Geometría diferencial de superficies

En matemáticas , la geometría diferencial de superficies se ocupa de la geometría diferencial de superficies lisas ^[a] con varias estructuras adicionales, más frecuentemente, una métrica de Riemann . ^[b]

Las superficies han sido estudiadas extensamente desde varias perspectivas: extrínsecamente , en relación con su incrustación en el espacio euclidiano e intrínsecamente , reflejando sus propiedades determinadas únicamente por la distancia dentro de la superficie medida a lo largo de las curvas de la superficie. Uno de los conceptos fundamentales investigados es la curvatura gaussiana , estudiada en profundidad por primera vez por Carl Friedrich Gauss , ^[1] quien demostró que la curvatura era una propiedad intrínseca de una superficie, independiente de su incrustación isométrica en el espacio euclidiano.

Las superficies surgen naturalmente como gráficos de funciones de un par de variables , y a veces aparecen en forma paramétrica o como lugares geométricos asociados a curvas espaciales . Un papel importante en su estudio lo han desempeñado los grupos de Lie (en el espíritu del programa de Erlangen ), a saber, los grupos de simetría del plano euclidiano , la esfera y el plano hiperbólico . Estos grupos de Lie se pueden utilizar para describir superficies de curvatura gaussiana constante; también proporcionan un ingrediente esencial en el enfoque moderno de la geometría diferencial intrínseca a través de conexiones . Por otro lado, las propiedades extrínsecas que dependen de una incrustación de una superficie en el espacio euclidiano también se han estudiado ampliamente. Esto está bien ilustrado por las ecuaciones no lineales de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones : aunque Euler desarrolló las ecuaciones de una variable para comprender las geodésicas , definidas independientemente de una incrustación, una de las principales aplicaciones de Lagrange de las ecuaciones de dos variables fue a las superficies mínimas , un concepto que solo se puede definir en términos de una incrustación.

Los volúmenes de ciertas superficies cuadráticas de revolución fueron calculados por Arquímedes . ^[2] El desarrollo del cálculo en el siglo XVII proporcionó una forma más sistemática de calcularlos. ^[3] La curvatura de superficies generales fue estudiada por primera vez por Euler . En 1760 ^[4] demostró una fórmula para la curvatura de una sección plana de una superficie y en 1771 ^[5] consideró superficies representadas en forma paramétrica. Monge sentó las bases de su teoría en su memoria clásica L'application de l'analyse à la géometrie que apareció en 1795. La contribución definitoria a la teoría de superficies fue hecha por Gauss en dos artículos notables escritos en 1825 y 1827. ^[1] Esto marcó un nuevo alejamiento de la tradición porque por primera vez Gauss consideró la geometría intrínseca de una superficie, las propiedades que están determinadas solo por las distancias geodésicas entre puntos en la superficie independientemente de la forma particular en que la superficie está ubicada en el espacio euclidiano ambiental. El resultado culminante, el Theorema Egregium de Gauss, estableció que la curvatura gaussiana es un invariante intrínseco, es decir, invariante bajo isometrías locales . Este punto de vista fue extendido a espacios de dimensiones superiores por Riemann y condujo a lo que hoy se conoce como geometría riemanniana . El siglo XIX fue la época dorada de la teoría de superficies, tanto desde el punto de vista topológico como desde el punto de vista geométrico-diferencial, y la mayoría de los geómetras más destacados se dedicaron a su estudio. ^{[ cita requerida ]} Darboux recopiló muchos resultados en su tratado de cuatro volúmenes Théorie des surface (1887-1896).

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Resulta intuitivamente bastante familiar decir que la hoja de una planta, la superficie de un vaso o la forma de una cara están curvadas de determinadas maneras y que todas estas formas, incluso después de ignorar cualquier marca distintiva, tienen ciertas características geométricas que las distinguen unas de otras. La geometría diferencial de superficies se ocupa de una comprensión matemática de tales fenómenos. El estudio de este campo, que se inició en su forma moderna en el siglo XVIII, ha llevado al desarrollo de la geometría abstracta y de dimensiones superiores, como la geometría de Riemann y la relatividad general . ^{[ ¿ Investigación original? ]}

El objeto matemático esencial es el de una superficie regular. Aunque las convenciones varían en su definición precisa, estas forman una clase general de subconjuntos del espacio euclidiano tridimensional ( ℝ ³ ) que capturan parte de la noción familiar de "superficie". Al analizar la clase de curvas que se encuentran en dicha superficie y el grado en que las superficies las obligan a curvarse en ℝ ³ , se pueden asociar a cada punto de la superficie dos números, llamados curvaturas principales. Su promedio se llama curvatura media de la superficie y su producto se llama curvatura gaussiana.

Hay muchos ejemplos clásicos de superficies regulares, entre ellos:

• Ejemplos familiares como planos, cilindros y esferas.
• Las superficies mínimas , que se definen por la propiedad de que su curvatura media es cero en cada punto. Los ejemplos más conocidos son los catenoides y los helicoides , aunque se han descubierto muchos más. Las superficies mínimas también se pueden definir por propiedades relacionadas con el área de la superficie , con la consecuencia de que proporcionan un modelo matemático para la forma de las películas de jabón cuando se estiran a lo largo de un marco de alambre.
• superficies regladas , que son superficies que tienen al menos una línea recta que pasa por cada punto; ejemplos incluyen el cilindro y el hiperboloide de una lámina.

Un resultado sorprendente de Carl Friedrich Gauss , conocido como el teorema egregium , mostró que la curvatura gaussiana de una superficie, que por definición tiene que ver con cómo las curvas de la superficie cambian de dirección en el espacio tridimensional, en realidad se puede medir por las longitudes de las curvas que se encuentran en las superficies junto con los ángulos que se forman cuando dos curvas en la superficie se cruzan. Terminológicamente, esto dice que la curvatura gaussiana se puede calcular a partir de la primera forma fundamental (también llamada tensor métrico ) de la superficie. La segunda forma fundamental , por el contrario, es un objeto que codifica cómo se distorsionan las longitudes y los ángulos de las curvas en la superficie cuando las curvas se empujan fuera de la superficie.

