Hipótesis de Riemann

En matemáticas, la hipótesis de Riemann es la conjetura de que la función zeta de Riemann tiene sus ceros solo en los números enteros pares negativos y en los números complejos con parte real .1/2⁠ . Muchos lo consideran el problema no resuelto más importante en matemáticas puras . ^[1] Es de gran interés en la teoría de números porque implica resultados sobre la distribución de números primos . Fue propuesto por Bernhard Riemann  (1859), de quien recibe el nombre.

La hipótesis de Riemann y algunas de sus generalizaciones, junto con la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos , constituyen el octavo problema de Hilbert en la lista de veintitrés problemas no resueltos de David Hilbert ; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay , que ofrece un millón de dólares estadounidenses por la solución de cualquiera de ellos. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos .

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función cuyo argumento s puede ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir, ζ ( s ) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan sus ceros triviales . La función zeta también es cero para otros valores de s , que se denominan ceros no triviales . La hipótesis de Riemann se ocupa de las ubicaciones de estos ceros no triviales y establece que:

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann  es1/2⁠ .

Por lo tanto, si la hipótesis es correcta, todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica que consiste en los números complejos .1/2⁠ + i t , donde t es un número real e i es la unidad imaginaria .

La función zeta de Riemann se define para complejos con parte real mayor que 1 por la serie infinita absolutamente convergente

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Leonhard Euler ya consideró esta serie en la década de 1730 para valores reales de s, en conjunción con su solución al problema de Basilea . También demostró que es igual al producto de Euler

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prima}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots }$

donde el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p . ^[2]

La hipótesis de Riemann analiza los ceros fuera de la región de convergencia de esta serie y el producto de Euler. Para que la hipótesis tenga sentido, es necesario continuar analíticamente la función para obtener una forma que sea válida para todos los complejos s . Debido a que la función zeta es meromórfica , todas las opciones de cómo realizar esta continuación analítica conducirán al mismo resultado, por el teorema de identidad . Un primer paso en esta continuación observa que la serie para la función zeta y la función eta de Dirichlet satisfacen la relación

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

dentro de la región de convergencia para ambas series. Sin embargo, la serie de funciones zeta de la derecha converge no solo cuando la parte real de s es mayor que uno, sino de manera más general siempre que s tenga parte real positiva. Por lo tanto, la función zeta se puede redefinir como , extendiéndola desde Re( s ) > 1 a un dominio más grande: Re( s ) > 0 , excepto para los puntos donde es cero. Estos son los puntos donde puede ser cualquier entero distinto de cero; la función zeta también se puede extender a estos valores tomando límites (ver Función eta de Dirichlet § Problema de Landau con ζ ( s ) = η ( s )/0 y soluciones ), dando un valor finito para todos los valores de s con parte real positiva excepto para el polo simple en s  = 1.${\displaystyle \eta(s)/(1-2/2^{s})}$${\displaystyle 1-2/2^{s}}$${\displaystyle s=1+2\pi en/\log 2}$${\estilo de visualización n}$

En la franja 0 < Re( s ) < 1 esta extensión de la función zeta satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \zeta(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s).}$

Luego se puede definir ζ ( s ) para todos los números complejos restantes distintos de cero s ( Re( s ) ≤ 0 y s ≠ 0) aplicando esta ecuación fuera de la tira y dejando que ζ ( s ) sea igual al lado derecho de la ecuación siempre que s tenga una parte real no positiva (y s ≠ 0).

Si s es un entero par negativo, entonces ζ ( s ) = 0 porque el factor sin( π s /2) se anula; estos son los ceros triviales de la función zeta. (Si s es un entero par positivo, este argumento no se aplica porque los ceros de la función seno se cancelan con los polos de la función gamma , ya que acepta argumentos enteros negativos).

El valor ζ (0) = −1/2 no está determinado por la ecuación funcional, sino que es el valor límite de ζ ( s ) cuando s se acerca a cero. La ecuación funcional también implica que la función zeta no tiene ceros con parte real negativa aparte de los ceros triviales, por lo que todos los ceros no triviales se encuentran en la franja crítica donde s tiene parte real entre 0 y 1.

