Fuerza de Lorentz

En física , específicamente en electromagnetismo , la ley de fuerza de Lorentz es la combinación de fuerza eléctrica y magnética sobre una carga puntual debido a campos electromagnéticos . La fuerza de Lorentz , por otro lado, es un efecto físico que ocurre en la proximidad de conductores eléctricamente neutros que transportan corriente, haciendo que las cargas eléctricas en movimiento experimenten una fuerza magnética .

La ley de fuerza de Lorentz establece que una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo eléctrico E y un campo magnético B experimenta una fuerza (en unidades del SI ^{[1] [2]} ) de Dice que la fuerza electromagnética sobre una carga q es una combinación de (1) una fuerza en la dirección del campo eléctrico E (proporcional a la magnitud del campo y la cantidad de carga), y (2) una fuerza en ángulo recto tanto al campo magnético B como a la velocidad v de la carga (proporcional a la magnitud del campo, la carga y la velocidad).$${\displaystyle \mathbf {F} = q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Las variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética sobre un cable que transporta corriente (a veces llamada fuerza de Laplace), la fuerza electromotriz en un bucle de cable que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday ) y la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento. ^[3]

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell , publicado en 1865. ^[4] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, ^[5] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética. ^[6]

En muchos tratamientos de libros de texto sobre electromagnetismo clásico, la ley de fuerza de Lorentz se utiliza como definición de los campos eléctricos y magnéticos E y B. ^{[7] [8] [9]} Para ser más específicos , se entiende que la fuerza de Lorentz es la siguiente declaración empírica:

La fuerza electromagnética F sobre una carga de prueba en un punto y tiempo determinados es una función determinada de su carga q y velocidad v , que puede parametrizarse exactamente mediante dos vectores E y B , en la forma funcional :$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Esto es válido incluso para partículas que se aproximan a la velocidad de la luz (es decir, magnitud de v , | v | ≈ c ). ^[10] Por lo tanto, los dos campos vectoriales E y B quedan definidos en todo el espacio y el tiempo, y se denominan "campo eléctrico" y "campo magnético". Los campos se definen en todas partes en el espacio y el tiempo con respecto a qué fuerza recibiría una carga de prueba independientemente de si hay una carga presente para experimentar la fuerza.

Como definición de E y B , la fuerza de Lorentz es solo una definición en principio porque una partícula real (a diferencia de la "carga de prueba" hipotética de masa y carga infinitesimalmente pequeñas) generaría sus propios campos E y B finitos , lo que alteraría la fuerza electromagnética que experimenta. ^[11] Además, si la carga experimenta aceleración, como si se la obligara a seguir una trayectoria curva, emite radiación que hace que pierda energía cinética. Véase, por ejemplo, la radiación de frenado y la luz de sincrotrón . Estos efectos se producen tanto a través de un efecto directo (llamado fuerza de reacción de radiación ) como indirectamente (al afectar el movimiento de cargas y corrientes cercanas).

La ley de Coulomb sólo es válida para cargas puntuales en reposo. De hecho, la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales no sólo depende de la distancia, sino también de la velocidad relativa . Para velocidades relativas pequeñas y aceleraciones muy pequeñas, en lugar de la fuerza de Coulomb, se puede aplicar la fuerza de Weber . La suma de las fuerzas de Weber de todos los portadores de carga en un bucle de corriente continua cerrado sobre una única carga de prueba produce, independientemente de la forma del bucle de corriente, la fuerza de Lorentz.

La interpretación del magnetismo mediante una ley de Coulomb modificada fue propuesta por primera vez por Carl Friedrich Gauss . En 1835, Gauss supuso que cada segmento de un bucle de corriente continua contiene un número igual de cargas puntuales negativas y positivas que se mueven a diferentes velocidades. ^[12] Si la ley de Coulomb fuera completamente correcta, no debería actuar ninguna fuerza entre dos segmentos cortos de dichos bucles de corriente. Sin embargo, alrededor de 1825, André-Marie Ampère demostró experimentalmente que este no es el caso. Ampère también formuló una ley de fuerza . Basándose en esta ley, Gauss concluyó que la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales depende no solo de la distancia sino también de la velocidad relativa.

