Variedad (álgebra universal)

En álgebra universal , una variedad de álgebras o clase ecuacional es la clase de todas las estructuras algebraicas de una firma dada que satisfacen un conjunto dado de identidades . Por ejemplo, los grupos forman una variedad de álgebras, como lo hacen los grupos abelianos , los anillos , los monoides , etc. Según el teorema de Birkhoff, una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y solo si está cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas , subálgebras y productos (directos) . En el contexto de la teoría de categorías , una variedad de álgebras, junto con sus homomorfismos, forma una categoría ; estas suelen llamarse categorías algebraicas finitarias .

Una covariedad es la clase de todas las estructuras coalgebraicas de una firma dada.

Una variedad de álgebra no debe confundirse con una variedad algebraica , es decir, un conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas . Son formalmente muy distintas y sus teorías tienen poco en común.

El término "variedad de álgebras" se refiere a las álgebras en el sentido general de álgebra universal ; también existe un sentido más específico de álgebra, es decir, como álgebra sobre un cuerpo , es decir, un espacio vectorial dotado de una multiplicación bilineal .

Una signatura (en este contexto) es un conjunto cuyos elementos se denominan operaciones , a cada una de las cuales se le asigna un número natural (0, 1, 2, ...) llamado su aridad . Dada una signatura σ y un conjunto V , cuyos elementos se denominan variables , una palabra es un árbol con raíz finita en el que cada nodo está etiquetado por una variable o una operación, de modo que cada nodo etiquetado por una variable no tiene ramas que se alejen de la raíz y cada nodo etiquetado por una operación o tiene tantas ramas que se alejen de la raíz como la aridad de o . Una ley ecuacional es un par de tales palabras; el axioma que consta de las palabras v y w se escribe como v = w .

Una teoría consiste en una firma, un conjunto de variables y un conjunto de leyes ecuacionales. Cualquier teoría da una variedad de álgebras como sigue. Dada una teoría T , un álgebra de T consiste en un conjunto A junto con, para cada operación o de T con aridad n , una función o _A  : A ⁿ → A tal que para cada axioma v = w y cada asignación de elementos de A a las variables en ese axioma, la ecuación se cumple que se da al aplicar las operaciones a los elementos de A como lo indican los árboles que definen v y w . La clase de álgebras de una teoría dada T se llama variedad de álgebras .

Dadas dos álgebras de una teoría T , digamos A y B , un homomorfismo es una función f  : A → B tal que

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\puntos ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\puntos ,f(a_{n}))}$

para cada operación o de aridad n . Cualquier teoría da una categoría donde los objetos son álgebras de esa teoría y los morfismos son homomorfismos.

La clase de todos los semigrupos forma una variedad de álgebras de signatura (2), es decir, un semigrupo tiene una única operación binaria. Una ecuación definitoria suficiente es la ley asociativa:

${\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

La clase de grupos forma una variedad de álgebras de signatura (2,0,1), en las que las tres operaciones son, respectivamente, multiplicación (binaria), identidad (nular, una constante) e inversión (unaria). Los axiomas familiares de asociatividad, identidad e inversa forman un conjunto adecuado de identidades:

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\estilo de visualización 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

La clase de anillos también forma una variedad de álgebras. La signatura aquí es (2,2,0,0,1) (dos operaciones binarias, dos constantes y una operación unaria).

Si fijamos un anillo específico R , podemos considerar la clase de R -módulos izquierdos . Para expresar la multiplicación escalar con elementos de R , necesitamos una operación unaria para cada elemento de R . Si el anillo es infinito, tendremos infinitas operaciones, lo que está permitido por la definición de una estructura algebraica en el álgebra universal. Entonces también necesitaremos infinitas identidades para expresar los axiomas del módulo, lo que está permitido por la definición de una variedad de álgebras. Por lo tanto, los R -módulos izquierdos forman una variedad de álgebras.

Los campos no forman una variedad de álgebras; el requisito de que todos los elementos distintos de cero sean invertibles no puede expresarse como una identidad universalmente satisfecha (ver más abajo).

Los semigrupos cancelativos tampoco forman una variedad de álgebras, ya que la propiedad de cancelación no es una ecuación, es una implicación que no es equivalente a ningún conjunto de ecuaciones. Sin embargo, sí forman una cuasivariedad , ya que la implicación que define la propiedad de cancelación es un ejemplo de cuasivariedad .

Dada una clase de estructuras algebraicas de la misma signatura, podemos definir las nociones de homomorfismo, subálgebra y producto . Garrett Birkhoff demostró que una clase de estructuras algebraicas de la misma signatura es una variedad si y solo si es cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos arbitrarios. ^[1] Este es un resultado de importancia fundamental para el álgebra universal y conocido como teorema de variedad de Birkhoff o como teorema HSP . H , S y P representan, respectivamente, las operaciones de homomorfismo, subálgebra y producto.

Una dirección de la equivalencia mencionada anteriormente, a saber, que una clase de álgebras que satisfacen cierto conjunto de identidades debe ser cerrada bajo las operaciones HSP, se desprende inmediatamente de las definiciones. Demostrar lo inverso —las clases de álgebras cerradas bajo las operaciones HSP deben ser ecuacionales— es más difícil.

