}$

Si es un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces la secuencia definida por forma una cadena que comienza con Esto se llama la cadena natural de ^[7] Además, si un espacio vectorial tiene dimensión contable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa .${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$${\displaystyle U_{1}=U.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

Las sucesiones sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente interesante de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Estas funciones pueden utilizarse para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.

Una prueba del teorema anterior se da en el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables .

Si y son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial y si es un escalar, entonces por definición: ^[7]${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ contiene : si y solo si para cada índice${\displaystyle U_{\bullet }}$${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$${\displaystyle i.}$
• Conjunto de nudos :${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Núcleo :${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Múltiplo escalar :${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Suma :${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Intersección :${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Si es una colección de secuencias de subconjuntos de entonces se dice que está dirigida ( hacia abajo ) bajo inclusión o simplemente dirigida hacia abajo si no está vacía y para todos existe alguna tal que y (dicho de otra manera, si y sólo si es un prefiltro con respecto a la contención definida anteriormente).${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Notación : Sea el conjunto de todos los nudos de todas las cuerdas en${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Definir topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de TVS que no son necesariamente localmente convexas.

Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un TVS entonces ^[7] Un TVS de Hausdorff es metrizable si y solo si su topología puede ser inducida por una sola cadena topológica. ^[10]${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación de adición, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa es siempre continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por ). Por lo tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano . Todo TVS es completamente regular , pero un TVS no necesita ser normal . ^[11]${\displaystyle -1}$

Sea un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio, el espacio cociente con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y solo si es cerrado. ^{[nota 2]} Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico (que probablemente no sea Hausdorff), forme el espacio cociente donde es el cierre de es entonces un espacio vectorial topológico de Hausdorff que puede estudiarse en lugar de${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X.}$

Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que cada topología vectorial estraducción invariante :

para todo el mapa definido por es un homeomorfismo , pero si entonces no es lineal y por lo tanto no es un isomorfismo TVS.${\displaystyle x_{0}\in X,}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo TVS. Esto significa que si entonces la función lineal definida por es un homeomorfismo. El uso de produce la función de negación definida por que es, en consecuencia, un homeomorfismo lineal y, por lo tanto, un isomorfismo TVS.${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle x\mapsto sx}$${\displaystyle s=-1}$${\displaystyle X\to X}$${\displaystyle x\mapsto -x,}$

Si y cualquier subconjunto entonces ^[6] y además, si entonces es un vecindario (resp. vecindario abierto, vecindario cerrado) de en si y sólo si lo mismo es cierto de en el origen.${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle x+S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

• absorbente (en): si para cadaexiste un realtal quepara cualquier escalarque satisface ^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle cx\in E}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |c|\leq r.}$
• equilibrado o en círculo : sipara cada escalar ^[12]${\displaystyle tE\subseteq E}$${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• convexo : sipara cada real ^[12]${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• un disco o absolutamente convexo : si es convexo y equilibrado.${\displaystyle E}$
• simétrico : sio equivalentemente, si${\displaystyle -E\subseteq E,}$${\displaystyle -E=E.}$

Cada entorno del origen es un conjunto absorbente y contiene un entorno abierto y equilibrado de ^[6], por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y equilibrados . El origen incluso tiene una base de entorno que consiste en entornos cerrados y equilibrados de si el espacio es localmente convexo , entonces también tiene una base de entorno que consiste en entornos cerrados y convexos equilibrados del origen.${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0;}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico está acotado ^[13] si para cada vecindad del origen existe tal que .${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle E\subseteq tV}$

La definición de acotación se puede debilitar un poco; está acotado si y solo si cada subconjunto numerable de él está acotado. Un conjunto está acotado si y solo si cada una de sus subsecuencias es un conjunto acotado. ^[14] Además, está acotado si y solo si para cada entorno equilibrado del origen, existe tal que Además, cuando es localmente convexo, la acotación se puede caracterizar por seminormas : el subconjunto está acotado si y solo si cada seminorma continua está acotada en ^[15]${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle E\subseteq tV.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E.}$

Todo conjunto totalmente acotado está acotado. ^[14] Si es un subespacio vectorial de un TVS entonces un subconjunto de está acotado en si y sólo si está acotado en ^[14]${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$

Un TVS es pseudometrizable si y solo si tiene una base de vecindad contable en el origen, o equivalente, si y solo si su topología es generada por una F -seminorma . Un TVS es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable.