La fuerza de Weber es una fuerza central y cumple con la tercera ley de Newton . Esto demuestra no solo la conservación del momento , sino también que se aplican la conservación de la energía y la conservación del momento angular . La electrodinámica de Weber es solo una aproximación cuasiestática , es decir, no debería usarse para velocidades y aceleraciones más altas. Sin embargo, la fuerza de Weber ilustra que la fuerza de Lorentz se puede rastrear hasta las fuerzas centrales entre numerosos portadores de carga puntuales.

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por ( definición SI de magnitudes ^[1] ): ^[13]

donde × es el producto vectorial (todas las cantidades en negrita son vectores). En términos de componentes cartesianos, tenemos:$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

En general, los campos eléctrico y magnético son funciones de la posición y el tiempo. Por lo tanto, explícitamente, la fuerza de Lorentz se puede escribir como: donde r es el vector de posición de la partícula cargada, t es el tiempo y el punto es una derivada del tiempo.$${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

Una partícula cargada positivamente se acelerará en la misma orientación lineal que el campo E , pero se curvará perpendicularmente tanto al vector de velocidad instantánea v como al campo B de acuerdo con la regla de la mano derecha (en detalle, si los dedos de la mano derecha se extienden para apuntar en la dirección de v y luego se curvan para apuntar en la dirección de B , entonces el pulgar extendido apuntará en la dirección de F ).

El término q E se denomina fuerza eléctrica , mientras que el término q ( v × B ) se denomina fuerza magnética . ^[14] Según algunas definiciones, el término "fuerza de Lorentz" se refiere específicamente a la fórmula para la fuerza magnética, ^[15] y a la fuerza electromagnética total (incluida la fuerza eléctrica) se le da otro nombre (no estándar). Este artículo no seguirá esta nomenclatura: en lo que sigue, el término "fuerza de Lorentz" se referirá a la expresión para la fuerza total.

El componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz se manifiesta como la fuerza que actúa sobre un cable que transporta corriente en un campo magnético. En ese contexto, también se denomina fuerza de Laplace.

La fuerza de Lorentz es una fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre la partícula cargada, es decir, es la velocidad a la que se transfiere el momento lineal del campo electromagnético a la partícula. Asociada a ella está la potencia, que es la velocidad a la que se transfiere energía del campo electromagnético a la partícula. Esa potencia es Nótese que el campo magnético no contribuye a la potencia porque la fuerza magnética siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula.$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$

Para una distribución de carga continua en movimiento, la ecuación de fuerza de Lorentz se convierte en: donde es la fuerza sobre una pequeña parte de la distribución de carga con carga . Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen de esta pequeña parte de la distribución de carga , el resultado es: donde es la densidad de fuerza (fuerza por unidad de volumen) y es la densidad de carga (carga por unidad de volumen). A continuación, la densidad de corriente correspondiente al movimiento del continuo de carga es por lo que el análogo continuo de la ecuación es ^[16]$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathrm {d} q}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$$${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

La fuerza total es la integral del volumen sobre la distribución de carga:$${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

Al eliminar y , utilizando las ecuaciones de Maxwell y manipulando utilizando los teoremas del cálculo vectorial , esta forma de la ecuación se puede utilizar para derivar el tensor de tensión de Maxwell , que a su vez se puede combinar con el vector de Poynting para obtener el tensor de tensión-energía electromagnética T utilizado en la relatividad general . ^[16]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

En términos de y , otra forma de escribir la fuerza de Lorentz (por unidad de volumen) es ^[16] donde es la velocidad de la luz y ∇ · denota la divergencia de un campo tensorial . En lugar de la cantidad de carga y su velocidad en campos eléctricos y magnéticos, esta ecuación relaciona el flujo de energía (flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de distancia) en los campos con la fuerza ejercida sobre una distribución de carga. Consulte la formulación covariante del electromagnetismo clásico para obtener más detalles.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$$${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$${\displaystyle c}$

La densidad de potencia asociada con la fuerza de Lorentz en un medio material es$${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

