Homomorfismo

En álgebra , un homomorfismo es una función que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos , dos anillos o dos espacios vectoriales ). La palabra homomorfismo proviene del griego antiguo : ὁμός ( homos ), que significa "mismo", y μορφή ( morphe ), que significa "forma". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich, que significa "similar", a ὁμός, que significa "mismo". ^[1] El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se le atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925). ^[2]

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan mapas lineales y su estudio es el tema del álgebra lineal .

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo , a muchas otras estructuras que o bien no tienen un conjunto subyacente, o bien no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías .

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo , un endomorfismo , un automorfismo , etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos puede definirse de manera que pueda generalizarse a cualquier clase de morfismos.

Un homomorfismo es una función entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (por ejemplo, dos grupos, dos cuerpos, dos espacios vectoriales), que conserva las operaciones de las estructuras. Esto significa una función entre dos conjuntos , dotados de la misma estructura de manera que, si es una operación de la estructura (supuesta aquí, para simplificar, una operación binaria ), entonces${\displaystyle f:A\to B}$ ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización \cdot}$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

para cada par , de elementos de . ^{[nota 1]} Se dice a menudo que conserva la operación o es compatible con la operación.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización f}$

Formalmente, un mapa conserva una operación de aridad , definida tanto en como si ${\displaystyle f:A\to B}$${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

para todos los elementos en .${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\estilo de visualización A}$

Las operaciones que deben conservarse mediante un homomorfismo incluyen las operaciones 0-arias , es decir, las constantes. En particular, cuando un elemento de identidad es requerido por el tipo de estructura, el elemento de identidad de la primera estructura debe mapearse al elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

• Un homomorfismo de semigrupos es una función entre semigrupos que preserva la operación de semigrupo.
• Un homomorfismo monoide es un mapa entre monoides que preserva la operación monoide y mapea el elemento identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento identidad es una operación 0-aria ).
• Un homomorfismo de grupo es una función entre grupos que preserva la operación de grupo. Esto implica que el homomorfismo de grupo asigna el elemento identidad del primer grupo al elemento identidad del segundo grupo, y asigna el inverso de un elemento del primer grupo al inverso de la imagen de este elemento. Por lo tanto, un homomorfismo de semigrupo entre grupos es necesariamente un homomorfismo de grupo.
• Un homomorfismo de anillo es una función entre anillos que preserva la adición de anillos, la multiplicación de anillos y la identidad multiplicativa . La preservación de la identidad multiplicativa depende de la definición de anillo que se utilice. Si no se preserva la identidad multiplicativa, se tiene un homomorfismo de anillo .
• Un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales ; es decir, un homomorfismo de grupo entre espacios vectoriales que preserva la estructura del grupo abeliano y la multiplicación escalar .
• Un homomorfismo de módulo , también llamado mapa lineal entre módulos , se define de manera similar.
• Un homomorfismo de álgebra es un mapa que preserva las operaciones del álgebra .

Una estructura algebraica puede tener más de una operación, y se requiere un homomorfismo para preservar cada operación. Por lo tanto, una función que preserva sólo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino sólo un homomorfismo de la subestructura que se obtiene al considerar sólo las operaciones preservadas. Por ejemplo, una función entre monoides que preserva la operación monoide y no el elemento identidad, no es un homomorfismo monoide, sino sólo un homomorfismo de semigrupo.

La notación de las operaciones no necesita ser la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

satisface

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

y es por tanto un homomorfismo entre estos dos grupos. Es incluso un isomorfismo (véase más abajo), ya que su función inversa , el logaritmo natural , satisface

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

y también es un homomorfismo de grupo.

