Banda (álgebra)

En matemáticas , una banda (también llamada semigrupo idempotente ) es un semigrupo en el que cada elemento es idempotente (en otras palabras, igual a su propio cuadrado). Las bandas fueron estudiadas y nombradas por primera vez por AH Clifford  (1954).

La red de variedades de bandas fue descrita independientemente a principios de los años 1970 por Biryukov, Fennemore y Gerhard. ^[1] Las semirredes , las bandas de izquierda-cero , las bandas de derecha-cero , las bandas rectangulares , las bandas normales , las bandas regulares de izquierda , las bandas regulares de derecha y las bandas regulares son subclases específicas de bandas que se encuentran cerca de la parte inferior de esta red y que son de particular interés; se describen brevemente a continuación.

Una clase de bandas forma una variedad si está cerrada bajo la formación de subsemigrupos, imágenes homomórficas y productos directos . Cada variedad de bandas puede definirse mediante una única identidad definitoria . ^[2]

Las semirredes son bandas exactamente conmutativas ; es decir, son las bandas que satisfacen la ecuación

• xy = yx para todos x e y .

Las bandas inducen un preorden que puede definirse como si . Requerir conmutatividad implica que este preorden se convierte en un orden parcial (semirreticular) .${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle xy=x}$

Una banda de cero a la izquierda es una banda que satisface la ecuación

• xy  =  x ,

De ahí que su tabla Cayley tenga filas constantes.

Simétricamente, una banda cero derecha es una satisfactoria

• xy  =  y ,

para que la tabla Cayley tenga columnas constantes.

Una banda rectangular es una banda S que satisface

1. xyx = x para todo x ,  y  ∈  S , o equivalentemente,
2. xyz  =  xz para todos x ,  y ,  z  ∈  S ,

En cualquier semigrupo, la primera identidad es suficiente para caracterizar un semigrupo conmutativo en ninguna parte , la prueba de esto sigue.

Sea un semigrupo conmutativo en ninguna parte. En cualquier magma flexible , cada elemento conmuta con su cuadrado. Por lo tanto, en cualquier semigrupo conmutativo en ninguna parte, cada elemento es idempotente, lo que significa que es una banda. Por lo tanto, en cualquier semigrupo conmutativo en ninguna parte ${\displaystyle (aa)a=a(aa)}$

${\displaystyle x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x}$.

Por lo tanto conmuta con y por lo tanto cuál es la primera identidad característica.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización xyx}$${\estilo de visualización xyx=x}$

Supongamos ahora que la primera identidad se cumple en un semigrupo. Esta identidad implica idempotencia: y también se cumple la siguiente implicación en cualquier semigrupo: . Por lo tanto, este semigrupo que es una banda es en realidad un semigrupo conmutativo en ninguna parte: ${\displaystyle a=aaa}$${\displaystyle aa=aaaa=a(aa)a=a}$${\displaystyle xy=yx\implica (xy)(yx)=(yx)(xy)}$

${\displaystyle xy=yx\implies x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y}$.

En cualquier semigrupo la primera identidad también implica la segunda porque xyz = xy ( zxz ) = ( x ( yz ) x ) z = xz .

Los idempotentes de un semigrupo rectangular forman una subbanda que es una banda rectangular pero un semigrupo rectangular puede tener elementos que no sean idempotentes. En una banda la segunda identidad obviamente implica la primera pero eso requiere idempotencia. Existen semigrupos que satisfacen la segunda identidad pero no son bandas y no satisfacen la primera.

Existe una clasificación completa de bandas rectangulares. Dados conjuntos arbitrarios I y J se puede definir una operación de magma en I  ×  J estableciendo

${\displaystyle (i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,}$

Esta operación es asociativa porque para tres pares cualesquiera ( i _x ,  j _x ) , ( i _y ,  j _y ) , ( i _z ,  j _z ) tenemos

${\displaystyle ((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$y de igual manera

${\displaystyle (i_{x},j_{x})\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})}$

Estas dos identidades de magma (xy)z  =  xz y x(yz)  =  xz son juntas equivalentes a la segunda identidad característica anterior.

Las dos juntas también implican asociatividad (xy)z  = x(yz) . Cualquier magma que satisfaga estas dos identidades rectangulares y la idempotencia es, por lo tanto, una banda rectangular. Por lo tanto, cualquier magma que satisfaga ambas identidades características (cuatro identidades de magma independientes) es una banda y, por lo tanto, una banda rectangular.

La operación de magma definida anteriormente es una banda rectangular porque para cualquier par ( i ,  j ) tenemos ( i ,  j ) · ( i ,  j ) = ( i ,  j ) por lo que cada elemento es idempotente y la primera identidad característica se sigue de la segunda junto con la idempotencia.

Pero un magma que satisface sólo las identidades de la primera característica y la idempotencia no necesita ser asociativo, por lo que la segunda característica sólo se sigue de la primera en un semigrupo.