Si separamos la carga total y la corriente total en sus partes libres y ligadas, obtenemos que la densidad de la fuerza de Lorentz es$${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$

donde: es la densidad de carga libre; es la densidad de polarización ; es la densidad de corriente libre; y es la densidad de magnetización . De esta manera, la fuerza de Lorentz puede explicar el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de la potencia asociada es${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$$${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

Las fórmulas mencionadas anteriormente utilizan las convenciones para la definición del campo eléctrico y magnético utilizadas con el SI , que es el más común. Sin embargo, son posibles y se utilizan otras convenciones con la misma física (es decir, fuerzas sobre, por ejemplo, un electrón). En las convenciones utilizadas con las antiguas unidades CGS-Gaussianas , que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos, así como entre los experimentalistas de la materia condensada, se tiene en cambio donde c es la velocidad de la luz . Aunque esta ecuación parece ligeramente diferente, es equivalente, ya que se tienen las siguientes relaciones: ^[1] donde ε ₀ es la permitividad del vacío y μ ₀ la permeabilidad del vacío . En la práctica, se omiten los subíndices "G" y "SI", y la convención (y la unidad) utilizadas deben determinarse a partir del contexto.$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right),}$$$${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, ^[17] y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, ^[18] obedecían a una ley del cuadrado inverso . Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb , utilizando una balanza de torsión , pudo demostrar definitivamente a través de experimentos que esto era cierto. ^[19] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una aguja magnética es actuada por una corriente voltaica, André-Marie Ampère ese mismo año pudo idear a través de la experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos elementos de corriente. ^{[20] [21]} En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. ^[22]

El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday , particularmente su idea de líneas de fuerza , que luego serían descritas matemáticamente por Lord Kelvin y James Clerk Maxwell . ^[23] Desde una perspectiva moderna, es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas, ^[4] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo se relacionaban sus ecuaciones con las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en rayos catódicos , Thomson publicó un artículo en 1881 en el que dio la fuerza sobre las partículas debido a un campo magnético externo como ^{[6] [24]} Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula, pero, debido a algunos errores de cálculo y una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento , incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; también (en 1885 y 1889) había corregido los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética sobre un objeto cargado en movimiento. ^{[6] [25] [26]} Finalmente, en 1895, ^{[5] [27]} Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula para la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total de los campos eléctrico y magnético. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En su lugar, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter luminífero y trató de aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica. Utilizando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica lagrangiana (véase más adelante), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre. ^{[28] [29]}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

En muchos casos de interés práctico, el movimiento en un campo magnético de una partícula cargada eléctricamente (como un electrón o un ion en un plasma ) puede considerarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro guía y una deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies según sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que posiblemente dé como resultado corrientes eléctricas o separación química.

Mientras que las ecuaciones modernas de Maxwell describen cómo las partículas cargadas eléctricamente y las corrientes o las partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de fuerza de Lorentz completa ese cuadro al describir la fuerza que actúa sobre una carga puntual en movimiento q en presencia de campos electromagnéticos. ^{[13] [30]} La ley de fuerza de Lorentz describe el efecto de E y B sobre una carga puntual, pero dichas fuerzas electromagnéticas no son el cuadro completo. Las partículas cargadas posiblemente estén acopladas a otras fuerzas, en particular la gravedad y las fuerzas nucleares. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otro.

En los materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de partículas cargadas, tanto en principio como a modo de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no solo responden a los campos E y B , sino que también generan estos campos. Se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, véase magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , evolución estelar . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, las relaciones de Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Cuando un cable que lleva una corriente eléctrica se coloca en un campo magnético, cada una de las cargas móviles, que componen la corriente, experimenta la fuerza de Lorentz, y juntas pueden crear una fuerza macroscópica sobre el cable (a veces llamada fuerza de Laplace ). Al combinar la ley de fuerza de Lorentz anterior con la definición de corriente eléctrica, resulta la siguiente ecuación, en el caso de un cable recto estacionario en un campo homogéneo: ^[31] donde ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del cable, y cuya dirección está a lo largo del cable, alineada con la dirección de la corriente convencional I .$${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

Si el cable no es recto, la fuerza que actúa sobre él se puede calcular aplicando esta fórmula a cada segmento infinitesimal del cable y luego sumando todas estas fuerzas por integración . Esto da como resultado la misma expresión formal, pero ℓ ahora debe entenderse como el vector que conecta los puntos finales del cable curvo con la dirección del punto inicial al punto final de la corriente convencional. Por lo general, también habrá un par neto .${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

Si, además, el campo magnético no es homogéneo, la fuerza neta sobre un cable rígido estacionario que transporta una corriente constante I viene dada por la integración a lo largo del cable,$${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .}$$

Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère , que describe cómo dos cables que transportan corriente pueden atraerse o repelerse entre sí, ya que cada uno experimenta una fuerza de Lorentz del campo magnético del otro.