Los números reales son un anillo , que tiene tanto suma como multiplicación. El conjunto de todas las matrices 2×2 también es un anillo, bajo la suma y la multiplicación de matrices . Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

donde r es un número real, entonces f es un homomorfismo de anillos, ya que f conserva ambas sumas:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

y multiplicación:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Para otro ejemplo, los números complejos distintos de cero forman un grupo bajo la operación de multiplicación, al igual que los números reales distintos de cero. (El cero debe excluirse de ambos grupos ya que no tiene un inverso multiplicativo , que es necesario para los elementos de un grupo). Defina una función de los números complejos distintos de cero a los números reales distintos de cero mediante${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

Es decir, es el valor absoluto (o módulo) del número complejo . Entonces es un homomorfismo de grupos, ya que conserva la multiplicación:${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{ 2}).}$

Nótese que f no puede extenderse a un homomorfismo de anillos (de los números complejos a los números reales), ya que no preserva la adición:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo de monoide del monoide al monoide . Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de conservación de la estructura satisfechas por ascienden a y .${\estilo de visualización f}$${\displaystyle (\mathbb {N},+,0)}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

Un álgebra de composición sobre un cuerpo tiene una forma cuadrática , llamada norma , que es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de al grupo multiplicativo de .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización F}$

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para los morfismos generales .

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como un homomorfismo biyectivo . ^{[3] : 134  [4] : 28}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

${\displaystyle f:A\to B}$

es un (homo)morfismo, tiene inverso si existe un homomorfismo

${\displaystyle g:B\to A}$

de tal manera que

${\displaystyle f\circ g=\nombredeloperador {Id} _{B}\qquad {\text{y}}\qquad g\circ f=\nombredeloperador {Id} _{A}.}$

Si y tienen conjuntos subyacentes, y tiene una inversa , entonces es biyectiva. De hecho, es inyectiva , como implica , y es sobreyectiva , ya que, para cualquier en , se tiene , y es la imagen de un elemento de .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización A}$

Por el contrario, si es un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea la función tal que es el único elemento de tal que . Se tiene y sólo queda demostrar que g es un homomorfismo. Si es una operación binaria de la estructura, para cada par , de elementos de , se tiene${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to A}$${\displaystyle g(y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\nombre del operador {Id} _{B}{\text{ y }}g\circ f=\nombre del operador {Id} _{A},}$${\estilo de visualización *}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

y por lo tanto es compatible con Como la prueba es similar para cualquier aridad , esto demuestra que es un homomorfismo.${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización *.}$${\estilo de visualización g}$

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para espacios topológicos , un morfismo es una función continua y la inversa de una función continua biyectiva no es necesariamente continua. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o función bicontinua , es entonces una función continua biyectiva, cuya inversa también es continua.

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio o, más generalmente, un morfismo cuyo origen es igual a su destino. ^{[3] : 135}

Los endomorfismos de una estructura algebraica, o de un objeto de una categoría , forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo . En el caso de un espacio vectorial o de un módulo libre de dimensión finita , la elección de una base induce un isomorfismo de anillo entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo. ^{[3] : 135}

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismos de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general es el grupo de automorfismos de un espacio vectorial de dimensión sobre un cuerpo .${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización k}$

Los grupos de automorfismos de campos fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de los polinomios y son la base de la teoría de Galois .

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos . ^{[3] : 134  [4] : 29}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo se define como un morfismo que se deja cancelable . ^[5] Esto significa que un (homo)morfismo es un monomorfismo si, para cualquier par , de morfismos de cualquier otro objeto a , entonces implica .${\displaystyle f:A\to B}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\estilo de visualización g=h}$

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para los cuerpos , para los cuales todo homomorfismo es un monomorfismo, y para las variedades del álgebra universal , es decir, estructuras algebraicas para las cuales las operaciones y los axiomas (identidades) están definidos sin ninguna restricción (los cuerpos no forman una variedad, ya que el inverso multiplicativo está definido como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que están, en ambos casos, definidas solo para elementos no nulos).

En particular, las dos definiciones de un monomorfismo son equivalentes para conjuntos , magmas , semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos , espacios vectoriales y módulos .