A pesar de medir diferentes aspectos de la longitud y el ángulo, la primera y la segunda forma fundamental no son independientes entre sí y satisfacen ciertas restricciones llamadas ecuaciones de Gauss-Codazzi . Un teorema importante, a menudo llamado teorema fundamental de la geometría diferencial de superficies, afirma que siempre que dos objetos satisfacen las restricciones de Gauss-Codazzi, surgirán como la primera y la segunda forma fundamental de una superficie regular.

Utilizando la primera forma fundamental, es posible definir nuevos objetos en una superficie regular. Las geodésicas son curvas en la superficie que satisfacen una cierta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se especifica mediante la primera forma fundamental. Están muy directamente relacionadas con el estudio de las longitudes de las curvas; una geodésica de longitud suficientemente corta siempre será la curva de menor longitud en la superficie que conecta sus dos puntos finales. Por lo tanto, las geodésicas son fundamentales para el problema de optimización de determinar el camino más corto entre dos puntos dados en una superficie regular.

También se puede definir el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva dada, lo que proporciona una prescripción sobre cómo deformar un vector tangente a la superficie en un punto de la curva a vectores tangentes en todos los demás puntos de la curva. La prescripción está determinada por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se especifica mediante la primera forma fundamental.

Los conceptos anteriores tienen que ver esencialmente con el cálculo multivariable. El teorema de Gauss-Bonnet es un resultado más global, que relaciona la curvatura gaussiana de una superficie con su tipo topológico. Afirma que el valor medio de la curvatura gaussiana está completamente determinado por la característica de Euler de la superficie junto con su área superficial.

Cualquier superficie regular es un ejemplo tanto de una variedad de Riemann como de una superficie de Riemann . Esencialmente, toda la teoría de superficies regulares que se analiza aquí tiene una generalización en la teoría de las variedades de Riemann y sus subvariedades.

Es intuitivamente claro que una esfera es lisa, mientras que un cono o una pirámide, debido a su vértice o aristas, no lo son. La noción de una "superficie regular" es una formalización de la noción de una superficie lisa. La definición utiliza la representación local de una superficie a través de aplicaciones entre espacios euclidianos . Existe una noción estándar de suavidad para tales aplicaciones; una aplicación entre dos subconjuntos abiertos del espacio euclidiano es lisa si sus derivadas parciales de cada orden existen en cada punto del dominio. ^{[6] [7] [8]}

A continuación se ofrecen tres formas equivalentes de presentar la definición; la definición del medio es quizás la más intuitiva visualmente, ya que esencialmente dice que una superficie regular es un subconjunto de ℝ ³ que es localmente el gráfico de una función suave (ya sea sobre una región en el plano yz , el plano xz o el plano xy ).

Los homeomorfismos que aparecen en la primera definición se conocen como parametrizaciones locales o sistemas de coordenadas locales o cartas locales en S . ^[13] La equivalencia de las dos primeras definiciones afirma que, alrededor de cualquier punto de una superficie regular, siempre existen parametrizaciones locales de la forma ( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v ) , ( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v ), v ) o ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , conocidas como parches de MongeLas funciones F, como en la tercera definición, se denominan funciones definitorias locales . La equivalencia de las tres definiciones se desprende del teorema de la función implícita . ^{[14] [15] [16]}

Dadas dos parametrizaciones locales cualesquiera f  : V → U y f ′ : V ′→ U ′ de una superficie regular, la composición f ⁻¹ ∘ f ′ es necesariamente suave como una función entre subconjuntos abiertos de ℝ ² . ^[17] Esto muestra que cualquier superficie regular tiene naturalmente la estructura de una variedad suave , con un atlas suave dado por las inversas de las parametrizaciones locales.

En la teoría clásica de la geometría diferencial, las superficies se estudian habitualmente sólo en el caso regular. ^{[7] [18]} Sin embargo, también es común estudiar superficies no regulares, en las que las dos derivadas parciales ∂ _u f y ∂ _v f de una parametrización local pueden no ser linealmente independientes . En este caso, S puede tener singularidades como aristas cuspidales . Estas superficies se estudian típicamente en la teoría de singularidades . Otras formas debilitadas de superficies regulares se dan en el diseño asistido por ordenador , donde una superficie se divide en piezas disjuntas, y las derivadas de las parametrizaciones locales no logran ni siquiera ser continuas a lo largo de los límites. ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos sencillos. Un ejemplo sencillo de superficie regular lo da la 2-esfera {( x , y , z ) | x ² + y ² + z ² = 1 }; esta superficie puede cubrirse con seis parches de Monge (dos de cada uno de los tres tipos dados anteriormente), tomando h ( u , v ) = ± (1 − u ² − v ² ) ^1/2 . También puede cubrirse con dos parametrizaciones locales, utilizando la proyección estereográfica . El conjunto {( x , y , z ) : (( x ² + y ² ) ^1/2 − r ) ² + z ² = R ² } es un toro de revolución con radios r y R . Es una superficie regular; se pueden dar parametrizaciones locales de la forma

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

El hiperboloide en dos láminas {( x , y , z ): z ² = 1 + x ² + y ² } es una superficie regular; puede ser cubierta por dos parches de Monge, con h ( u , v ) = ±(1 + u ² + v ² ) ^1/2 . El helicoide aparece en la teoría de superficies mínimas . Está cubierto por una única parametrización local, f ( u , v ) = ( u sen v , u cos v , v ) .

Sea S una superficie regular en ℝ ³ , y sea p un elemento de S . Utilizando cualquiera de las definiciones anteriores, se pueden distinguir ciertos vectores en ℝ ³ como tangentes a S en p , y ciertos vectores en ℝ ³ como ortogonales a S en p .