El componente de fuerza magnética ( q v × B ) de la fuerza de Lorentz es responsable de la fuerza electromotriz de movimiento (o FME de movimiento ), el fenómeno subyacente a muchos generadores eléctricos. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, el campo magnético ejerce fuerzas opuestas sobre los electrones y los núcleos del cable, y esto crea la FME. El término "FME de movimiento" se aplica a este fenómeno, ya que la FME se debe al movimiento del cable.

En otros generadores eléctricos, los imanes se mueven, mientras que los conductores no. En este caso, la FME se debe al término de fuerza eléctrica ( q E ) en la ecuación de fuerza de Lorentz. El campo eléctrico en cuestión es creado por el campo magnético cambiante, lo que resulta en una FME inducida , como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday (una de las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell ). ^[32]

Ambos campos electromagnéticos, a pesar de sus orígenes aparentemente distintos, se describen mediante la misma ecuación, es decir, el campo electromagnético es la tasa de cambio del flujo magnético a través del cable. (Esta es la ley de inducción de Faraday, véase más abajo). La teoría especial de la relatividad de Einstein estuvo motivada en parte por el deseo de comprender mejor este vínculo entre los dos efectos. ^[32] De hecho, los campos eléctrico y magnético son facetas diferentes del mismo campo electromagnético, y al pasar de un marco inercial a otro, la porción del campo vectorial solenoidal del campo E puede cambiar total o parcialmente a un campo B o viceversa . ^[33]

Dado un bucle de alambre en un campo magnético , la ley de inducción de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida (FEM) en el alambre es: donde es el flujo magnético a través del bucle, B es el campo magnético, Σ( t ) es una superficie delimitada por el contorno cerrado ∂Σ( t ) , en el tiempo t , d A es un elemento de área vectorial infinitesimal de Σ( t ) (la magnitud es el área de un parche infinitesimal de superficie, la dirección es ortogonal a ese parche de superficie).$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$$

El signo de la fuerza electromotriz se determina mediante la ley de Lenz . Tenga en cuenta que esto es válido no solo para un cable estacionario , sino también para un cable en movimiento .

A partir de la ley de inducción de Faraday (que es válida para un cable en movimiento, por ejemplo en un motor) y de las ecuaciones de Maxwell , se puede deducir la fuerza de Lorentz. Lo inverso también es cierto: la fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell se pueden utilizar para derivar la ley de Faraday .

Sea Σ( t ) el cable en movimiento, que se mueve conjuntamente sin rotación y con velocidad constante v y Σ( t ) la superficie interna del cable. La FME alrededor de la trayectoria cerrada ∂Σ( t ) viene dada por: ^[34] donde es el campo eléctrico y d ℓ es un elemento vectorial infinitesimal del contorno ∂Σ( t ) .$${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$$

NB: Tanto d ℓ como d A tienen una ambigüedad de signo; para obtener el signo correcto, se utiliza la regla de la mano derecha , como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes .

El resultado anterior se puede comparar con la versión de la ley de inducción de Faraday que aparece en las ecuaciones de Maxwell modernas, denominada aquí ecuación de Maxwell-Faraday :$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.}$$

La ecuación de Maxwell-Faraday también se puede escribir en forma integral utilizando el teorema de Kelvin-Stokes . ^[35]

Así que tenemos la ecuación de Maxwell Faraday: y la Ley de Faraday,$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}}$$$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$$

Los dos son equivalentes si el cable no se mueve. Si se utiliza la regla integral de Leibniz y div B = 0 , se obtiene, y si se utiliza la ecuación de Maxwell Faraday, dado que es válida para cualquier posición del cable, se deduce que,$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).}$$

La ley de inducción de Faraday se cumple independientemente de si el bucle de alambre está rígido y estacionario, en movimiento o en proceso de deformación, y se cumple independientemente de si el campo magnético es constante en el tiempo o cambiante. Sin embargo, hay casos en los que la ley de Faraday es inadecuada o difícil de usar, y es necesaria la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz subyacente. Véase inaplicabilidad de la ley de Faraday .

