Grupo Mathieu

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Grupos discretos Enrejados Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En teoría de grupos , un tema del álgebra abstracta , los grupos de Mathieu son los cinco grupos esporádicos simples M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ y M ₂₄ introducidos por Mathieu  (1861, 1873). Son grupos de permutación transitiva múltiple sobre 11, 12, 22, 23 o 24 objetos. Son los primeros grupos esporádicos que se descubrieron.

A veces, la notación M ₈ , M ₉ , M ₁₀ , M ₂₀ y M ₂₁ se utiliza para grupos relacionados (que actúan sobre conjuntos de 8, 9, 10, 20 y 21 puntos, respectivamente), es decir, los estabilizadores de puntos en los grupos más grandes. Si bien estos no son grupos simples esporádicos, son subgrupos de los grupos más grandes y se pueden utilizar para construir los más grandes. John Conway ha demostrado que también se puede extender esta secuencia hacia arriba, obteniendo el grupoide de Mathieu M ₁₃ que actúa sobre 13 puntos. M ₂₁ es simple, pero no es un grupo esporádico, siendo isomorfo a PSL (3,4).

Mathieu (1861, p.271) introdujo el grupo M ₁₂ como parte de una investigación de grupos de permutación transitivos múltiples, y mencionó brevemente (en la página 274) el grupo M ₂₄ , dando su orden. En Mathieu (1873) dio más detalles, incluyendo conjuntos generadores explícitos para sus grupos, pero no fue fácil ver a partir de sus argumentos que los grupos generados no son simplemente grupos alternados , y durante varios años la existencia de sus grupos fue controvertida. Miller (1898) incluso publicó un artículo que afirmaba erróneamente demostrar que M ₂₄ no existe, aunque poco después en (Miller 1900) señaló que su prueba era errónea, y dio una prueba de que los grupos de Mathieu son simples. Witt (1938a, 1938b) finalmente eliminó las dudas sobre la existencia de estos grupos, al construirlos como extensiones transitivas sucesivas de grupos de permutación, así como grupos de automorfismos de sistemas de Steiner .

Después de los grupos de Mathieu, no se encontraron nuevos grupos esporádicos hasta 1965, cuando se descubrió el grupo J _{1 .}

Mathieu estaba interesado en encontrar grupos de permutaciones transitivas múltiples , que ahora se definirán. Para un número natural k , un grupo de permutación G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a ₁ , ... a _k y b ₁ , ... b _k con la propiedad de que todos los a _i son distintos y todos los b _i son distintos, hay un elemento de grupo g en G que asigna a _i a b _i para cada i entre 1 y k . Un grupo de este tipo se llama claramente k -transitivo si el elemento g es único (es decir, la acción sobre k -tuplas es regular , en lugar de simplemente transitiva).

M ₂₄ es 5-transitivo, y M ₁₂ es marcadamente 5-transitivo, siendo los otros grupos de Mathieu (simples o no) los subgrupos correspondientes a estabilizadores de m puntos, y en consecuencia de menor transitividad ( M ₂₃ es 4-transitivo, etc.). Estos son los únicos dos grupos 5-transitivos que no son ni grupos simétricos ni grupos alternantes (Cameron 1992, p. 139).

Los únicos grupos 4-transitivos son los grupos simétricos S _k para k al menos 4, los grupos alternados A _k para k al menos 6, y los grupos de Mathieu M ₂₄ , M ₂₃ , M ₁₂ y M ₁₁ . (Cameron 1999, p. 110) La prueba completa requiere la clasificación de grupos simples finitos , pero algunos casos especiales se conocen desde hace mucho más tiempo.

Un resultado clásico de Jordan es que los grupos simétricos y alternados (de grado k y k  + 2 respectivamente), y M ₁₂ y M ₁₁ son los únicos grupos de permutación claramente k -transitivos para k al menos 4.

Ejemplos importantes de grupos transitivos múltiples son los grupos 2-transitivos y los grupos de Zassenhaus . Los grupos de Zassenhaus incluyen en particular el grupo lineal general proyectivo de una línea proyectiva sobre un cuerpo finito, PGL(2, F _q ), que es marcadamente 3-transitivo (ver razón cruzada ) sobre los elementos.${\displaystyle q+1}$

Los grupos de Mathieu se pueden construir de varias maneras.

M ₁₂ tiene un subgrupo simple de orden 660, un subgrupo maximal. Ese subgrupo es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL ₂ ( F ₁₁ ) sobre el cuerpo de 11 elementos . Con −1 escrito como a e infinito como b , dos generadores estándar son (0123456789a) y (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Un tercer generador que da M ₁₂ envía un elemento x de F ₁₁ a 4 x ²  − 3 x ⁷ ; como una permutación que es (26a7)(3945).