Objetos utilizados en la definición	Un vector X en ℝ 3 es tangente a S en p si...	Un vector n en ℝ 3 es normal a S en p si...
Parametrizaciones locales	... dada cualquier parametrización local f  : V → S con p ∈ f ( V ) , X es una combinación lineal de y${\displaystyle \textstyle {\frac {\parcial f}{\parcial u}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\parcial f}{\parcial v}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$	... es ortogonal a todo vector tangente a S en p
Parches de Monge	... para cualquier parche de Monge ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) cuyo rango incluye p , se tiene ${\displaystyle X^{1}{\frac {\parcial h}{\parcial u}}+X^{2}{\frac {\parcial h}{\parcial v}}-X^{3}=0,}$ con las derivadas parciales evaluadas en el punto ( p 1 , p 2 ) . La definición análoga se aplica en el caso de los parches de Monge de las otras dos formas.	... para cualquier parche de Monge ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) cuyo rango incluye p , n es un múltiplo de ( ⁠∂h​/∂ tu⁠ , ⁠∂h​/∂ en⁠ , −1) según se evalúa en el punto ( p 1 , p 2 ) . La definición análoga se aplica en el caso de los parches de Monge de las otras dos formas.
Funciones implícitas	... para cualquier función definitoria local F cuyo dominio contiene p , X es ortogonal a ∇ F ( p )	... para cualquier función definitoria local F cuyo dominio contiene p , n es un múltiplo de ∇ F ( p )

Se ve que el espacio tangente o plano tangente a S en p , que se define como formado por todos los vectores tangentes a S en p , es un subespacio lineal bidimensional de ℝ ³ ; a menudo se denota por T _p S . El espacio normal a S en p , que se define como formado por todos los vectores normales a S en p , es un subespacio lineal unidimensional de ℝ ³ que es ortogonal al espacio tangente T _p S . Como tal, en cada punto p de S , hay dos vectores normales de longitud unitaria (vectores normales unitarios). Los vectores normales unitarios en p se pueden dar en términos de parametrizaciones locales, parches de Monge o funciones de definición locales, a través de las fórmulas

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\parcial f}{\parcial u}}\times {\frac {\parcial f}{\parcial v}}}{{\big \|}{\frac {\parcial f}{\parcial u}}\times {\frac {\parcial f}{\parcial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\parcial h}{\parcial u}},{\frac {\parcial h}{\parcial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\parcial h}{\parcial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\parcial h}{\parcial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{o}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

siguiendo las mismas notaciones que en las definiciones anteriores.

También es útil observar una definición "intrínseca" de vectores tangentes, que es típica de la generalización de la teoría de superficies regulares al contexto de variedades suaves . Define el espacio tangente como un espacio vectorial real bidimensional abstracto, en lugar de como un subespacio lineal de ℝ ³ . En esta definición, se dice que un vector tangente a S en p es una asignación, a cada parametrización local f  : V → S con p ∈ f ( V ) , de dos números X ¹ y X ² , tal que para cualquier otra parametrización local f ′ : V → S con p ∈ f ( V ) (y con los números correspondientes ( X ′) ¹ y ( X ′) ² ), se tiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

donde A _{f ′( p )} es la matriz jacobiana de la función f ⁻¹ ∘ f ′ , evaluada en el punto f ′( p ) . La colección de vectores tangentes a S en p tiene naturalmente la estructura de un espacio vectorial bidimensional. Un vector tangente en este sentido corresponde a un vector tangente en el sentido anterior considerando el vector

${\displaystyle X^{1}{\frac {\parcial f}{\parcial u}}+X^{2}{\frac {\parcial f}{\parcial v}}.}$

en ℝ ³ . La condición jacobiana en X ¹ y X ² asegura, por la regla de la cadena , que este vector no depende de f .

Para funciones suaves sobre una superficie, los campos vectoriales (es decir, los campos vectoriales tangentes) tienen una interpretación importante como operadores o derivaciones de primer orden. Sea una superficie regular, un subconjunto abierto del plano y un gráfico de coordenadas. Si , el espacio se puede identificar con . De manera similar, identifica campos vectoriales en con campos vectoriales en . Tomando las variables estándar u y v , un campo vectorial tiene la forma , con a y b funciones suaves. Si es un campo vectorial y es una función suave, entonces es también una función suave. El operador diferencial de primer orden es una derivación , es decir, satisface la regla de Leibniz ^[19]${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle f:U\rightarrow S}$${\displaystyle V=f(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Xg}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$

Para los campos vectoriales X e Y es sencillo comprobar que el operador es una derivación correspondiente a un campo vectorial. Se denomina corchete de Lie . Es antisimétrico y satisface la identidad de Jacobi:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

En resumen, los campos vectoriales forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie. ^[20]${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Sea S una superficie regular en ℝ ³ . Dada una parametrización local f  : V → S y un campo vectorial normal unitario n a f ( V ) , se definen los siguientes objetos como funciones de valor real o de valor matricial en V . La primera forma fundamental depende sólo de f , y no de n . La cuarta columna registra la forma en que estas funciones dependen de f , relacionando las funciones E ′, F ′, G ′, L ′, etc., que surgen para una elección diferente de parametrización local, f ′ : V ′ → S , con las que surgen para f . Aquí A denota la matriz jacobiana de f ^–1 ∘ f ′ . La relación clave para establecer las fórmulas de la cuarta columna es entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

como sigue por la regla de la cadena .

Terminología	Notación	Definición	Dependencia de la parametrización local
Primera forma fundamental	mi	${\displaystyle E={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial u}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}A^{T}}$
	F	${\displaystyle F={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
	GRAMO	${\displaystyle G={\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
Segunda forma fundamental	yo	${\displaystyle L={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}\cdot n}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}A^{T}}$
	METRO	${\displaystyle M={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}\cdot n}$
	norte	${\displaystyle N={\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}\cdot n}$
Operador de forma [21]	PAG	${\displaystyle P={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle P'=APA^{-1}}$
Curvatura gaussiana	K	${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}}$	${\displaystyle K'=K}$
Curvatura media	yo	${\displaystyle H={\frac {GL-2FM+EN}{2(EG-F^{2})}}}$	${\displaystyle H'=H}$
Curvas principales	${\displaystyle \kappa _{\pm }}$	${\displaystyle H\pm {\sqrt {H^{2}-K}}}$	${\displaystyle \kappa _{\pm }'=\kappa _{\pm }}$

Mediante un cálculo directo con la matriz que define el operador de forma, se puede comprobar que la curvatura gaussiana es el determinante del operador de forma, la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma y las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma; además, la curvatura gaussiana es el producto de las curvaturas principales y la curvatura media es su suma. Estas observaciones también se pueden formular como definiciones de estos objetos. Estas observaciones también dejan claro que las últimas tres filas de la cuarta columna se derivan inmediatamente de la fila anterior, ya que matrices similares tienen determinante, traza y valores propios idénticos. Es fundamental observar que E , G y EG − F ² son necesariamente positivos. Esto garantiza que la matriz inversa en la definición del operador de forma esté bien definida y que las curvaturas principales sean números reales.

