Grupo Janko J1

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal E( n ) euclidiana SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico G2​ F4​ E6​ E7​ E8​ Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Bucle Grupo de Lie de dimensión infinita O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
en a mi

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J ₁ es un grupo simple esporádico de orden

   2 ³  · 3  · 5  · 7  · 11  · 19 = 175560

≈ 2 × 10⁵ .

J ₁ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descrito originalmente por Zvonimir Janko en 1965. Es el único grupo de Janko cuya existencia fue probada por el propio Janko y fue el primer grupo esporádico que se encontró desde el descubrimiento de los grupos de Mathieu en el siglo XIX. Su descubrimiento lanzó la teoría moderna de los grupos esporádicos .

En 1986, Robert A. Wilson demostró que J ₁ no puede ser un subgrupo del grupo monstruo . ^[1] Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .

La representación compleja fiel más pequeña de J ₁ tiene dimensión 56. ^[2] J ₁ puede caracterizarse abstractamente como el único grupo simple con subgrupos abelianos 2-Sylow y con una involución cuyo centralizador es isomorfo al producto directo del grupo de orden dos y el grupo alternante A ₅ de orden 60, es decir, el grupo icosaédrico rotacional . Esa era la concepción original de Janko del grupo. De hecho, Janko y Thompson estaban investigando grupos similares a los grupos de Ree ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ), y demostraron que si un grupo simple G tiene 2-subgrupos abelianos de Sylow y un centralizador de una involución de la forma Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) para q una potencia prima de al menos 3, entonces o q es una potencia de 3 y G tiene el mismo orden que un grupo de Ree (más tarde se demostró que G debe ser un grupo de Ree en este caso) o q es 4 o 5. Nótese que PSL ₂ ( 4 )= PSL ₂ ( 5 )= A ₅ . Este último caso excepcional condujo al grupo de Janko J ₁ .

J ₁ no tiene automorfismos externos y su multiplicador de Schur es trivial.

J ₁ está contenido en el grupo O'Nan como el subgrupo de elementos fijados por un automorfismo externo de orden 2.

Janko encontró una representación modular en términos de matrices ortogonales de 7 × 7 en el campo de once elementos , con generadores dados por

${\displaystyle {\mathbf {Y} }=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&0\end{matrix}}\right)}$

y

${\displaystyle {\mathbf {Z} }=\left({\begin{matrix}-3&+2&-1&-1&-3&-1&-3\\-2&+1&+1&+3&+1&+3&+3\\-1&-1&-3&-1&-3&-3&+2\\-1&-3&-1&-3&-3&+2&-1\\-3&-1&-3&-3&+2&-1&-1\\+1&+3&+3&-2&+1&+1&+3\\+3&+3&-2&+1&+1&+3&+1\end{matrix}}\right).}$

Y tiene orden 7 y Z tiene orden 5. Janko (1966) atribuyó a WA Coppel el reconocimiento de esta representación como una incrustación en el grupo simple de Dickson G ₂ (11) (que tiene una representación de 7 dimensiones sobre el campo con 11 elementos).

J ₁ es el grupo de automorfismos del grafo de Livingstone , un grafo transitivo de distancia con 266 vértices y 1463 aristas. El estabilizador de un vértice es PSL ₂ (11), y el estabilizador de una arista es 2×A ₅ .

Esta representación de permutación se puede construir implícitamente comenzando con el subgrupo PSL ₂ (11) y adjuntando 11 involuciones t ⁰ ,..., t ^X . PSL ₂ (11) permuta estas involuciones bajo la representación excepcional de 11 puntos, por lo que se pueden identificar con puntos en el biplano de Payley . Las siguientes relaciones (combinadas) son suficientes para definir J ₁ : ^[3]

• Dados los puntos i y j , hay 2 líneas que contienen tanto a i como a j , y 3 puntos no se encuentran en ninguna de estas líneas: el producto t ⁱ t ^j t ⁱ t ^j t ⁱ es la única involución en PSL ₂ (11) que fija esos 3 puntos.
• Dados los puntos i , j y k que no están en una línea común, el producto t ⁱ t ^j t ^k t i ^t j ^es el único elemento de orden 6 en la LSP ₂ (11) que envía i a j , j a k , k de vuelta a i , por lo que (t ⁱ t ^j t ^k t ⁱ t ^j ) ³ es la única involución que fija estos 3 puntos.

También hay un par de generadores a, b tales que

a ² =b ³ =(ab) ⁷ =(abab ⁻¹ ) ¹⁰ =1

J ₁ es, pues, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo de triángulos (2,3,7) .

Janko (1966) encontró las 7 clases de conjugación de subgrupos maximales de J ₁ que se muestran en la tabla. Los subgrupos simples maximales de orden 660 proporcionan a J ₁ una representación de permutación de grado 266. Encontró que hay 2 clases de conjugación de subgrupos isomorfos al grupo alternante A ₅ , ambos encontrados en los subgrupos simples de orden 660. J ₁ tiene subgrupos propios simples no abelianos de solo 2 tipos de isomorfismo.

La notación A . B significa un grupo con un subgrupo normal A con cociente B , y D _{2 n} es el grupo diedro de orden 2 n .

El mayor orden de cualquier elemento del grupo es 19. Los órdenes y tamaños de la clase de conjugación se encuentran en el ATLAS.

• Chevalley, Claude (1995) [1967], "Le groupe de Janko", Séminaire Bourbaki, vol. 10, París: Société Mathématique de France , págs. 293–307, MR  1610425
• Robert A. Wilson (1986). ¿Es J1 un subgrupo del monstruo?, Bull. London Math. Soc. 18, no. 4 (1986), 349-350
• RT Curtis, (1993) Representaciones simétricas II: El grupo Janko J1 , J. London Math. Soc., 47 (2), 294-308.
• RT Curtis, (1996) Representación simétrica de elementos del grupo Janko J1 , J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
• Christoph, Jansen (2005). "Los grados mínimos de representaciones fieles de los grupos esporádicos simples y sus grupos de cobertura". LMS Journal of Computation and Mathematics . 8 : 123. doi : 10.1112/S1461157000000930 .
• Zvonimir Janko, Un nuevo grupo finito simple con subgrupos abelianos de Sylow, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
• Zvonimir Janko, Un nuevo grupo finito simple con subgrupos abelianos de Sylow y su caracterización , Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi :10.1016/0021-8693(66)90010-X
• Zvonimir Janko y John G. Thompson, Sobre una clase de grupos finitos simples de Ree , Journal of Algebra, 4 (1966), 274-292.

• MathWorld: Grupos de Janko
• Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J1 2
• Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J1 3