Grupo unitario proyectivo

En matemáticas , el grupo unitario proyectivo PU( n ) es el cociente del grupo unitario U( n ) por la multiplicación por la derecha de su centro , U(1) , incluidos como escalares. De manera abstracta, es el grupo de isometría holomorfo del espacio proyectivo complejo , así como el grupo proyectivo ortogonal es el grupo de isometría del espacio proyectivo real .

En términos de matrices , los elementos de U( n ) son matrices unitarias complejas n × n , y los elementos del centro son matrices diagonales iguales a e ^{i θ} I , donde I es la matriz identidad. Por lo tanto, los elementos de PU( n ) corresponden a clases de equivalencia de matrices unitarias bajo multiplicación por una fase constante θ . Este espacio no es SU( n ) (que solo requiere que el determinante sea uno), porque SU( n ) todavía contiene elementos e ^{i θ} I donde e ^{i θ} es una raíz n -ésima de la unidad (ya que entonces det(e ^{i θ} I ) = e ^{i θn} = 1 ).

De manera abstracta, dado un espacio hermítico V , el grupo PU( V ) es la imagen del grupo unitario U( V ) en el grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( V ) .

El grupo unitario especial proyectivo PSU( n ) es igual al grupo unitario proyectivo, en contraste con el caso ortogonal.

Las conexiones entre U( n ), SU( n ), sus centros y los grupos unitarios proyectivos se muestran en la Figura de la derecha (observe que en la figura se denotan los números enteros en lugar de ).${\displaystyle \mathbf {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

El centro del grupo unitario especial son las matrices escalares de las raíces n -ésimas de la unidad:${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))=\mathrm {SU} (n)\cap \mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))\cong \mathbb {Z } /n}$

El mapa natural

${\displaystyle \mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))\to \mathrm {PU} (n)=\mathrm {U} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))}$

es un isomorfismo, por el segundo teorema de isomorfismo , por lo tanto

${\displaystyle \mathrm {PU} (n)=\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/(\mathbb {Z} /n).}$

y el grupo unitario especial SU( n ) es una cubierta n -fold del grupo unitario proyectivo.

En n = 1, U(1) es abeliano y, por lo tanto, es igual a su centro. Por lo tanto, PU(1) = U(1)/U(1) es un grupo trivial .

En n = 2, , siendo todos representables mediante cuaterniones de norma unitaria, y mediante:${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)}$${\displaystyle \mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle \mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbb {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbb {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)}$

También se pueden definir grupos unitarios sobre cuerpos finitos: dado un cuerpo de orden q , existe una estructura hermítica no degenerada sobre espacios vectoriales sobre congruencia única hasta unitaria, y correspondientemente un grupo matricial denotado o y asimismo grupos unitarios especiales y proyectivos. Para mayor comodidad, este artículo utiliza la convención.${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$

Recordemos que el grupo de unidades de un cuerpo finito es cíclico , por lo que el grupo de unidades de y por tanto el grupo de matrices escalares invertibles en es el grupo cíclico de orden El centro de tiene orden q + 1 y está formado por las matrices escalares que son unitarias, es decir, aquellas matrices con El centro del grupo unitario especial tiene orden mcd( n , q + 1) y está formado por aquellos escalares unitarios que también tienen orden que divide a n .${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}$${\displaystyle q^{2}-1.}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle cI_{V}}$${\displaystyle c^{q+1}=1.}$

El cociente del grupo unitario por su centro es el grupo unitario proyectivo , y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo En la mayoría de los casos ( n ≥ 2 y ), es un grupo perfecto y es un grupo simple finito , (Grove 2002, Teo. 11.22 y 11.26).${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}$ ${\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).}$${\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}$

La misma construcción se puede aplicar a matrices que actúan en un espacio de Hilbert de dimensión infinita .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Sea U( H ) el espacio de operadores unitarios en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Cuando f : X → U( H ) es una aplicación continua de un espacio compacto X en el grupo unitario, se puede utilizar una aproximación de dimensión finita de su imagen y un truco simple de la teoría K

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

para demostrar que es realmente homotópico al mapa trivial sobre un único punto. Esto significa que U( H ) es débilmente contráctil, y un argumento adicional demuestra que es realmente contráctil. Nótese que este es un fenómeno puramente de dimensión infinita, en contraste con los primos de dimensión finita U( n ) y su límite U(∞) bajo los mapas de inclusión que no son contráctiles admitiendo aplicaciones continuas homotópicamente no triviales sobre U(1) dadas por el determinante de matrices.