Si el campo magnético es fijo en el tiempo y el bucle conductor se mueve a través del campo, el flujo magnético Φ _B que une el bucle puede cambiar de varias maneras. Por ejemplo, si el campo B varía con la posición y el bucle se mueve a una ubicación con un campo B diferente , Φ _B cambiará. Alternativamente, si el bucle cambia de orientación con respecto al campo B , el elemento diferencial B ⋅ d A cambiará debido al ángulo diferente entre B y d A , cambiando también Φ _B . Como tercer ejemplo, si una parte del circuito se barre a través de un campo B uniforme e independiente del tiempo , y otra parte del circuito se mantiene estacionaria, el flujo que une todo el circuito cerrado puede cambiar debido al cambio en la posición relativa de las partes componentes del circuito con el tiempo (superficie ∂Σ( t ) dependiente del tiempo). En los tres casos, la ley de inducción de Faraday predice entonces la FME generada por el cambio en Φ _B .

Nótese que la ecuación de Maxwell Faraday implica que el campo eléctrico E no es conservativo cuando el campo magnético B varía en el tiempo, y no es expresable como el gradiente de un campo escalar , y no está sujeto al teorema del gradiente ya que su rizo no es cero. ^{[34] [36]}

Los campos E y B pueden reemplazarse por el potencial vectorial magnético A y el potencial electrostático ( escalar ) ϕ por donde ∇ es el gradiente, ∇⋅ es la divergencia y ∇× es el rizo . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

La fuerza se vuelve$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

Usando una identidad para el producto triple esto se puede reescribir como,$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$$

(Tenga en cuenta que las coordenadas y los componentes de velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa solo sobre , no sobre ; por lo tanto, no hay necesidad de utilizar la notación de subíndice de Feynman en la ecuación anterior). Usando la regla de la cadena, la derivada total de es: de modo que la expresión anterior se convierte en:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

Con v = ẋ , podemos poner la ecuación en la conveniente forma de Euler-Lagrange

donde y$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

El lagrangiano para una partícula cargada de masa m y carga q en un campo electromagnético describe de manera equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía , en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica está dada por: ^[37] donde A y ϕ son los campos potenciales como se indicó anteriormente. La cantidad puede considerarse como una función potencial dependiente de la velocidad. ^[38] Usando las ecuaciones de Lagrange , se puede obtener nuevamente la ecuación para la fuerza de Lorentz dada anteriormente.$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

La energía potencial depende de la velocidad de la partícula, por lo que la fuerza depende de la velocidad y no es conservativa.

El lagrangiano relativista es$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espacio-tiempo , menos la contribución de energía potencial, más una contribución adicional que, desde el punto de vista mecánico cuántico, es una fase adicional que una partícula cargada obtiene cuando se mueve a lo largo de un potencial vectorial.

Utilizando la firma métrica (1, −1, −1, −1) , la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en ^[39] forma covariante :

donde p ^α es el cuadri-momento , definido como τ el tiempo propio de la partícula, F ^αβ el tensor electromagnético contravariante y U es la 4-velocidad covariante de la partícula, definida como: en donde es el factor de Lorentz .$${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$$${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

Los campos se transforman en un marco que se mueve con velocidad relativa constante mediante: donde Λ ^μ _α es el tensor de transformación de Lorentz .$${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

El componente α = 1 (componente x ) de la fuerza es$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

Usando los componentes de la covariante de cuatro velocidades se obtiene$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.}$$