Obsérvese también que una negación de la elección del campo vectorial normal unitario negará la segunda forma fundamental, el operador de forma, la curvatura media y las curvaturas principales, pero dejará la curvatura gaussiana sin cambios. En resumen, esto ha demostrado que, dada una superficie regular S , la curvatura gaussiana de S puede considerarse como una función de valor real en S ; en relación con una elección del campo vectorial normal unitario en todos los S , las dos curvaturas principales y la curvatura media también son funciones de valor real en S .

Geométricamente, la primera y la segunda forma fundamental pueden considerarse como una fuente de información sobre cómo f ( u , v ) se mueve en ℝ ³ a medida que ( u , v ) se mueve en V . En particular, la primera forma fundamental codifica la rapidez con la que se mueve f , mientras que la segunda forma fundamental codifica hasta qué punto su movimiento se produce en la dirección del vector normal n . En otras palabras, la segunda forma fundamental en un punto p codifica la longitud de la proyección ortogonal desde S al plano tangente a S en p ; en particular, proporciona la función cuadrática que mejor se aproxima a esta longitud. Este razonamiento se puede precisar mediante las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

como se desprende directamente de las definiciones de las formas fundamentales y del teorema de Taylor en dos dimensiones. Las curvaturas principales pueden verse de la siguiente manera. En un punto dado p de S , considérese el conjunto de todos los planos que contienen la línea ortogonal a S . Cada uno de estos planos tiene una curva de intersección con S , que puede considerarse como una curva plana dentro del propio plano. Las dos curvaturas principales en p son los valores máximo y mínimo posibles de la curvatura de esta curva plana en p , a medida que el plano en consideración gira alrededor de la línea normal.

A continuación se resume el cálculo de las cantidades anteriores en relación con un parche de Monge f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . Aquí h _u y h _v denotan las dos derivadas parciales de h , con notación análoga para las segundas derivadas parciales. La segunda forma fundamental y todas las cantidades posteriores se calculan en relación con la elección dada del campo vectorial normal unitario.

Cantidad	Fórmula
Un campo vectorial normal unitario	${\displaystyle n={\frac {(-h_{u},-h_{v},1)}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}}$
Primera forma fundamental	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+h_{u}^{2}&h_{u}h_{v}\\h_{u}h_{v}&1+h_{v}^{2}\end{pmatrix}}}$
Segunda forma fundamental	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}&h_{uv}\\h_{uv}&h_{vv}\end{pmatrix}}}$
Operador de forma	${\displaystyle P={\frac {1}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}(1+h_{v}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}&h_{uv}(1+h_{v}^{2})-h_{vv}h_{u}h_{v}\\h_{uv}(1+h_{u}^{2})-h_{uu}h_{u}h_{v}&h_{vv}(1+h_{u}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}\end{pmatrix}}}$
Curvatura gaussiana	${\displaystyle K={\frac {h_{uu}h_{vv}-h_{uv}^{2}}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{2}}}}$
Curvatura media	${\displaystyle H={\frac {(1+h_{v}^{2})h_{uu}-2h_{u}h_{v}h_{uv}+(1+h_{u}^{2})h_{vv}}{2(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}}$

Sea S una superficie regular en ℝ ³ . Los símbolos de Christoffel asignan, a cada parametrización local f  : V → S , ocho funciones sobre V , definidas por ^[22]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

También se pueden definir mediante las siguientes fórmulas, en las que n es un campo vectorial normal unitario a lo largo de f ( V ) y L , M , N son los componentes correspondientes de la segunda forma fundamental:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

La clave de esta definición es que ⁠∂f​/∂ tu⁠ , ⁠∂f​/∂ en⁠ , y n forman una base de ℝ ³ en cada punto, en relación con la cual cada una de las tres ecuaciones especifica de manera única los símbolos de Christoffel como coordenadas de las segundas derivadas parciales de f . La elección de la normal unitaria no tiene efecto sobre los símbolos de Christoffel, ya que si n se intercambia por su negación, entonces los componentes de la segunda forma fundamental también se niegan, y por lo tanto los signos de Ln , Mn , Nn no cambian.

La segunda definición muestra, en el contexto de parametrizaciones locales, que los símbolos de Christoffel son geométricamente naturales. Aunque las fórmulas de la primera definición parecen menos naturales, tienen la importancia de mostrar que los símbolos de Christoffel pueden calcularse a partir de la primera forma fundamental, lo que no resulta inmediatamente evidente a partir de la segunda definición. La equivalencia de las definiciones puede comprobarse sustituyendo directamente la primera definición en la segunda y utilizando las definiciones de E , F , G .

Las ecuaciones de Codazzi afirman que ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones se pueden derivar directamente de la segunda definición de los símbolos de Christoffel dada anteriormente; por ejemplo, la primera ecuación de Codazzi se obtiene diferenciando la primera ecuación con respecto a v , la segunda ecuación con respecto a u , restando las dos y tomando el producto escalar con n . La ecuación de Gauss afirma que ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Estas se pueden derivar de manera similar a las ecuaciones de Codazzi, con una de ellas utilizando las ecuaciones de Weingarten en lugar de tomar el producto escalar con n . Aunque estas se escriben como tres ecuaciones separadas, son idénticas cuando se sustituyen las definiciones de los símbolos de Christoffel, en términos de la primera forma fundamental. Hay muchas maneras de escribir la expresión resultante, una de ellas derivada en 1852 por Brioschi utilizando un hábil uso de determinantes: ^{[25] [26]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

Cuando se considera que los símbolos de Christoffel están definidos por la primera forma fundamental, las ecuaciones de Gauss y Codazzi representan ciertas restricciones entre la primera y la segunda forma fundamental. La ecuación de Gauss es particularmente notable, ya que muestra que la curvatura gaussiana se puede calcular directamente a partir de la primera forma fundamental, sin necesidad de ninguna otra información; equivalentemente, esto dice que LN − M ² puede escribirse en realidad como una función de E , F , G , aunque los componentes individuales L , M , N no puedan. Esto se conoce como el teorema egregium , y fue un descubrimiento importante de Carl Friedrich Gauss . Es particularmente sorprendente cuando uno recuerda la definición geométrica de la curvatura gaussiana de S como definida por los radios máximo y mínimo de los círculos osculadores; parecen estar definidos fundamentalmente por la geometría de cómo S se dobla dentro de ℝ ³ . Sin embargo, el teorema muestra que su producto puede determinarse a partir de la geometría "intrínseca" de S , que sólo tiene que ver con las longitudes de las curvas a lo largo de S y los ángulos formados en sus intersecciones. Como dijo Marcel Berger : ^[27]

Este teorema es desconcertante. [...] Es el tipo de teorema que podría haber esperado decenas de años más antes de ser descubierto por otro matemático ya que, a diferencia de gran parte de la historia intelectual, no estaba en absoluto en el aire. [...] Hasta donde sabemos, no existe hoy una prueba geométrica sencilla del teorema egregium.