Un monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso izquierdo y, por lo tanto, es en sí mismo un inverso derecho de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que Un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados de monomorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada monomorfismo es un monomorfismo dividido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\a A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

En álgebra , los epimorfismos se definen a menudo como homomorfismos sobreyectivos . ^{[3] : 134  [4] : 43} Por otro lado, en teoría de categorías , los epimorfismos se definen como morfismos cancelables por la derecha . ^[5] Esto significa que un (homo)morfismo es un epimorfismo si, para cualquier par , de morfismos de a cualquier otro objeto , la igualdad implica .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

Un homomorfismo sobreyectivo siempre es cancelable por la derecha, pero lo inverso no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos , espacios vectoriales , grupos abelianos , módulos (ver más abajo una prueba) y grupos . ^[6] La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, especialmente en álgebra lineal y álgebra homológica , puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos . El ejemplo más básico es la inclusión de números enteros en números racionales , que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo. ^{[5] [7]}

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo por un conjunto multiplicativo. Toda localización es un epimorfismo de anillo, que no es, en general, sobreyectivo. Como las localizaciones son fundamentales en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica , esto puede explicar por qué en estas áreas, la definición de epimorfismos como homomorfismos cancelables por la derecha es generalmente preferida.

Un epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso derecho y, por lo tanto, es en sí mismo un inverso izquierdo de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que Un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada epimorfismo es un epimorfismo dividido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes.${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

En resumen, uno tiene

${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$

La última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos, grupos abelianos y grupos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Cualquier homomorfismo define una relación de equivalencia en por si y sólo si . La relación se llama núcleo de . Es una relación de congruencia en . Al conjunto cociente se le puede dar entonces una estructura del mismo tipo que , de manera natural, definiendo las operaciones del conjunto cociente por , para cada operación de . En ese caso la imagen de en bajo el homomorfismo es necesariamente isomorfa a ; este hecho es uno de los teoremas de isomorfismo .${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim }$

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia del elemento identidad de esta operación basta para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente por la relación de equivalencia se denota por (que normalmente se lee como " mod "). También en este caso, es , en lugar de , lo que se llama núcleo de . Los núcleos de homomorfismos de un tipo dado de estructura algebraica están naturalmente dotados de alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es el mismo que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales y módulos , pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para núcleos de homomorfismos de grupo e ideales para núcleos de homomorfismos de anillo (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales bilaterales ).${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$

En la teoría de modelos , la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sea L una firma que consiste en símbolos de función y relación, y A , B dos estructuras L. Entonces, un homomorfismo de A a B es una aplicación h del dominio de A al dominio de B tal que

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) para cada símbolo de función n -aria F en L ,
• R ^A ( a ₁ ,…, a _n ) implica R ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) para cada símbolo de relación n -aria R en L .

En el caso especial con sólo una relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafos . ^[8]

Los homomorfismos también se utilizan en el estudio de lenguajes formales ^[9] y a menudo se los denomina brevemente morfismos . ^[10] Dados alfabetos y , una función tal que para todos se llama homomorfismo en . ^{[nota 2]} Si es un homomorfismo en y denota la cadena vacía, entonces se llama homomorfismo libre de cuando para todos en .${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$${\displaystyle x\neq \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

Un homomorfismo que satisface para todos se llama homomorfismo -uniforme . ^[11] Si para todos (es decir, es 1-uniforme), entonces también se llama codificación o proyección . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle |h(a)|=k}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle |h(a)|=1}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

El conjunto de palabras formado a partir del alfabeto puede considerarse como el monoide libre generado por . Aquí la operación monoide es la concatenación y el elemento identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homomorfismo de lenguaje es precisamente un homomorfismo monoide. ^{[nota 3]}${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

• Difeomorfismo
• Cifrado homomórfico
• Intercambio de secretos homomórficos : un protocolo de votación descentralizado y simplista
• Morfismo
• Cuasimorfismo

• Krieger, Dalia (2006). "Sobre exponentes críticos en puntos fijos de morfismos que no se borran". En Ibarra, Oscar H.; Dang, Zhe (eds.). Desarrollos en teoría del lenguaje: 10.ª conferencia internacional, DLT 2006, Santa Bárbara, CA, EE. UU., 26-29 de junio de 2006: actas . Berlín: Springer. pp. 280–291. ISBN. 978-3-540-35430-7.OCLC 262693179  .
• Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . S. Burris y HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, Zbl0232.18001 ​
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), Un primer curso de álgebra abstracta , Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7