Semigrupo conmutativo en ninguna parte

En matemáticas , un semigrupo conmutativo en ninguna parte es un semigrupo S tal que, para todos a y b en S , si ab = ba entonces a = b . ^[1] Un semigrupo S no es conmutativo en ninguna parte si y solo si dos elementos cualesquiera de S son inversos entre sí. ^[1]

Caracterización de semigrupos conmutativos en ninguna parte

En ninguna parte los semigrupos conmutativos pueden caracterizarse de varias maneras diferentes. Si S es un semigrupo, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes : ^[2]

S no es conmutativo en ninguna parte.
S es una banda rectangular (en el sentido en que utiliza el término John Howie ^[3] ).
Para todos a y b en S , aba = a .
Para todos a , b y c en S , a ² = a y abc = ac .

Aunque por definición las bandas rectangulares son semigrupos concretos, tienen el defecto de que su definición no está formulada en términos de la operación binaria básica en el semigrupo. El enfoque a través de la definición de semigrupos conmutativos en ninguna parte corrige este defecto. ^[2]

Para ver que un semigrupo conmutativo en ninguna parte es una banda rectangular, sea S un semigrupo conmutativo en ninguna parte. Utilizando las propiedades definitorias de un semigrupo conmutativo en ninguna parte, se puede ver que para cada a en S la intersección de las clases de Green R _a y L _a contiene el elemento único a . Sea S / L la familia de L -clases en S y S / R la familia de R -clases en S . La aplicación

ψ : S → ( S / R ) × ( S / L )

definido por

a ψ = ( R _a , L _a )

es una biyección . Si el producto cartesiano ( S / R ) × ( S / L ) se convierte en un semigrupo proporcionándole la multiplicación de bandas rectangulares, la función ψ se convierte en un isomorfismo . Por lo tanto, S es isomorfo a una banda rectangular.

Otras afirmaciones de equivalencias se desprenden directamente de las definiciones pertinentes.

Véase también

Clases especiales de semigrupos

Referencias

^ ab AH Clifford , GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos, vol. I (segunda edición). American Mathematical Society (p. 26). ISBN 978-0-8218-0272-4
^ ab JM Howie (1976). Introducción a la teoría de semigrupos . Monografías de LMS. Vol. 7. Academic Press. pág. 96.
^ JM Howie (1976). Introducción a la teoría de semigrupos . Monografías de LMS. Vol. 7. Academic Press. pág. 3.

[CP-1] AH Clifford , GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos, vol. I (segunda edición). American Mathematical Society (p. 26). ISBN 978-0-8218-0272-4

[Howie-2] JM Howie (1976). Introducción a la teoría de semigrupos . Monografías de LMS. Vol. 7. Academic Press. pág. 96.

[3] JM Howie (1976). Introducción a la teoría de semigrupos . Monografías de LMS. Vol. 7. Academic Press. pág. 3.