Grupo Mathieu M23

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Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M ₂₃ es un grupo simple esporádico de orden

   2 ⁷  · 3 ²  · 5  · 7  · 11  · 23 = 10200960

≈ 1 × 10 ⁷ .

M ₂₃ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu (1861, 1873). Es un grupo de permutación  transitiva cuádruple sobre 23 objetos. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son triviales .

Milgram (2000) calculó la cohomología integral y demostró en particular que M ₂₃ tiene la propiedad inusual de que los primeros 4 grupos de homología integral se desvanecen.

El problema inverso de Galois parece no estar resuelto para M ₂₃ . En otras palabras, no parece que se conozca ningún polinomio en Z[ x ] que tenga M ₂₃ como su grupo de Galois . El problema inverso de Galois está resuelto para todos los demás grupos simples esporádicos.

Sea F _{2 ¹¹} el cuerpo finito de 2 ¹¹ elementos. Su grupo de unidades tiene orden 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89, por lo que tiene un subgrupo cíclico C de orden 23.

El grupo de Mathieu M ₂₃ puede identificarse con el grupo de automorfismos lineales F ₂ de F _{2 ¹¹} que estabilizan C . Más precisamente, la acción de este grupo de automorfismos sobre C puede identificarse con la acción transitiva cuádruple de M ₂₃ sobre 23 objetos.

M ₂₃ es el estabilizador puntual de la acción del grupo de Mathieu M24 en 24 puntos, lo que le da una representación de permutación 4-transitiva en 23 puntos con estabilizador puntual el grupo de Mathieu M22 .

M _{23 tiene 2} acciones diferentes de rango 3 sobre 253 puntos. Una es la acción sobre pares desordenados con tamaños de órbita 1+42+210 y estabilizador de punto M ₂₁ .2, y la otra es la acción sobre heptadas con tamaños de órbita 1+112+140 y estabilizador de punto 2 ⁴ .A ₇ .

La representación integral correspondiente a la acción de permutación sobre 23 puntos se descompone en la representación trivial y en una representación de 22 dimensiones. La representación de 22 dimensiones es irreducible sobre cualquier cuerpo de característica distinta de 2 o 23.

Sobre el campo de orden 2, tiene dos representaciones de 11 dimensiones, las restricciones de las representaciones correspondientes del grupo de Mathieu M24 .

Hay 7 clases de conjugación de subgrupos máximos de M ₂₃ como sigue:

• M ₂₂ , orden 443520
• PSL(3,4):2, orden 40320, órbitas de 21 y 2
• 2 ⁴ :A ₇ , orden 40320, órbitas de 7 y 16

Estabilizador del bloque W ₂₃

• A ₈ , orden 20160, órbitas de 8 y 15
• M ₁₁ , orden 7920, órbitas de 11 y 12
• (2 ⁴ :A ₅ ):S ₃ o M ₂₀ :S ₃ , orden 5760, órbitas de 3 y 20 (5 bloques de 4)

Estabilizador de un punto del grupo sexteto

• 23:11, orden 253, simplemente transitivo

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• MathWorld: Grupos de Mathieu
• Atlas de representaciones de grupos finitos: M23