Este grupo resulta no ser isomorfo a ningún miembro de las infinitas familias de grupos simples finitos y se llama esporádico. M ₁₁ es el estabilizador de un punto en M ₁₂ , y resulta ser también un grupo simple esporádico. M ₁₀ , el estabilizador de dos puntos, no es esporádico, sino que es un grupo casi simple cuyo subgrupo conmutador es el grupo alterno A ₆ . Por tanto, está relacionado con el automorfismo externo excepcional de A ₆ . El estabilizador de 3 puntos es el grupo unitario especial proyectivo PSU(3,2 ² ), que es resoluble. El estabilizador de 4 puntos es el grupo de cuaterniones .

De la misma manera, M ₂₄ tiene un subgrupo simple maximal de orden 6072 isomorfo a PSL ₂ ( F ₂₃ ). Un generador suma 1 a cada elemento del campo (dejando fijo el punto N en el infinito), es decir (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), y el otro es la permutación de orden inverso , (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Un tercer generador que da M ₂₄ envía un elemento x de F ₂₃ a 4 x ⁴  − 3 x ¹⁵ (que envía cuadrados perfectos a través de x ⁴ y cuadrados no perfectos a través de 7 x ⁴ ); el cálculo muestra que como permutación esto es (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Los estabilizadores de 1 y 2 puntos, M ₂₃ y M ₂₂ , también resultan ser grupos simples esporádicos. El estabilizador de 3 puntos es simple e isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL ₃ (4).

Estas construcciones fueron citadas por Carmichael (1956, pp. 151, 164, 263). Dixon y Mortimer (1996, p. 209) atribuyen las permutaciones a Mathieu.

Existe hasta equivalencia un único sistema Steiner S (5,8,24) W ₂₄ (el diseño de Witt ). El grupo M ₂₄ es el grupo de automorfismos de este sistema Steiner; es decir, el conjunto de permutaciones que asignan cada bloque a algún otro bloque. Los subgrupos M ₂₃ y M ₂₂ se definen como los estabilizadores de un único punto y de dos puntos respectivamente.

De manera similar, existe hasta equivalencia un único sistema Steiner S (5,6,12) W ₁₂ , y el grupo M ₁₂ es su grupo de automorfismos. El subgrupo M ₁₁ es el estabilizador de un punto.

W ₁₂ se puede construir a partir de la geometría afín en el espacio vectorial F ₃ × F ₃ , un sistema S (2,3,9).

Una construcción alternativa de W ₁₂ es el “Gatito” de Curtis (1984).

Una introducción a la construcción de W ₂₄ a través del generador Miracle Octad de RT Curtis y el análogo de Conway para W ₁₂ , el miniMOG, se puede encontrar en el libro de Conway y Sloane .

El grupo M ₂₄ es el grupo de automorfismos de permutación del código binario Golay extendido W , es decir, el grupo de permutaciones en las 24 coordenadas que mapean W a sí mismo. Todos los grupos de Mathieu pueden construirse como grupos de permutaciones en el código binario Golay.

M ₁₂ tiene índice 2 en su grupo de automorfismo, y M ₁₂ :2 resulta ser isomorfo a un subgrupo de M ₂₄ . M ₁₂ es el estabilizador de una dodecada , una palabra código de 12 1; M ₁₂ :2 estabiliza una partición en 2 dodecadas complementarias.

Existe una conexión natural entre los grupos de Mathieu y los grupos de Conway más grandes , porque la red Leech se construyó sobre el código binario de Golay y, de hecho, ambos se encuentran en espacios de dimensión 24. Los grupos de Conway, a su vez, se encuentran en el grupo Monster . Robert Griess se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en el Monster como la Familia Feliz y a los grupos de Mathieu como la primera generación .

Los grupos Mathieu se pueden construir a través de dibujos infantiles , siendo el dibujo asociado a M ₁₂ llamado sugestivamente "Monsieur Mathieu" por le Bruyn (2007).

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• ATLAS: Grupo Mathieu M10
• ATLAS: Grupo Mathieu M11
• ATLAS: Grupo Mathieu M12
• ATLAS: Grupo Mathieu M20
• ATLAS: Grupo Mathieu M21
• ATLAS: Grupo Mathieu M22
• ATLAS: Grupo Mathieu M23
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• Scientific American Un conjunto de rompecabezas basados ​​en las matemáticas de los grupos de Mathieu
• M12 esporádico Una aplicación para iPhone que implementa rompecabezas basados ​​en M ₁₂ , presentados como una permutación de "giro" y una permutación de "intercambio" seleccionable