• 
  Función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica con Re( s ) = 1/2. Los valores reales se muestran en el eje horizontal y los valores imaginarios en el eje vertical. Re( ζ (1/2 + it )), Im( ζ (1/2 + it )) se representa gráficamente con t entre −30 y 30. ^[3]
• Animación que muestra en 3D la franja crítica de la función zeta de Riemann (azul, donde s tiene una parte real entre 0 y 1), la línea crítica (roja, para la parte real de s igual a 0,5) y los ceros (cruce entre rojo y naranja): [ x , y , z ] = [Re( ζ ( r + it )), Im( ζ ( r + it )), t ] con 0,1 ≤ r ≤ 0,9 y 1 ≤ t ≤ 51
• 
  La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann ζ ( s ) a lo largo de la línea crítica en el plano complejo con parte real Re( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales , donde ζ( s ) es igual a cero, ocurren donde ambas curvas tocan el eje x horizontal, para números complejos con partes imaginarias Im( s ) iguales a ±14,135, ±21,022 y ±25,011.

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto que aquí se desearía una prueba rigurosa; Por el momento, después de algunos intentos vanos y fugaces, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de este tema, ya que parece prescindible para el objetivo inmediato de mi investigación.

—  Enunciado de la hipótesis de Riemann, de (Riemann 1859). (Estaba analizando una variante de la función zeta, modificada de manera que la línea real pudiera corresponderse con la línea crítica.)

A la muerte de Riemann se encontró entre sus papeles una nota que decía: «Estas propiedades de ζ ( s ) (la función en cuestión) se deducen de una expresión de la misma que, sin embargo, no logré simplificar lo suficiente para publicarla». Todavía no tenemos la menor idea de cuál podría ser la expresión. En cuanto a las propiedades que simplemente enunció, transcurrieron unos treinta años antes de que pudiera demostrarlas todas, menos una [la propia hipótesis de Riemann].

—  Jacques Hadamard , La mente del matemático, VIII. Casos paradójicos de intuición

La motivación original de Riemann para estudiar la función zeta y sus ceros fue su aparición en su fórmula explícita para el número de primos π ( x ) menores o iguales a un número dado x , que publicó en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ". Su fórmula se dio en términos de la función relacionada

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{1/4})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{1/5})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{1/6})+\cdots }$

que cuenta los primos y potencias de primos hasta x , contando una potencia de primo p ⁿ como 1 ⁄ n . El número de primos se puede recuperar a partir de esta función utilizando la fórmula de inversión de Möbius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}}$

donde μ es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$

donde la suma está sobre los ceros no triviales de la función zeta y donde Π ₀ es una versión ligeramente modificada de Π que reemplaza su valor en sus puntos de discontinuidad por el promedio de sus límites superior e inferior:

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

La suma en la fórmula de Riemann no es absolutamente convergente, pero puede evaluarse tomando los ceros ρ en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin desplazamiento) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen (para x  > 1) por continuación analítica en la variable compleja ρ en la región Re( ρ ) > 0, es decir, deben considerarse como Ei ( ρ log x ) . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s  = 1, considerado como un cero de multiplicidad −1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Para algunos gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, véase Riesel & Göhl (1970) o Zagier (1977).

Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los números primos alrededor de sus posiciones "esperadas". Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta estaban distribuidos simétricamente alrededor de la línea s = 1/2 + it , y sabía que todos sus ceros no triviales deben estar en el rango 0 ≤ Re( s ) ≤ 1. Comprobó que algunos de los ceros estaban en la línea crítica con parte real 1/2 y sugirió que todos lo estaban; esta es la hipótesis de Riemann.

El resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos porque es tan inesperado que conecta dos áreas aparentemente no relacionadas en las matemáticas; a saber, la teoría de números , que es el estudio de lo discreto, y el análisis complejo , que se ocupa de los procesos continuos.