Las ecuaciones de Gauss-Codazzi también pueden expresarse sucintamente y derivarse en el lenguaje de las formas de conexión debido a Élie Cartan . ^[28] En el lenguaje del cálculo tensorial , haciendo uso de métricas naturales y conexiones en fibrados tensoriales , la ecuación de Gauss puede escribirse como H ² − | h | ² = R y las dos ecuaciones de Codazzi pueden escribirse como ∇ ₁ h ₁₂ = ∇ ₂ h ₁₁ y ∇ ₁ h ₂₂ = ∇ ₂ h ₁₂ ; las expresiones complicadas que tienen que ver con los símbolos de Christoffel y la primera forma fundamental se absorben completamente en las definiciones de la derivada tensorial covariante ∇ h y la curvatura escalar R . Pierre Bonnet demostró que dos formas cuadráticas que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi siempre determinan de forma única una superficie incrustada localmente. ^[29] Por esta razón, las ecuaciones de Gauss-Codazzi se denominan a menudo ecuaciones fundamentales para superficies embebidas, identificando con precisión de dónde provienen las curvaturas intrínsecas y extrínsecas. Admiten generalizaciones a superficies embebidas en variedades riemannianas más generales .

Se dice que un difeomorfismo entre conjuntos abiertos y en una superficie regular es una isometría si conserva la métrica, es decir, la primera forma fundamental. ^{[30] [31] [32]} Por lo tanto, para cada punto en y vectores tangentes en , existen igualdades${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

En términos del producto interno que proviene de la primera forma fundamental, esto se puede reescribir como

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$.

Por otra parte, la longitud de una curva parametrizada se puede calcular como${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

y, si la curva se encuentra en , las reglas para el cambio de variables muestran que${\displaystyle U}$

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

Por el contrario, si conserva las longitudes de todos los parametrizados en curvas, entonces es una isometría. De hecho, para elecciones adecuadas de , los vectores tangentes y dan vectores tangentes arbitrarios y . Las igualdades deben cumplirse para todas las elecciones de vectores tangentes y así como y , de modo que . ^[33]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$

Un ejemplo simple de isometría lo proporcionan dos parametrizaciones y de un conjunto abierto en superficies regulares y . Si , y , entonces es una isometría de sobre . ^[34]${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$${\displaystyle f_{1}(U)}$${\displaystyle f_{2}(U)}$

El cilindro y el plano dan ejemplos de superficies que son localmente isométricas pero que no pueden extenderse a una isometría por razones topológicas. ^[35] Como otro ejemplo, el catenoide y el helicoide son localmente isométricos. ^[36]

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Un campo vectorial tangente X sobre S asigna, a cada p en S , un vector tangente X _p a S en p . Según la definición "intrínseca" de vectores tangentes dada anteriormente, un campo vectorial tangente X asigna entonces, a cada parametrización local f  : V → S , dos funciones reales X ¹ y X ² sobre V , de modo que

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

para cada p en S . Se dice que X es suave si las funciones X ¹ y X ² son suaves, para cualquier elección de f . ^[37] De acuerdo con las otras definiciones de vectores tangentes dadas anteriormente, también se puede considerar un campo vectorial tangencial X en S como una función X  : S → ℝ ³ tal que X ( p ) está contenido en el espacio tangente T _p S ⊂ ℝ ³ para cada p en S . Como es común en la situación más general de variedades suaves , los campos vectoriales tangenciales también se pueden definir como ciertos operadores diferenciales en el espacio de funciones suaves en S .

Las derivadas covariantes (también llamadas "derivadas tangenciales") de Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro proporcionan un medio para diferenciar campos vectoriales tangenciales suaves. Dado un campo vectorial tangencial X y un vector tangente Y a S en p , la derivada covariante ∇ _Y X es un cierto vector tangente a S en p . En consecuencia, si X e Y son ambos campos vectoriales tangenciales, entonces ∇ _Y X también puede considerarse como un campo vectorial tangencial; iterativamente, si X , Y y Z son campos vectoriales tangenciales, se puede calcular ∇ _Z ∇ _Y X , que será otro campo vectorial tangencial. Hay algunas formas de definir la derivada covariante; la primera a continuación utiliza los símbolos de Christoffel y la definición "intrínseca" de vectores tangentes, y la segunda es más manifiestamente geométrica.

Dado un campo vectorial tangente X y un vector tangente Y a S en p , se define ∇ _Y X como el vector tangente a p que asigna a una parametrización local f  : V → S los dos números

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

donde D _{( Y ¹ , Y ² )} es la derivada direccional . ^[38] Esto a menudo se abrevia en la forma menos engorrosa (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^yo
_ijX ^j , haciendo uso de la notación de Einstein y con las ubicaciones de la evaluación de la función entendidas implícitamente. Esto sigue una prescripción estándar en geometría de Riemann para obtener una conexión a partir de una métrica de Riemann . Es un hecho fundamental que el vector

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

en ℝ ³ es independiente de la elección de la parametización local f , aunque esto es bastante tedioso de comprobar.

También se puede definir la derivada covariante mediante el siguiente enfoque geométrico, que no hace uso de símbolos de Christoffel o parametrizaciones locales. ^{[39] [40] [41]} Sea X un campo vectorial en S , visto como una función S → ℝ ³ . Dada cualquier curva c  : ( a , b ) → S , se puede considerar la composición X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³ . Como una función entre espacios euclidianos, se puede diferenciar en cualquier valor de entrada para obtener un elemento ( X ∘ c )′( t ) de ℝ ³ . La proyección ortogonal de este vector sobre T _{c ( t )} S define la derivada covariante ∇ _{c ′( t )} X . Aunque ésta es una definición geométricamente muy limpia, es necesario demostrar que el resultado sólo depende de c ′( t ) y X , y no de c y X ; se pueden utilizar parametrizaciones locales para este pequeño argumento técnico.