Más fuertemente: se dice que un espacio vectorial topológico es normable si su topología puede ser inducida por una norma. Un espacio vectorial topológico es normable si y sólo si es de Hausdorff y tiene un entorno convexo acotado del origen. ^[17]

Sea un campo topológico localmente compacto no discreto , por ejemplo los números reales o complejos. Un espacio vectorial topológico de Hausdorff sobre es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita , es decir, isomorfo a para algún número natural ^[18]${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle n.}$

La uniformidad canónica ^[19] en un TVS es la uniformidad única invariante de traducción que induce la topología en${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$

Se supone que todo TVS está dotado de esta uniformidad canónica, lo que convierte a todos los TVS en espacios uniformes . Esto permite hablar ^{[ aclaración necesaria ]} sobre nociones relacionadas como completitud , convergencia uniforme , redes de Cauchy y continuidad uniforme , etc., que siempre se suponen con respecto a esta uniformidad (a menos que se indique lo contrario). Esto implica que todo espacio vectorial topológico de Hausdorff es de Tichonoff . ^[20] Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (para los TVS de Hausdorff, que un conjunto esté totalmente acotado equivale a que sea precompacto ). Pero si el TVS no es de Hausdorff, entonces existen subconjuntos compactos que no están cerrados. Sin embargo, la clausura de un subconjunto compacto de un TVS que no es de Hausdorff es nuevamente compacta (por lo que los subconjuntos compactos son relativamente compactos ).

Con respecto a esta uniformidad, una red (o secuencia ) es de Cauchy si y sólo si para cada vecindad de existe algún índice tal que siempre que y${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$${\displaystyle i\geq n}$${\displaystyle j\geq n.}$

Toda sucesión de Cauchy está acotada, aunque las redes de Cauchy y los filtros de Cauchy pueden no estarlo. Un espacio vectorial topológico en el que converge toda sucesión de Cauchy se denomina secuencialmente completo ; en general, puede no ser completo (en el sentido de que todos los filtros de Cauchy convergen).

La operación de adición en el espacio vectorial es uniformemente continua y una función abierta. La multiplicación escalar es continua en el sentido de Cauchy , pero en general casi nunca es uniformemente continua. Por ello, todo espacio vectorial topológico puede completarse y, por tanto, es un subespacio lineal denso de un espacio vectorial topológico completo .

• Cada TVS tiene una completitud y cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff. ^[6] Cada TVS (incluso aquellos que son de Hausdorff y/o completos) tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.
• Un subconjunto compacto de un TVS (no necesariamente de Hausdorff) es completo. ^[21] Un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es cerrado. ^[21]
• Si es un subconjunto completo de un TVS entonces cualquier subconjunto del mismo que esté cerrado en él es completo. ^[21]${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$
• Una secuencia de Cauchy en una TVS de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su clausura no es necesariamente compacta).${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación , entonces converge a${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$
• Si una serie converge ^{[nota 5]} en una TVS entonces en ^[22]${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle X.}$

Sea un espacio vectorial real o complejo.${\displaystyle X}$

Topología trivial

La topología trivial o topología indiscreta es siempre una topología TVS en cualquier espacio vectorial y es la topología TVS más burda posible. Una consecuencia importante de esto es que la intersección de cualquier colección de topologías TVS en siempre contiene una topología TVS. Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos que son de dimensión infinita) dotado con la topología trivial es un espacio vectorial topológico localmente convexo , seminormable , pseudometrizable y compacto (y, por lo tanto, localmente compacto ) . Es de Hausdorff si y solo si${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

Topología vectorial más fina

Existe una topología TVS llamada${\displaystyle \tau _{f}}$${\displaystyle X,}$topología vectorial más fina enque es más fina que cualquier otra topología TVS en(es decir, cualquier topología TVS enes necesariamente un subconjunto de).^[23][24]Toda función lineal deen otra TVS es necesariamente continua. Sibase de Hamelincontableentoncesnoeslocalmente convexaynometrizable.^[24]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{f}}$${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{f}}$

Un producto cartesiano de una familia de espacios vectoriales topológicos, cuando está dotado de la topología de producto , es un espacio vectorial topológico. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones donde lleva su topología euclidiana habitual . Este conjunto es un espacio vectorial real (donde la adición y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como es habitual) que se puede identificar con (y, de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano que lleva la topología de producto natural . Con esta topología de producto, se convierte en un espacio vectorial topológico cuya topología se llama topología de convergencia puntual en La razón de este nombre es la siguiente: si es una secuencia (o más generalmente, una red ) de elementos en y si entonces converge a en si y solo si para cada número real converge a en Este TVS es completo , Hausdorff y localmente convexo pero no metrizable y, en consecuencia, no normable ; De hecho, cada vecindad del origen en la topología del producto contiene líneas (es decir, subespacios vectoriales unidimensionales, que son subconjuntos de la forma con ).${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\in X}$${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle f\neq 0}$

Según el teorema de F. Riesz , un espacio vectorial topológico de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto , lo que sucede si y solo si tiene un entorno compacto del origen.

