Grupo Mathieu M24

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Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M ₂₄ es un grupo simple esporádico de orden

   2 ¹⁰  · 3 ³  · 5  · 7  · 11  · 23 = 244823040

≈ 2 × 10⁸ .

M ₂₄ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu  (1861, 1873). Es un grupo de permutación transitiva de 5 elementos sobre 24 objetos. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son triviales .

Los grupos de Mathieu se pueden construir de varias maneras. Inicialmente, Mathieu y otros los construyeron como grupos de permutación . Era difícil ver que M ₂₄ realmente existía, que sus generadores no solo generaban el grupo alterno A ₂₄ . El asunto se aclaró cuando Ernst Witt construyó M ₂₄ como el grupo de automorfismo (simetría) de un sistema Steiner S(5,8,24) W ₂₄ (el diseño de Witt ). M ₂₄ es el grupo de permutaciones que asigna cada bloque en este diseño a algún otro bloque. Los subgrupos M ₂₃ y M ₂₂ se definen entonces fácilmente como los estabilizadores de un solo punto y un par de puntos respectivamente.

M ₂₄ es el subgrupo de S ₂₄ que se genera mediante las tres permutaciones: ^[1]

• ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)}$
• ${\displaystyle (3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)}$y
• ${\displaystyle (1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)}$.

M ₂₄ también se puede generar mediante dos permutaciones: ^[2]

• ${\displaystyle (1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)}$y
• ${\displaystyle (1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17).}$

M ₂₄ se puede construir a partir de PSL(3,4), el grupo lineal especial proyectivo del espacio tridimensional sobre el cuerpo finito con 4 elementos (Dixon & Mortimer 1996, pp. 192-205). Este grupo, a veces llamado M ₂₁ , actúa sobre el plano proyectivo sobre el cuerpo F ₄ , un sistema S(2,5,21) llamado W ₂₁ . Sus 21 bloques se llaman líneas . Dos líneas cualesquiera se intersecan en un punto.

M ₂₁ tiene 168 subgrupos simples de orden 360 y 360 subgrupos simples de orden 168. En el grupo lineal general proyectivo más grande PGL(3,4) ambos conjuntos de subgrupos forman clases de conjugación únicas, pero en M ₂₁ ambos conjuntos se dividen en 3 clases de conjugación. Los subgrupos tienen respectivamente órbitas de 6, llamadas hiperóvalas , y órbitas de 7, llamadas subplanos de Fano . Estos conjuntos permiten la creación de nuevos bloques para sistemas Steiner más grandes. M ₂₁ es normal en PGL(3,4), de índice 3. PGL(3,4) tiene un automorfismo externo inducido por la transposición de elementos conjugados en F ₄ (el automorfismo de cuerpo). Por lo tanto, PGL(3,4) puede extenderse al grupo PΓL(3,4) de transformaciones semilineales proyectivas , que es una extensión dividida de M ₂₁ por el grupo simétrico S ₃ . PΓL(3,4) tiene una incrustación como subgrupo maximal de M ₂₄ .(Griess 1998, p. 55)

Un hiperóvalo no tiene 3 puntos colineales. Un subplano de Fano también satisface condiciones de unicidad adecuadas.

A W ₂₁ se le añaden 3 puntos nuevos y se deja que los automorfismos en PΓL(3,4) pero no en M ₂₁ permuten estos nuevos puntos. Se forma un sistema S(3,6,22) W ₂₂ añadiendo sólo un punto nuevo a cada una de las 21 líneas y los nuevos bloques son 56 hiperóvalos conjugados bajo M ₂₁ .

Un sistema S(5,8,24) tendría 759 bloques u óctadas . Agregue los 3 puntos nuevos a cada línea de W ₂₁ , un punto nuevo diferente a los subplanos de Fano en cada uno de los conjuntos de 120 y agregue pares apropiados de puntos nuevos a todos los hiperóvalos. Eso representa todos menos 210 de las óctadas. Las óctadas restantes son subconjuntos de W ₂₁ y son diferencias simétricas de pares de líneas. Hay muchas formas posibles de expandir el grupo PΓL(3,4) a M ₂₄ .

El grupo M ₂₄ es también el grupo de automorfismos de permutación del código binario Golay W , es decir, el grupo de permutaciones de coordenadas que mapean W a sí mismo. Las palabras de código corresponden de manera natural a subconjuntos de un conjunto de 24 objetos. (En teoría de codificación, el término "código binario Golay" a menudo se refiere a un código de longitud 23 relacionado más corto, y el código de longitud 24 utilizado aquí se denomina "código binario Golay extendido"). Aquellos subconjuntos correspondientes a palabras de código con 8 o 12 coordenadas iguales a 1 se denominan octadas o dodecadas respectivamente. Las octadas son los bloques de un sistema de Steiner S(5,8,24) y el código binario Golay es el espacio vectorial sobre el campo F ₂ abarcado por las octadas del sistema de Steiner.