No es inmediatamente evidente a partir de la segunda definición que la diferenciación covariante depende solo de la primera forma fundamental de S ; sin embargo, esto es inmediato a partir de la primera definición, ya que los símbolos de Christoffel se pueden definir directamente a partir de la primera forma fundamental. Es sencillo comprobar que las dos definiciones son equivalentes. La clave es que cuando se considera X ¹ ⁠∂f​/∂ tu+ X ²​​∂f​/∂ en⁠ como una función ℝ ³ -valuada, su diferenciación a lo largo de una curva da como resultado segundas derivadas parciales ∂ ² f ; los símbolos de Christoffel entran con proyección ortogonal al espacio tangente, debido a la formulación de los símbolos de Christoffel como los componentes tangenciales de las segundas derivadas de f relativas a la base ⁠∂f​/∂ tu⁠ , ⁠∂f​/∂ en⁠ , n . ^[38] Esto se analiza en la sección anterior.

El lado derecho de las tres ecuaciones de Gauss se puede expresar mediante la diferenciación covariante. Por ejemplo, el lado derecho

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

puede reconocerse como la segunda coordenada de

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

relativo a la base∂f​/∂ tu⁠ , ⁠∂f​/∂ en⁠ , como se puede verificar directamente utilizando la definición de diferenciación covariante por símbolos de Christoffel. En el lenguaje de la geometría de Riemann , esta observación también se puede expresar como diciendo que los lados derechos de las ecuaciones de Gauss son varios componentes de la curvatura de Ricci de la conexión de Levi-Civita de la primera forma fundamental, cuando se interpreta como una métrica de Riemann .

Una superficie de revolución se obtiene rotando una curva en el plano xz alrededor del eje z . Tales superficies incluyen esferas, cilindros, conos, toros y la catenoide . Los elipsoides , hiperboloides y paraboloides generales no lo son. Supongamos que la curva está parametrizada por

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

con s extraída de un intervalo ( a , b ) . Si c ₁ nunca es cero, si c ₁ ′ y c ₂ ′ nunca son ambos iguales a cero, y si c ₁ y c ₂ son ambos lisos, entonces la superficie de revolución correspondiente

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

será una superficie regular en ℝ ³ . Una parametrización local f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S viene dada por

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

En relación a esta parametrización, los datos geométricos son: ^[42]

Cantidad	Fórmula
Un campo vectorial normal unitario	${\displaystyle n={\frac {{\big (}-c_{2}'(s)\cos t,-c_{2}'(s)\sin t,c_{1}'(s){\big )}}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}$
Primera forma fundamental	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}&0\\0&c_{1}(s)^{2}\end{pmatrix}}}$
Segunda forma fundamental	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}&0\\0&{\frac {c_{1}(s)c_{2}'(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}\end{pmatrix}}}$
Curvas principales	${\displaystyle {\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}}$
Curvatura gaussiana	${\displaystyle K={\frac {c_{2}'(s){\big (}c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s){\big )}}{c_{1}(s){\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{2}}}}$
Curvatura media	${\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}.}$

En el caso especial de que la curva original esté parametrizada por la longitud de arco, es decir ( c ₁ ′( s )) ² + ( c ₂ ′( s )) ² = 1 , se puede derivar para encontrar c ₁ ′( s ) c ₁ ′′( s ) + c ₂ ′( s ) c ₂ ′′( s ) = 0 . Al sustituir en la curvatura gaussiana, se tiene la ecuación simplificada

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

La simplicidad de esta fórmula hace que sea particularmente fácil estudiar la clase de superficies rotacionalmente simétricas con curvatura gaussiana constante. ^[43] Por reducción al caso alternativo de que c ₂ (s) = s , se pueden estudiar las superficies mínimas rotacionalmente simétricas, con el resultado de que cualquier superficie de este tipo es parte de un plano o un catenoide escalado. ^[44]

Cada curva t constante en S se puede parametrizar como una geodésica; una curva s constante en S se puede parametrizar como una geodésica si y solo si c ₁ ′(s) es igual a cero. En general, las geodésicas en S se rigen por la relación de Clairaut .

Consideremos la superficie cuadrática definida por ^[45]

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

Esta superficie admite una parametrización

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

La curvatura gaussiana y la curvatura media se dan por

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

Una superficie reglada es aquella que puede generarse mediante el movimiento de una línea recta en E ³ . ^[46] Al elegir una directriz en la superficie, es decir, una curva de velocidad unitaria suave c ( t ) ortogonal a las líneas rectas, y luego elegir u ( t ) como vectores unitarios a lo largo de la curva en la dirección de las líneas, el vector de velocidad v = c _t y u satisfacen

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

La superficie está formada por puntos.

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

a medida que s y t varían.

Entonces, si

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

La curvatura gaussiana y media se dan por

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

La curvatura gaussiana de la superficie reglada se desvanece si y solo si u _t y v son proporcionales, ^[47] Esta condición es equivalente a que la superficie sea la envolvente de los planos a lo largo de la curva que contienen al vector tangente v y al vector ortogonal u , es decir, a que la superficie sea desarrollable a lo largo de la curva. ^[48] De manera más general, una superficie en E ³ tiene una curvatura gaussiana que se desvanece cerca de un punto si y solo si es desarrollable cerca de ese punto. ^[49] (A continuación se da una condición equivalente en términos de la métrica).

En 1760, Lagrange amplió los resultados de Euler sobre el cálculo de variaciones que involucraban integrales en una variable a dos variables. ^[50] Tenía en mente el siguiente problema:

Dada una curva cerrada en E ³ , encuentre una superficie que tenga la curva como límite con área mínima.

Una superficie de este tipo se denomina superficie mínima .

En 1776, Jean Baptiste Meusnier demostró que la ecuación diferencial derivada de Lagrange era equivalente a la desaparición de la curvatura media de la superficie:

Una superficie es mínima si y sólo si su curvatura media se desvanece.