Sea o y dote de su topología euclidiana normalizada de Hausdorff habitual . Sea un espacio vectorial sobre de dimensión finita y por lo que es espacio vectorial isomorfo a (explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y ). Este espacio vectorial de dimensión finita siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única , lo que lo hace isomorfo por TVS a donde está dotado de la topología euclidiana habitual (que es la misma que la topología producto ). Esta topología vectorial de Hausdorff es también la topología vectorial (única) más fina en tiene una topología vectorial única si y solo si Si entonces, aunque no tiene una topología vectorial única, sí tiene una topología vectorial de Hausdorff única .${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle n:=\dim X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \dim X=0.}$${\displaystyle \dim X\neq 0}$${\displaystyle X}$

• Si entonces tiene exactamente una topología vectorial: la topología trivial , que en este caso (y solo en este caso) es de Hausdorff. La topología trivial en un espacio vectorial es de Hausdorff si y solo si el espacio vectorial tiene dimensión${\displaystyle \dim X=0}$${\displaystyle X=\{0\}}$${\displaystyle 0.}$
• Entonces tiene dos topologías vectoriales: la topología euclidiana habitual y la topología trivial (no Hausdorff) .${\displaystyle \dim X=1}$${\displaystyle X}$
  • Dado que el campo es en sí mismo un espacio vectorial topológico -dimensional y dado que juega un papel importante en la definición de espacios vectoriales topológicos, esta dicotomía juega un papel importante en la definición de un conjunto absorbente y tiene consecuencias que resuenan en todo el análisis funcional .${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

• Si entonces tiene infinitas topologías vectoriales distintas:${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$${\displaystyle X}$
  • A continuación se describen algunas de estas topologías: Cada funcional lineal en el que el espacio vectorial es isomorfo a induce una seminorma definida por donde Cada seminorma induce una topología vectorial ( pseudometrizable localmente convexa ) en y las seminormas con núcleos distintos inducen topologías distintas, de modo que, en particular, las seminormas en que son inducidas por funcionales lineales con núcleos distintos inducirán topologías vectoriales distintas en${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
  • Sin embargo, mientras que hay infinitas topologías vectoriales en cuando hay, hasta el isomorfismo TVS , solo topologías vectoriales en Por ejemplo, si entonces las topologías vectoriales en consisten en la topología trivial, la topología euclidiana de Hausdorff, y luego las infinitas topologías vectoriales no triviales no euclidianas restantes en son todas TVS-isomorfas entre sí.${\displaystyle X}$${\displaystyle \dim X\geq 2,}$${\displaystyle 1+\dim X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle n:=\dim X=2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Topologías discretas y cofinitas

Si es un espacio vectorial no trivial (es decir, de dimensión distinta de cero), entonces la topología discreta en (que siempre es metrizable ) no es una topología TVS porque, a pesar de hacer que la adición y la negación sean continuas (lo que la convierte en un grupo topológico bajo la adición), no logra hacer que la multiplicación escalar sea continua. La topología cofinita en (donde un subconjunto es abierto si y solo si su complemento es finito) tampoco es una topología TVS en${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos que es continuo en un punto es continuo en todo el dominio. Además, un operador lineal es continuo si está acotado (como se define a continuación) en algún entorno del origen.${\displaystyle f}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle X}$

Un hiperplano en un espacio vectorial topológico es denso o cerrado. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico tiene núcleo denso o cerrado. Además, es continuo si y solo si su núcleo es cerrado .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Dependiendo de la aplicación, se suelen imponer restricciones adicionales a la estructura topológica del espacio. De hecho, varios resultados principales del análisis funcional no se cumplen en general para los espacios vectoriales topológicos: el teorema del grafo cerrado , el teorema de aplicación abierta y el hecho de que el espacio dual del espacio separa puntos en el espacio.

A continuación se presentan algunos espacios vectoriales topológicos comunes, aproximadamente en orden de creciente "amabilidad".