Los subgrupos simples M ₂₃ , M ₂₂ , M ₁₂ y M ₁₁ pueden definirse como subgrupos de M ₂₄ , estabilizadores respectivamente de una sola coordenada, un par ordenado de coordenadas, una dodecada y una dodecada junto con una sola coordenada.

Existe una conexión natural entre los grupos de Mathieu y los grupos de Conway más grandes , porque el código binario de Golay y la red Leech se encuentran en espacios de dimensión 24. Los grupos de Conway, a su vez, se encuentran en el grupo Monster . Robert Griess se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en el Monster como la Familia Feliz y a los grupos de Mathieu como la primera generación .

M ₂₄ se puede construir a partir de las simetrías del cuártico de Klein (las simetrías de una teselación de la superficie de género tres), que es PSL(2,7), que se puede aumentar con una permutación adicional. Esta permutación se puede describir comenzando con el teselado del cuártico de Klein por 56 triángulos (con 24 vértices – los 24 puntos sobre los que actúa el grupo), luego formando cuadrados a partir de algunos de los 2 triángulos, y octógonos a partir de 6 triángulos, con la permutación agregada siendo "intercambiar los dos puntos finales de aquellas aristas del teselado triangular original que bisecan los cuadrados y octógonos". ^[2] Esto se puede visualizar coloreando los triángulos: el mosaico correspondiente es topológicamente, pero no geométricamente, el mosaico t _0,1 {4, 3, 3} , y puede estar (poliédricamente) inmerso en el espacio euclidiano de 3 elementos como el pequeño cuboctaedro cúbico (que también tiene 24 vértices). ^[2]

La teoría de la luz lunar umbral es una relación en parte conjetural entre las superficies K3 y M ₂₄ .

El grupo de Conway Co1 , el grupo de Fischer Fi24 y el grupo de Janko J4 tienen cada uno subgrupos máximos que son una extensión del grupo de Mathieu M ₂₄ por un grupo 2 ¹¹ . (Estas extensiones no son todas iguales.) ^{[ cita requerida ]}

Frobenius (1904) calculó la tabla de caracteres complejos de M ₂₄ .

El grupo de Mathieu M ₂₄ tiene una representación de permutación transitiva quíntuple en 24 puntos. La representación lineal correspondiente sobre los números complejos es la suma de la representación trivial y una representación irreducible de 23 dimensiones. ^{[ cita requerida ]}

M ₂₄ tiene dos representaciones de permutación de rango 3 : una en los pares de puntos (o dúos) 276 = 1+44+231 con estabilizador M ₂₂ .2, y otra en los dúos 1288 = 1+495+792, con estabilizador M ₁₂ .2. ^{[ cita requerida ]}

El cociente de la representación lineal de 24 dimensiones de la representación de permutación por su subespacio fijo unidimensional da una representación de 23 dimensiones, que es irreducible sobre cualquier campo de característica distinta de 2 o 3, y da la representación fiel más pequeña sobre tales campos. ^{[ cita requerida ]}

Reduciendo la representación de 24 dimensiones mod 2 se obtiene una acción en F²⁴
₂. Esto tiene subespacios invariantes de dimensión 1, 12 (el código de Golay) y 23. Los subcocientes dan dos representaciones irreducibles de dimensión 11 sobre el cuerpo con 2 elementos. ^{[ cita requerida ]}

Choi (1972b) encontró las 9 clases de conjugación de los subgrupos maximales de M ₂₄ . Curtis (1977) dio una breve prueba del resultado, describiendo las 9 clases en términos de datos combinatorios sobre los 24 puntos: los subgrupos fijan un punto, una duada, una octada, un duum, un sexteto, una tríada, un trío, una línea proyectiva o una octerna, como se describe a continuación. Todd (1966) dio las tablas de caracteres de M ₂₄ (originalmente calculadas por Frobenius (1904)) y los 8 subgrupos maximales que se conocían en ese momento.

M ₂₄ contiene subgrupos simples no abelianos de 13 tipos de isomorfismo: cinco clases de A ₅ , cuatro clases de PSL(3,2), dos clases de A ₆ , dos clases de PSL(2,11), una clase de cada uno de A ₇ , PSL(2,23), M ₁₁ , PSL(3,4), A ₈ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ y M ₂₄ . ^{[ cita requerida ]} A ₆ también se indica a continuación como un subcociente en el subgrupo sexteto.

El grupo de Mathieu actúa sobre los 2048 = 1+759+1288 puntos del código de Golay módulo el espacio fijo con 3 órbitas, y sobre los 4096 = 1+24+276+2024+1771 puntos del cocode con 5 órbitas, y los subgrupos que fijan un punto no trivial del código o cocode dan 6 de las 9 clases de subgrupos maximales.

Las 9 clases de subgrupos máximos son las siguientes:

El subgrupo que fija un punto es M ₂₃ , orden 10200960.

Una díada es un par de puntos. El subgrupo que fija una díada es M ₂₂ :2, orden 887040, con órbitas de 2 y 22.