Utilizando la dirección fácil del teorema de Birkhoff, podemos, por ejemplo, verificar la afirmación hecha anteriormente, de que los axiomas de campo no son expresables por ningún conjunto posible de identidades: el producto de campos no es un campo, por lo que los campos no forman una variedad.

Una subvariedad de una variedad de álgebras V es una subclase de V que tiene la misma firma que V y es en sí misma una variedad, es decir, está definida por un conjunto de identidades.

Nótese que aunque cada grupo se convierte en un semigrupo cuando se omite la identidad como constante (y/o se omite la operación inversa), la clase de grupos no forma una subvariedad de la variedad de semigrupos porque las firmas son diferentes. De manera similar, la clase de semigrupos que son grupos no es una subvariedad de la variedad de semigrupos. La clase de monoides que son grupos contiene y no contiene su subálgebra (más precisamente, submonoide) .${\displaystyle \langle \mathbb {Z},+\rangle }$${\displaystyle \langle \mathbb {N},+\rangle }$

Sin embargo, la clase de grupos abelianos es una subvariedad de la variedad de grupos porque consiste en aquellos grupos que satisfacen xy = yx , sin cambio de signatura. Los grupos abelianos finitamente generados no forman una subvariedad, ya que por el teorema de Birkhoff no forman una variedad, ya que un producto arbitrario de grupos abelianos finitamente generados no es finitamente generado.

Considerando una variedad V y sus homomorfismos como una categoría , una subvariedad U de V es una subcategoría completa de V , lo que significa que para cualquier objeto a , b en U , los homomorfismos de a a b en U son exactamente aquellos de a a b en V.

Supóngase que V es una variedad no trivial de álgebras, es decir, que V contiene álgebras con más de un elemento. Se puede demostrar que para cada conjunto S , la variedad V contiene un álgebra libre F _S en S . Esto significa que hay una función inyectiva i  : S → F _S que satisface la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra A en V y cualquier función k  : S → A , existe un único V -homomorfismo f  : F _S → A tal que f ∘ i = k .

Esto generaliza las nociones de grupo libre , grupo abeliano libre , álgebra libre , módulo libre , etc. Tiene como consecuencia que cada álgebra en una variedad es una imagen homomórfica de un álgebra libre.

Además de las variedades, los teóricos de categorías utilizan otros dos marcos que son equivalentes en términos de los tipos de álgebras que describen: las mónadas finitarias y las teorías de Lawvere . Podemos pasar de una variedad a una mónada finitaria de la siguiente manera. Una categoría con alguna variedad de álgebras como objetos y homomorfismos como morfismos se llama categoría algebraica finitaria . Para cualquier categoría algebraica finitaria V , el funtor olvidadizo G  : V → Set tiene un adjunto izquierdo F  : Set → V , es decir, el funtor que asigna a cada conjunto el álgebra libre en ese conjunto. Esta adjuntación es monádica , lo que significa que la categoría V es equivalente a la categoría de Eilenberg-Moore Set ^T para la mónada T = GF . Además, la mónada T es finitaria , lo que significa que conmuta con colimites filtrados .

La mónada T  : Set → Set es suficiente, pues, para recuperar la categoría algebraica finitaria. En efecto, las categorías algebraicas finitarias son precisamente aquellas categorías equivalentes a las categorías de Eilenberg-Moore de las mónadas finitarias. Ambas, a su vez, son equivalentes a las categorías de las álgebras de las teorías de Lawvere.

Trabajar con mónadas permite la siguiente generalización. Se dice que una categoría es una categoría algebraica si es monádica sobre Set . Esta es una noción más general que la de "categoría algebraica finitaria" porque admite categorías como CABA (álgebras booleanas atómicas completas) y CSLat (semirretículos completos) cuyas firmas incluyen operaciones infinitarias. En esos dos casos la firma es grande, lo que significa que no forma un conjunto sino una clase propia, porque sus operaciones son de aridad ilimitada. La categoría algebraica de las álgebras sigma también tiene operaciones infinitarias, pero su aridad es contable, por lo que su firma es pequeña (forma un conjunto).

Toda categoría algebraica finitaria es una categoría presentable localmente .

Como las variedades están cerradas bajo productos directos arbitrarios, todas las variedades no triviales contienen álgebras infinitas. Se han hecho intentos de desarrollar un análogo finitario de la teoría de variedades. Esto condujo, por ejemplo, a la noción de variedad de semigrupos finitos . Este tipo de variedad utiliza solo productos finitarios. Sin embargo, utiliza un tipo más general de identidades.

Una pseudovariedad se define generalmente como una clase de álgebras de una firma dada, cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos directos finitos. No todos los autores suponen que todas las álgebras de una pseudovariedad son finitas; si este es el caso, a veces se habla de una variedad de álgebras finitas . Para las pseudovariedades, no existe una contraparte finita general del teorema de Birkhoff, pero en muchos casos la introducción de una noción más compleja de ecuaciones permite derivar resultados similares. ^[2]

Las pseudovariedades son de particular importancia en el estudio de semigrupos finitos y, por lo tanto, en la teoría formal del lenguaje . El teorema de Eilenberg, a menudo denominado teorema de la variedad , describe una correspondencia natural entre las variedades de los lenguajes regulares y las pseudovariedades de semigrupos finitos.

• Cuasivariedad

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