• Los espacios F son espacios vectoriales topológicos completos con una métrica invariante a la traslación. ^[25] Estos incluyen espacios para todos${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p>0.}$
• Espacios vectoriales topológicos localmente convexos : aquí cada punto tiene una base local que consiste en conjuntos convexos . ^[25] Mediante una técnica conocida como funcionales de Minkowski se puede demostrar que un espacio es localmente convexo si y solo si su topología puede definirse mediante una familia de seminormas. ^[26] La convexidad local es el requisito mínimo para argumentos "geométricos" como el teorema de Hahn-Banach . Los espacios son localmente convexos (de hecho, espacios de Banach) para todos , pero no para${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\geq 1,}$${\displaystyle 0<p<1.}$
• Espacios con barriles : espacios localmente convexos donde se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .
• Espacio bornológico : un espacio localmente convexo donde los operadores lineales continuos de cualquier espacio localmente convexo son exactamente los operadores lineales acotados .
• Espacio estereotipo : un espacio localmente convexo que satisface una variante de la condición de reflexividad , donde el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados .
• Espacio de Montel : un espacio en forma de barril donde cada conjunto cerrado y acotado es compacto
• Espacios de Fréchet : son espacios localmente convexos completos en los que la topología proviene de una métrica invariante a la traslación o, equivalentemente, de una familia contable de seminormas. Muchos espacios interesantes de funciones caen en esta clase: es un espacio de Fréchet bajo las seminormas Un F-espacio localmente convexo es un espacio de Fréchet. ^[25]${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• Los espacios LF son límites de los espacios de Fréchet . Los espacios ILH son límites inversos de los espacios de Hilbert.
• Espacios nucleares : son espacios localmente convexos con la propiedad de que toda función acotada del espacio nuclear a un espacio de Banach arbitrario es un operador nuclear .
• Espacios normados y espacios seminormados : espacios localmente convexos en los que la topología puede describirse mediante una única norma o seminorma. En los espacios normados, un operador lineal es continuo si y solo si está acotado.
• Espacios de Banach : espacios vectoriales normados completos . La mayor parte del análisis funcional está formulado para espacios de Banach. Esta clase incluye los espacios con el espacio de funciones de variación acotada y ciertos espacios de medidas.${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$${\displaystyle BV}$
• Espacios de Banach reflexivos : los espacios de Banach son naturalmente isomorfos a su dual doble (ver más abajo), lo que garantiza que se puedan llevar a cabo algunos argumentos geométricos. Un ejemplo importante que no es reflexivo es , cuyo dual es pero está estrictamente contenido en el dual de${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }.}$
• Espacios de Hilbert : tienen un producto interno ; aunque estos espacios pueden ser de dimensión infinita, la mayoría de los razonamientos geométricos conocidos en dimensiones finitas se pueden llevar a cabo en ellos. Entre ellos se encuentran los espacios de Sobolev y los espacios de Hardy .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• Espacios euclidianos : o con la topología inducida por el producto interno estándar. Como se señaló en la sección anterior, para un finito dado solo hay un espacio vectorial topológico unidimensional, salvo isomorfismo. De esto se deduce que cualquier subespacio de dimensión finita de un TVS es cerrado. Una caracterización de la dimensionalidad finita es que un TVS de Hausdorff es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita (por lo tanto isomorfo a algún espacio euclidiano).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$

Cada espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo —el conjunto de todos los funcionales lineales continuos, es decir, aplicaciones lineales continuas del espacio en el cuerpo base—. Una topología en el dual puede definirse como la topología más burda tal que el emparejamiento dual de cada evaluación de punto es continuo. Esto convierte al dual en un espacio vectorial topológico localmente convexo. Esta topología se llama topología débil-* . ^[27] Esta puede no ser la única topología natural en el espacio dual; por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida en él. Sin embargo, es muy importante en aplicaciones debido a sus propiedades de compacidad (véase el teorema de Banach-Alaoglu ). Precaución: Siempre que sea un espacio localmente convexo no normalizable, entonces la aplicación de emparejamiento nunca es continua, sin importar en qué topología de espacio vectorial se elija. Un espacio vectorial topológico tiene un espacio dual continuo no trivial si y solo si tiene una vecindad convexa apropiada del origen. ^[28]${\displaystyle X'}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle X'.}$

Para cualquier TVS, la envoltura convexa (resp. equilibrada , en disco , convexa cerrada, equilibrada cerrada, en disco cerrada ) de es el subconjunto más pequeño de que tiene esta propiedad y contiene El cierre (respectivamente, interior, envoltura convexa , envoltura equilibrada, envoltura en disco) de un conjunto a veces se denota por (respectivamente, ).${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