Las superficies mínimas tienen una interpretación sencilla en la vida real: son la forma que adoptará una película de jabón si se sumerge un marco de alambre con la forma de la curva en una solución de jabón y luego se saca con cuidado. La cuestión de si existe una superficie mínima con un límite determinado se denomina problema de Plateau en honor al físico belga Joseph Plateau, que realizó experimentos con películas de jabón a mediados del siglo XIX. En 1930, Jesse Douglas y Tibor Radó dieron una respuesta afirmativa al problema de Plateau (Douglas recibió una de las primeras medallas Fields por este trabajo en 1936). ^[51]

Se conocen muchos ejemplos explícitos de superficies mínimas, como la catenoide , la helicoide , la superficie de Scherk y la superficie de Enneper . Se han realizado numerosas investigaciones en esta área, resumidas en Osserman (2002). En particular, un resultado de Osserman muestra que si una superficie mínima no es plana, entonces su imagen bajo el mapa de Gauss es densa en S ² .

Si una superficie tiene una curvatura gaussiana constante, se denomina superficie de curvatura constante . ^[52]

• La esfera unitaria en E ³ tiene curvatura gaussiana constante +1.
• Tanto el plano euclidiano como el cilindro tienen una curvatura gaussiana constante 0.
• Una pseudoesfera unitaria tiene una curvatura gaussiana constante -1 (aparte de su ecuador, que es singular ). La pseudoesfera se puede obtener rotando una tractriz alrededor de su asíntota. En 1868 Eugenio Beltrami demostró que la geometría de la pseudoesfera estaba directamente relacionada con la del plano hiperbólico más abstracto , descubierto independientemente por Lobachevsky (1830) y Bolyai (1832). Ya en 1840, F. Minding, un estudiante de Gauss, había obtenido fórmulas trigonométricas para la pseudoesfera idénticas a las del plano hiperbólico. ^[53] La geometría intrínseca de esta superficie se entiende ahora mejor en términos de la métrica de Poincaré en el semiplano superior o el disco unitario , y ha sido descrita por otros modelos como el modelo de Klein o el modelo hiperboloide , obtenido al considerar el hiperboloide de dos láminas q ( x , y , z ) = −1 en el espacio tridimensional de Minkowski , donde q ( x , y , z ) = x ² + y ² – z ² . ^[54]

La esfera, el plano y el plano hiperbólico tienen grupos de simetrías de Lie transitivos . Este hecho teórico de grupos tiene consecuencias de largo alcance, tanto más notables debido al papel central que estas superficies especiales desempeñan en la geometría de superficies, debido al teorema de uniformización de Poincaré (ver más abajo).

Otros ejemplos de superficies con curvatura gaussiana 0 incluyen conos , superficies desarrollables tangentes y, más generalmente, cualquier superficie desarrollable.

Para cualquier superficie incrustada en el espacio euclidiano de dimensión 3 o superior, es posible medir la longitud de una curva en la superficie, el ángulo entre dos curvas y el área de una región en la superficie. Esta estructura se codifica infinitesimalmente en una métrica de Riemann en la superficie a través de elementos de línea y elementos de área . Clásicamente, en los siglos XIX y principios del XX, solo se consideraban superficies incrustadas en R ³ y la métrica se daba como una matriz definida positiva de 2 × 2 que variaba suavemente de un punto a otro en una parametrización local de la superficie. La idea de parametrización local y cambio de coordenadas se formalizó más tarde a través de la noción abstracta actual de una variedad , un espacio topológico donde la estructura suave está dada por cartas locales en la variedad, exactamente como el planeta Tierra está mapeado por atlas hoy. Se requiere que los cambios de coordenadas entre diferentes cartas de la misma región sean suaves. De la misma manera que las curvas de nivel en los mapas de la vida real codifican los cambios de elevación, teniendo en cuenta las distorsiones locales de la superficie de la Tierra para calcular las distancias reales, la métrica de Riemann describe las distancias y áreas "en pequeño" en cada carta local. En cada carta local se da una métrica de Riemann asignando suavemente una matriz definida positiva de 2×2 a cada punto; cuando se toma una carta diferente, la matriz se transforma de acuerdo con la matriz jacobiana del cambio de coordenadas. La variedad tiene entonces la estructura de una variedad de Riemann bidimensional .

La diferencial dn de la función de Gauss n se puede utilizar para definir un tipo de curvatura extrínseca, conocida como operador de forma ^[55] o función de Weingarten . Este operador apareció por primera vez de forma implícita en el trabajo de Wilhelm Blaschke y más tarde de forma explícita en un tratado de Burali-Forti y Burgati. ^[56] Dado que en cada punto x de la superficie, el espacio tangente es un espacio de producto interno , el operador de forma S _x se puede definir como un operador lineal en este espacio mediante la fórmula

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

para los vectores tangentes v , w (el producto interno tiene sentido porque dn ( v ) y w se encuentran ambos en E ³ ). ^[c] El lado derecho es simétrico en v y w , por lo que el operador de forma es autoadjunto en el espacio tangente. Los valores propios de S _x son simplemente las curvaturas principales k ₁ y k ₂ en x . En particular, el determinante del operador de forma en un punto es la curvatura gaussiana, pero también contiene otra información, ya que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma. La curvatura media es un invariante extrínseco. En geometría intrínseca, un cilindro es desarrollable, lo que significa que cada parte de él es intrínsecamente indistinguible de una parte de un plano ya que su curvatura de Gauss se desvanece de manera idéntica. Sin embargo, su curvatura media no es cero; por lo tanto, extrínsecamente es diferente de un plano.

De manera equivalente, el operador de forma se puede definir como un operador lineal en espacios tangentes, S _p :  T _p M → T _p M . Si n es un campo normal unitario a M y v es un vector tangente, entonces

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(no existe un acuerdo estándar sobre si utilizar + o − en la definición).

En general, los vectores propios y los valores propios del operador de forma en cada punto determinan las direcciones en las que se dobla la superficie en cada punto. Los valores propios corresponden a las curvaturas principales de la superficie y los vectores propios son las direcciones principales correspondientes. Las direcciones principales especifican las direcciones que debe recorrer una curva incrustada en la superficie para tener una curvatura máxima y mínima, que vienen dadas por las curvaturas principales.

Las curvas de una superficie que minimizan la longitud entre los puntos extremos se denominan geodésicas ; son la forma que adoptaría una banda elástica estirada entre los dos puntos. Matemáticamente se describen utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias y el cálculo de variaciones . La geometría diferencial de superficies gira en torno al estudio de las geodésicas. Todavía es una cuestión abierta si cada métrica de Riemann en un mapa local bidimensional surge de una incrustación en un espacio euclidiano tridimensional: la teoría de las geodésicas se ha utilizado para demostrar que esto es cierto en el caso importante en que los componentes de la métrica son analíticos .