El centro del grupo unitario de dimensión infinita es, como en el caso de dimensión finita, U(1), que actúa a su vez sobre el grupo unitario mediante la multiplicación por una fase. Como el grupo unitario no contiene la matriz cero, esta acción es libre. Por lo tanto, es un espacio contráctil con una acción U(1), que lo identifica como EU(1) y el espacio de órbitas U(1) como BU(1) , el espacio clasificador para U(1).${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$se define precisamente como el espacio de órbitas de la acción U(1) sobre , por lo tanto es una realización del espacio clasificador BU(1). En particular, utilizando el isomorfismo${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

entre los grupos de homotopía de un espacio X y los grupos de homotopía de su espacio clasificador BX, combinados con el tipo de homotopía del círculo U(1)

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

Encontramos los grupos de homotopía de${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

identificándose así como representante del espacio de Eilenberg-MacLane .${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

En consecuencia, deben ser del mismo tipo de homotopía que el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que también representa . Esto significa en particular que tienen grupos de homología y cohomología isomorfos :${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

PU( n ) en general no tiene representaciones n -dimensionales, al igual que SO(3) no tiene representaciones bidimensionales.

PU( n ) tiene una acción adjunta sobre SU( n ), por lo que tiene una representación en -dimensional. Cuando n = 2 esto corresponde a la representación tridimensional de SO(3). La acción adjunta se define al pensar en un elemento de PU( n ) como una clase de equivalencia de elementos de U( n ) que difieren en fases. Uno puede entonces tomar la acción adjunta con respecto a cualquiera de estos representantes de U( n ), y las fases conmutan con todo y por lo tanto se cancelan. Por lo tanto, la acción es independiente de la elección del representante y, por lo tanto, está bien definida.${\displaystyle (n^{2}-1)}$

En muchas aplicaciones, PU( n ) no actúa en ninguna representación lineal, sino en una representación proyectiva , que es una representación hasta una fase que es independiente del vector sobre el que se actúa. Estas son útiles en mecánica cuántica, ya que los estados físicos solo se definen hasta la fase. Por ejemplo, los estados fermiónicos masivos se transforman bajo una representación proyectiva pero no bajo una representación del pequeño grupo PU(2) = SO(3).

Las representaciones proyectivas de un grupo se clasifican por su segunda cohomología integral , que en este caso es

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}$

o

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}$

Los grupos de cohomología en el caso finito pueden derivarse de la larga secuencia exacta de fibrados y del hecho anterior de que SU( n ) es una fibra sobre PU( n ). La cohomología en el caso infinito se argumentó anteriormente a partir del isomorfismo con la cohomología del espacio proyectivo complejo infinito.${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Así, PU( n ) disfruta de n representaciones proyectivas, de las cuales la primera es la representación fundamental de su cobertura SU( n ), mientras que tiene un número infinito numerable. Como es habitual, las representaciones proyectivas de un grupo son representaciones ordinarias de una extensión central del grupo. En este caso, el grupo extendido central correspondiente a la primera representación proyectiva de cada grupo unitario proyectivo es justamente el grupo unitario original del que tomamos el cociente por U(1) en la definición de PU.${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

La acción adjunta del grupo unitario proyectivo infinito es útil en las definiciones geométricas de la teoría K torcida . Aquí se utiliza la acción adjunta de la dimensión infinita sobre los operadores de Fredholm o el grupo unitario infinito.${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

En las construcciones geométricas de la teoría K torcida con torsión H , la es la fibra de un fibrado, y diferentes torsiones H corresponden a diferentes fibraciones. Como se ve a continuación, topológicamente representa el espacio de Eilenberg-Maclane , por lo tanto, el espacio de clasificación de fibrados es el espacio de Eilenberg-Maclane . es también el espacio de clasificación para el tercer grupo de cohomología integral , por lo tanto, los fibrados se clasifican por la tercera cohomología integral. Como resultado, las posibles torsiones H de una teoría K torcida son precisamente los elementos de la tercera cohomología integral.${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

En la teoría de calibración pura SU( n ) de Yang–Mills , que es una teoría de calibración con solo gluones y sin materia fundamental, todos los campos se transforman en el adjunto del grupo de calibración SU( n ). El centro de SU( n ) conmuta, al estar en el centro, con campos con valores SU( n ) y, por lo tanto, la acción adjunta del centro es trivial. Por lo tanto, la simetría de calibración es el cociente de SU( n ) por , que es PU( n ) y actúa sobre los campos utilizando la acción adjunta descrita anteriormente.${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

En este contexto, la distinción entre SU( n ) y PU( n ) tiene una consecuencia física importante. SU( n ) está simplemente conexa, pero el grupo fundamental de PU( n ) es , el grupo cíclico de orden n . Por lo tanto, una teoría de calibración PU( n ) con escalares adjuntos tendrá vórtices de codimensión 2 no triviales en los que los valores esperados de los escalares se enrollan alrededor del ciclo no trivial de PU( n ) a medida que uno rodea el vórtice. Estos vórtices, por lo tanto, también tienen cargas en , lo que implica que se atraen entre sí y cuando n entran en contacto se aniquilan. Un ejemplo de un vórtice de este tipo es la cuerda de Douglas-Shenker en las teorías de calibración SU( n ) de Seiberg-Witten .${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

• Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Graduate Studies in Mathematics , vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, Sr.  1859189

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