La envoltura convexa de un subconjunto es igual al conjunto de todas las combinaciones convexas de elementos en los que son combinaciones lineales finitas de la forma donde es un entero y suman ^[29] La intersección de cualquier familia de conjuntos convexos es convexa y la envoltura convexa de un subconjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos convexos que lo contienen. ^[29]${\displaystyle \operatorname {co} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$${\displaystyle 1.}$

Propiedades de los vecindarios y conjuntos abiertos

Todo TVS está conectado ^[6] y localmente conectado ^[30] y cualquier subconjunto abierto conectado de un TVS está conectado en el arco . Si y es un subconjunto abierto de entonces es un conjunto abierto en ^[6] y si tiene un interior no vacío entonces es un entorno del origen. ^[6]${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S+U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S-S}$

Los subconjuntos convexos abiertos de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexos) son exactamente aquellos que tienen la forma para algunos y algunos funcionales sublineales continuos positivos en ^[28]${\displaystyle X}$$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

Si es un disco absorbente en un TVS y si es la funcional de Minkowski de entonces ^[31] donde, de manera importante, no se asumió que tenía propiedades topológicas ni que era continuo (lo que sucede si y solo si es un vecindario del origen).${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:=p_{K}}$${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$

Sean y dos topologías vectoriales en Entonces, si y solo si, siempre que una red en converge en entonces en ^[32]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

Sea una base de vecindad del origen en sea y sea Entonces, si y solo si existe una red en (indexada por ) tal que en ^[33] Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una base de vecindad del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrarios.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X.}$

Si es un TVS que es de la segunda categoría en sí mismo (es decir, un espacio no magro ), entonces cualquier subconjunto absorbente convexo cerrado de es un vecindario del origen. ^[34] Esto ya no está garantizado si el conjunto no es convexo (existe un contraejemplo incluso en ) o si no es de la segunda categoría en sí mismo. ^[34]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X}$

Interior

Si y tiene interior no vacío entonces y${\displaystyle R,S\subseteq X}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

El interior topológico de un disco no está vacío si y solo si este interior contiene el origen. ^[35] De manera más general, si es un conjunto balanceado con interior no vacío en un TVS entonces necesariamente estará balanceado; ^[6] en consecuencia, estará balanceado si y solo si contiene el origen. ^{[prueba 2]} Para que esto (es decir ) sea verdadero, basta con que también sea convexo (además de estar balanceado y tener interior no vacío).; ^[6] La conclusión podría ser falsa si no es también convexo; ^[35] por ejemplo, en el interior del conjunto cerrado y balanceado es${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Si es convexo y entonces ^[36] Explícitamente, esto significa que si es un subconjunto convexo de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), y entonces el segmento de línea abierto que une y pertenece al interior de ese es, ^{[37] [38] [prueba 3]}${\displaystyle C}$${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C;}$${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

Si hay un vecindario equilibrado del origen en entonces donde es el conjunto de todos los escalares tales que${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|<1.}$

Si pertenece al interior de un conjunto convexo y entonces el segmento de línea semiabierto y ^[37] Si es un entorno equilibrado de en y entonces al considerar intersecciones de la forma (que son entornos simétricos convexos de en el TVS real ) se sigue que: y además, si entonces y si entonces${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$ $${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} x}$${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$${\displaystyle r\neq \infty }$${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

Un espacio vectorial topológico es de Hausdorff si y solo si es un subconjunto cerrado de o, equivalentemente, si y solo si Porque es un subespacio vectorial de lo mismo es cierto de su clausura , que se conoce como la clausura del origen en Este espacio vectorial satisface de modo que, en particular, cada entorno del origen en contiene el espacio vectorial como un subconjunto. La topología del subespacio en es siempre la topología trivial , lo que en particular implica que el espacio vectorial topológico es un espacio compacto (incluso si su dimensión es distinta de cero o incluso infinita) y, en consecuencia, también un subconjunto acotado de De hecho, un subespacio vectorial de un TVS está acotado si y solo si está contenido en la clausura de ^[14] Cada subconjunto de también lleva la topología trivial y, por lo tanto, es en sí mismo un subespacio compacto y, por lo tanto, también completo (véase la nota al pie para una prueba). ^{[prueba 4]} En particular, si no es de Hausdorff, entonces existen subconjuntos que son compactos y completos pero no cerrados en ; ^[39] Por ejemplo, esto será cierto para cualquier subconjunto propio no vacío de${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$