Dada una trayectoria suave por partes c ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) en el gráfico para t en [ a , b ] , su longitud está definida por

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

y energía por

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

La longitud es independiente de la parametrización de un camino. Por las ecuaciones de Euler-Lagrange , si c ( t ) es una longitud que minimiza el camino, parametrizada por arclength , debe satisfacer las ecuaciones de Euler

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

donde los símbolos de Christoffel Γ^yo
_ijson dados por

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

donde g ₁₁ = E , g ₁₂ = F , g ₂₂ = G y g ^ij es la matriz inversa de g _ij . Una trayectoria que satisface las ecuaciones de Euler se denomina geodésica . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz una trayectoria que minimiza la energía es simplemente una geodésica parametrizada por la longitud del arco; y, para cualquier geodésica, el parámetro t es proporcional a la longitud del arco. ^[57]

La curvatura geodésica k _g en un punto de una curva c ( t ) , parametrizada por la longitud del arco, sobre una superficie orientada se define como ^[58]

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

donde n ( t ) es la normal unitaria "principal" a la curva en la superficie, construida rotando el vector tangente unitario ċ ( t ) a través de un ángulo de +90°.

• La curvatura geodésica en un punto es una invariante intrínseca que depende únicamente de la métrica cerca del punto.
• Una curva de velocidad unitaria en una superficie es geodésica si y solo si su curvatura geodésica se desvanece en todos los puntos de la curva.
• Una curva de velocidad unitaria c ( t ) en una superficie incrustada es una geodésica si y solo si su vector de aceleración c̈ ( t ) es normal a la superficie.

La curvatura geodésica mide de forma precisa qué tan lejos está una curva en la superficie de ser geodésica.

Cuando F = 0 en todo el diagrama de coordenadas, como en el caso de las coordenadas polares geodésicas que se analizan a continuación, las imágenes de las líneas paralelas a los ejes x e y son ortogonales y proporcionan coordenadas ortogonales . Si H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2} , entonces la curvatura gaussiana se da por ^[59]

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

Si además E = 1 , de modo que H = G ^{1 ⁄ 2} , entonces el ángulo φ en la intersección entre la geodésica ( x ( t ), y ( t )) y la recta y = constante viene dado por la ecuación

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

La derivada de φ viene dada por una fórmula de derivada clásica de Gauss: ^[60]

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

Una vez que se da una métrica en una superficie y se fija un punto base, existe una geodésica única que conecta el punto base con cada punto suficientemente cercano. La dirección de la geodésica en el punto base y la distancia determinan de manera única el otro punto final. Estos dos bits de datos, una dirección y una magnitud, determinan así un vector tangente en el punto base. El mapa de vectores tangentes a puntos finales barre suavemente un vecindario del punto base y define lo que se llama el mapa exponencial , que define un gráfico de coordenadas local en ese punto base. El vecindario barrido tiene propiedades similares a las bolas en el espacio euclidiano, es decir, dos puntos cualesquiera en él están unidos por una geodésica única. Esta propiedad se llama "convexidad geodésica" y las coordenadas se llaman coordenadas normales . El cálculo explícito de las coordenadas normales se puede lograr considerando la ecuación diferencial satisfecha por las geodésicas. Las propiedades de convexidad son consecuencias del lema de Gauss y sus generalizaciones. En términos generales, este lema establece que las geodésicas que comienzan en el punto base deben cortar las esferas de radio fijo centradas en el punto base en ángulos rectos. Las coordenadas polares geodésicas se obtienen combinando el mapa exponencial con coordenadas polares en vectores tangentes en el punto base. La curvatura gaussiana de la superficie se da entonces por la desviación de segundo orden de la métrica en el punto con respecto a la métrica euclidiana. En particular, la curvatura gaussiana es un invariante de la métrica, el célebre Theorema Egregium de Gauss . Una forma conveniente de entender la curvatura proviene de una ecuación diferencial ordinaria, considerada primero por Gauss y luego generalizada por Jacobi, que surge del cambio de coordenadas normales sobre dos puntos diferentes. La ecuación de Gauss-Jacobi proporciona otra forma de calcular la curvatura gaussiana. Geométricamente, explica lo que sucede con las geodésicas desde un punto base fijo a medida que el punto final varía a lo largo de un pequeño segmento de curva a través de datos registrados en el campo de Jacobi , un campo vectorial a lo largo de la geodésica. ^[61] Un siglo y cuarto después de Gauss y Jacobi, Marston Morse dio una interpretación más conceptual del campo de Jacobi en términos de segundas derivadas de la función de energía en la variedad de caminos de Hilbert de dimensión infinita. ^[62]

La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias muestra que si f ( t , v ) es suave entonces la ecuación diferencial ⁠Vuelta al futuro/es⁠ = f ( t , v ) con condición inicial v (0) = v ₀ tiene una solución única para | t | suficientemente pequeña y la solución depende suavemente de t y v ₀ . Esto implica que para vectores tangentes v suficientemente pequeños en un punto dado p = ( x ₀ , y ₀ ) , existe una geodésica c _v ( t ) definida en (−2, 2) con c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ ) y ċ _v (0) = v . Además, si | s | ≤ 1 , entonces c _sv = c _v ( st ) . La función exponencial se define por

exp _p ( v ) = c _v (1)

y da un difeomorfismo entre un disco ‖ v ‖ < δ y un entorno de p ; más generalmente, el mapa que envía ( p , v ) a exp _p ( v ) da un difeomorfismo local sobre un entorno de ( p , p ) . El mapa exponencial da coordenadas normales geodésicas cerca de p . ^[63]

Existe una técnica estándar (véase por ejemplo Berger (2004)) para calcular el cambio de variables a coordenadas normales u , v en un punto como una expansión formal de la serie de Taylor . Si las coordenadas x , y en (0,0) son localmente ortogonales, escriba

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) + …

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) +…

donde L , M son polinomios homogéneos cuadráticos y λ , μ cúbicos en u y v . Si u y v son fijos, x ( t ) = x ( tu , tv ) e y ( t ) = y ( tu , tv ) pueden considerarse como soluciones formales en serie de potencias de las ecuaciones de Euler: esto determina de forma única α , β , L , M , λ y μ .