El cálculo para α = 2, 3 (componentes de fuerza en las direcciones y y z ) produce resultados similares, por lo que reunimos las 3 ecuaciones en una: y dado que los diferenciales en el tiempo de coordenadas dt y el tiempo propio dτ están relacionados por el factor de Lorentz, llegamos a$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$$${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Esta es precisamente la ley de fuerza de Lorentz, sin embargo, es importante notar que p es la expresión relativista,$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

Los campos eléctrico y magnético dependen de la velocidad de un observador , por lo que la forma relativista de la ley de fuerza de Lorentz se puede exhibir mejor a partir de una expresión independiente de coordenadas para los campos electromagnético y magnético , y una dirección temporal arbitraria, . Esto se puede resolver a través del Álgebra Espacio-Tiempo (o el álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de álgebra de Clifford definida en un espacio pseudo-euclidiano , ^[40] como y es un bivector espacio-tiempo (un segmento plano orientado, al igual que un vector es un segmento de línea orientado ), que tiene seis grados de libertad correspondientes a impulsos (rotaciones en planos espacio-temporales) y rotaciones (rotaciones en planos espacio-espacio). El producto escalar con el vector extrae un vector (en el álgebra espacial) de la parte traslacional, mientras que el producto cuña crea un trivector (en el álgebra espacial) que es dual a un vector que es el vector de campo magnético habitual. La velocidad relativista está dada por los cambios (similares al tiempo) en un vector de posición-tiempo , donde (lo que muestra nuestra elección para la métrica) y la velocidad es${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$$${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$$${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle v={\dot {x}}}$$${\displaystyle v^{2}=1,}$$$${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

La forma adecuada (invariante es un término inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) de la ley de fuerza de Lorentz es simplemente

Obsérvese que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. En una división del espacio-tiempo como la anterior, se pueden obtener la velocidad y los campos, lo que da como resultado la expresión habitual.

En la teoría general de la relatividad la ecuación de movimiento para una partícula con masa y carga , moviéndose en un espacio con tensor métrico y campo electromagnético , se da como donde ( se toma a lo largo de la trayectoria), , y .${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle F_{ab}}$$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$${\displaystyle dx^{a}}$${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

La ecuación también se puede escribir como donde es el símbolo de Christoffel (de la conexión métrica libre de torsión en relatividad general), o como donde es el diferencial covariante en relatividad general (métrica, libre de torsión).$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle \Gamma _{abc}}$$${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle D}$

La fuerza de Lorentz se produce en muchos dispositivos, entre ellos:

• Ciclotrones y otros aceleradores de partículas de trayectoria circular
• Espectrómetros de masas
• Filtros de velocidad
• Magnetrones
• Velocimetría de fuerza de Lorentz

En su manifestación como fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza se presenta en muchos dispositivos, entre ellos:

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Electrostatics Charge density Conductor Coulomb law Electret Electric charge Electric dipole Electric field Electric flux Electric potential Electrostatic discharge Electrostatic induction Gauss law Insulator Permittivity Polarization Potential energy Static electricity Triboelectricity
Magnetostatics Ampère law Biot–Savart law Gauss magnetic law Magnetic dipole Magnetic field Magnetic flux Magnetic scalar potential Magnetic vector potential Magnetization Permeability Right-hand rule
Electrodynamics Bremsstrahlung Cyclotron radiation Displacement current Eddy current Electromagnetic field Electromagnetic induction Electromagnetic pulse Electromagnetic radiation Faraday law Jefimenko equations Larmor formula Lenz law Liénard–Wiechert potential London equations Lorentz force Maxwell equations Maxwell tensor Poynting vector Synchrotron radiation
Electrical network Alternating current Capacitance Current density Direct current Electric current Electric power Electrolysis Electromotive force Impedance Inductance Joule heating Kirchhoff laws Network analysis Ohm law Parallel circuit Resistance Resonant cavities Series circuit Voltage Watt Waveguides
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Las referencias numeradas se refieren en parte a la lista inmediatamente siguiente.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la fuerza de Lorentz.

Wikiquote tiene citas relacionadas con la fuerza de Lorentz .

• Fuerza de Lorentz (demostración)
• Aplicación interactiva de Java sobre la desviación magnética de un haz de partículas en un campo magnético homogéneo Archivado el 13 de agosto de 2011 en Wayback Machine por Wolfgang Bauer