El subgrupo que fija una de las 759 (= 3·11·23) octadas del código de Golay o sistema de Steiner es el grupo de octadas 2 ⁴ :A ₈ , de orden 322560, con órbitas de tamaño 8 y 16. El grupo lineal GL(4,2) tiene un isomorfismo excepcional con el grupo alternante A ₈ . El estabilizador puntual O de una octada es un grupo abeliano de orden 16, exponente 2, cada una de cuyas involuciones mueve los 16 puntos fuera de la octada. El estabilizador de la octada es una extensión dividida de O por A ₈ . (Thompson 1983, pp. 197–208)

Un duum es un par de dodecadas complementarias (conjuntos de 12 puntos) en el código de Golay. El subgrupo que fija una díada es M ₁₂ :2, orden 190080, transitivo e imprimitivo. Este subgrupo fue descubierto por Frobenius. El subgrupo M ₁₂ actúa de manera diferente en 2 conjuntos de 12, lo que refleja el automorfismo externo de M ₁₂ .

2 ⁶ :(3.S ₆ ), orden 138240: grupo sexteto

Consideremos una tétrada , un conjunto cualquiera de 4 puntos en el sistema de Steiner W ₂₄ . Una óctada se determina mediante la elección de un quinto punto de los 20 restantes. Hay 5 óctadas posibles. Por lo tanto, cualquier tétrada determina una partición en 6 tétradas, denominada sextete , cuyo estabilizador en M ₂₄ se denomina grupo de sextetos .

El número total de tétradas es 24*23*22*21/4! = 23*22*21. Dividiendo eso por 6 da el número de sextetos, 23*11*7 = 1771. Además, un grupo de sextetos es un subgrupo de un producto de corona de orden 6!*(4!) ⁶ , cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5. ^{[ cita requerida ]} Ahora conocemos los divisores primos de |M ₂₄ |. Un análisis más profundo determinaría el orden del grupo de sextetos y, por lo tanto, |M ₂₄ |.

Es conveniente organizar los 24 puntos en una matriz de 6x4:

Además, es conveniente utilizar los elementos del campo F ₄ para numerar las filas: 0, 1, u, u ² .

El grupo sexteto tiene un subgrupo abeliano normal H de orden 64, isomorfo al hexacodigo , un espacio vectorial de longitud 6 y dimensión 3 sobre F ₄ . Un elemento distinto de cero en H realiza transposiciones dobles dentro de 4 o 6 de las columnas. Su acción puede considerarse como una suma de coordenadas vectoriales a números de fila.

El grupo sexteto es una extensión dividida de H por un grupo 3.S ₆ (una extensión del tallo ). ^{[ cita requerida ]} Aquí hay un ejemplo dentro de los grupos de Mathieu donde un grupo simple (A ₆ ) es un subcociente , no un subgrupo. 3.S ₆ es el normalizador en M ₂₄ del subgrupo generado por r = (BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX), que puede considerarse como una multiplicación de números de fila por u ² . El subgrupo 3.A ₆ es el centralizador de ⟨r⟩ . Los generadores de 3.A ₆ son:

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (rotando las primeras 3 columnas)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(UE)(FX)(GV)(HW)

(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (producto de los dos anteriores)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (rotando las últimas 3 columnas).

Una permutación impar de columnas, digamos (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), genera entonces 3.S ₆ .

El grupo 3.A ₆ es isomorfo a un subgrupo de SL(3,4) cuya imagen en PSL(3,4) ha sido señalada ^{[¿ por quién? ]} anteriormente como el grupo hiperoval.

El subprograma Moggie tiene una función que muestra los sextetos en color.

Una tríada es un conjunto de 3 puntos. El subgrupo que fija una tríada es PSL(3,4):S ₃ , orden 120960, con órbitas de tamaño 3 y 21.

Un trío es un conjunto de 3 octadas disjuntas del código de Golay. El subgrupo que fija un trío es el grupo de tríos 2 ⁶ :(PSL(2,7) x S ₃ ), orden 64512, transitivo e imprimitivo.

El subgrupo que fija una estructura lineal proyectiva en los 24 puntos es PSL(2,23), orden 6072, cuya acción es doblemente transitiva. Este subgrupo fue observado por Mathieu.

Un octern es una partición determinada de los 24 puntos en 8 bloques de 3. El subgrupo que fija un octern es el grupo octern isomorfo a PSL(2,7), de orden 168, simple, transitivo e imprimitivo. Fue el último subgrupo maximal de M ₂₄ que se encontró.

Hay 26 clases de conjugación. Las formas de los ciclos están todas equilibradas en el sentido de que permanecen invariables ante cambios de ciclos de longitud k a ciclos de longitud N / k para algún entero N dependiendo ^{[ ¿cómo? ]} de la clase de conjugación.

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• MathWorld: Grupos de Mathieu
• Atlas de representaciones de grupos finitos: M24
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