Cualquier banda rectangular es isomorfa a una de las formas anteriores (o está vacía, o elige cualquier elemento , y luego ( ) define un isomorfismo ). Las bandas de cero a la izquierda y cero a la derecha son bandas rectangulares y, de hecho, cada banda rectangular es isomorfa a un producto directo de una banda de cero a la izquierda y una banda de cero a la derecha. Todas las bandas rectangulares de orden primo son bandas cero, ya sean izquierdas o derechas. Se dice que una banda rectangular es puramente rectangular si no es una banda de cero a la izquierda o de cero a la derecha. ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle s\mapsto (se,es)}$${\displaystyle S\cong Se\times eS}$

En lenguaje categórico , se puede decir que la categoría de bandas rectangulares no vacías es equivalente a , donde es la categoría con conjuntos no vacíos como objetos y funciones como morfismos. Esto implica no solo que cada banda rectangular no vacía es isomorfa a una que proviene de un par de conjuntos, sino también que estos conjuntos están determinados de manera única hasta un isomorfismo canónico, y todos los homomorfismos entre bandas provienen de pares de funciones entre conjuntos. ^[4] Si el conjunto I está vacío en el resultado anterior, la banda rectangular I  ×  J es independiente de J , y viceversa. Es por esto que el resultado anterior solo da una equivalencia entre bandas rectangulares no vacías y pares de conjuntos no vacíos.${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$${\displaystyle \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }}$

Las bandas rectangulares son también las T -álgebras, donde T es la mónada en Set con T ( X )= X × X , T ( f )= f × f , siendo la función diagonal , y .${\displaystyle \eta _{X}}$${\displaystyle X\to X\times X}$${\displaystyle \mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})}$

Una banda normal es una banda S satisfactoria

• zxyz  =  zyxz paratodos x , y y z  ∈  S.

También podemos decir que una banda normal es una banda S satisfactoria

• axyb  =  ayxb para todos a , b , x e y  ∈  S .

Esta es la misma ecuación utilizada para definir magmas mediales , por lo que una banda normal también puede llamarse banda medial, y las bandas normales son ejemplos de magmas mediales. ^[3]

Una banda regular izquierda es una banda S que satisface

• xyx = xy para todo x , y  ∈  S 

Si tomamos un semigrupo y definimos a ≤ b si ab = b , obtenemos un ordenamiento parcial si y solo si este semigrupo es una banda izquierda-regular. Las bandas izquierda-regulares aparecen así de forma natural en el estudio de los conjuntos parciales . ^[5]

Una banda regular derecha es una banda S que satisface

• xyx = yx para todo x ,  y  ∈  S

Cualquier banda regular derecha se convierte en una banda regular izquierda utilizando el producto opuesto. De hecho, cada variedad de bandas tiene una versión "opuesta"; esto da lugar a la simetría de reflexión de la figura siguiente.

Una banda regular es una banda S satisfactoria

• zxzyz = zxyz para todos x ,  y ,  z  ∈  S

Cuando se ordenan parcialmente por inclusión, las variedades de bandas forman naturalmente una red , en la que el encuentro de dos variedades es su intersección y la unión de dos variedades es la variedad más pequeña que las contiene a ambas. Se conoce la estructura completa de esta red; en particular, es contable , completa y distributiva . ^[1] La subred que consta de las 13 variedades de bandas regulares se muestra en la figura. Las variedades de bandas de cero a la izquierda, semiredes y bandas de cero a la derecha son los tres átomos (elementos mínimos no triviales) de esta red.

Cada variedad de bandas que se muestra en la figura está definida por una sola identidad. Esto no es una coincidencia: de hecho, cada variedad de bandas puede definirse por una sola identidad. ^[1]

• Anillo booleano , un anillo en el que cada elemento es (multiplicativamente) idempotente
• Semigrupo conmutativo en ninguna parte
• Clases especiales de semigrupos
• Semigrupo ortodoxo
• Autómata celular reversible § Autómatas unidimensionales

• Biryukov, AP (1970), "Variedades de semigrupos idempotentes", Álgebra y lógica , 9 (3): 153–164, doi :10.1007/BF02218673.
• Brown, Ken (2000), "Semigrupos, anillos y cadenas de Markov", J. Theoret. Probab. , 13 : 871–938, arXiv : math/0006145 , Bibcode :2000math......6145B.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle (1954), "Bandas de semigrupos", Actas de la American Mathematical Society , 5 : 499–504, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0062119-9 , MR  0062119.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1972), La teoría algebraica de semigrupos , Moscú: Mir.
• Fennemore, Charles (1970), "Todas las variedades de bandas", Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi :10.1007/BF02573031.
• Gerhard, JA (1970), "La red de clases ecuacionales de semigrupos idempotentes", Journal of Algebra , 15 (2): 195–224, doi :10.1016/0021-8693(70)90073-6, hdl : 10338.dmlcz/128238.
• Gerhard, JA; Petrich, Mario (1989), "Variedades de bandas revisadas", Actas de la London Mathematical Society , 3 : 323–350, doi :10.1112/plms/s3-58.2.323.
• Howie, John M. (1995), Fundamentos de la teoría de semigrupos , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6.
• Nagy, Attila (2001), Clases especiales de semigrupos , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8.
• Yamada, Miyuki (1971), "Nota sobre semigrupos exclusivos", Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi :10.1007/BF02572956.