—  (Burton 2006, pág. 376)

Los usos prácticos de la hipótesis de Riemann incluyen muchas proposiciones que se sabe que son verdaderas bajo la hipótesis de Riemann y algunas que pueden demostrarse como equivalentes a la hipótesis de Riemann.

La fórmula explícita de Riemann para el número de primos menores que un número dado establece que, en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, la magnitud de las oscilaciones de los primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta. En particular, el término de error en el teorema de los números primos está estrechamente relacionado con la posición de los ceros. Por ejemplo, si β es el límite superior de las partes reales de los ceros, entonces ^[4] , donde es la función de conteo de primos , es la función integral logarítmica , es el logaritmo natural de x , y aquí se utiliza la notación O mayúscula . Ya se sabe que 1/2 ≤  β  ≤ 1. ^[5]${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \log(x)}$

Von Koch (1901) demostró que la hipótesis de Riemann implica el límite "mejor posible" para el error del teorema de los números primos. Una versión precisa del resultado de von Koch, debida a Schoenfeld (1976), dice que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

Schoenfeld (1976) también demostró que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x,\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

¿Dónde está la segunda función de Chebyshev ?${\displaystyle \psi (x)}$

Dudek (2014) demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo existe un primo que satisface${\displaystyle x\geq 2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

La constante 4/ π puede reducirse a (1 +  ε ) siempre que se considere que x es suficientemente grande. Esta es una versión explícita de un teorema de Cramér .

La hipótesis de Riemann implica límites fuertes en el crecimiento de muchas otras funciones aritméticas , además de la función de conteo de números primos mencionada anteriormente.

Un ejemplo es la función de Möbius μ. La afirmación de que la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

es válida para todo s con parte real mayor que 1/2, con la suma del lado derecho convergiendo, es equivalente a la hipótesis de Riemann. De esto también podemos concluir que si la función de Mertens está definida por

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

Entonces la afirmación de que

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

para cada ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann ( JE Littlewood , 1912; ver por ejemplo: párrafo 14.25 en Titchmarsh (1986)). El determinante de la matriz de Redheffer de orden n es igual a M ( n ), por lo que la hipótesis de Riemann también puede enunciarse como una condición sobre el crecimiento de estos determinantes. El resultado de Littlewood ha sido mejorado varias veces desde entonces, por Edmund Landau , ^[6] Edward Charles Titchmarsh , ^[7] Helmut Maier y Hugh Montgomery , ^[8] y Kannan Soundararajan . ^[9] El resultado de Soundararajan es que, condicional a la hipótesis de Riemann,

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

La hipótesis de Riemann establece un límite bastante estricto para el crecimiento de M , ya que Odlyzko y te Riele (1985) refutaron la conjetura ligeramente más fuerte de Mertens.

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

Otro resultado estrechamente relacionado se debe a Björner (2011), de que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la característica de Euler del complejo simplicial determinado por la red de números enteros bajo divisibilidad es para todos (véase álgebra de incidencia ).${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$${\displaystyle \epsilon >0}$

La hipótesis de Riemann es equivalente a muchas otras conjeturas sobre la tasa de crecimiento de otras funciones aritméticas aparte de μ( n ). Un ejemplo típico es el teorema de Robin , ^[10] que establece que si σ( n ) es la función sigma , dada por

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

entonces

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

para todo n > 5040 si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Jeffrey Lagarias propuso un límite relacionado en 2002, al demostrar que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

para cada número natural n > 1, donde es el n- ésimo número armónico . ^[11]${\displaystyle H_{n}}$

La hipótesis de Riemann también es verdadera si y sólo si la desigualdad

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

es cierto para todos los n ≥ 120569# donde φ ( n ) es la función totient de Euler y 120569# es el producto de los primeros 120569 primos. ^[12]

Otro ejemplo fue encontrado por Jérôme Franel y ampliado por Landau (véase Franel y Landau (1924)). La hipótesis de Riemann es equivalente a varias afirmaciones que muestran que los términos de la sucesión de Farey son bastante regulares. Una de esas equivalencias es la siguiente: si F _n es la sucesión de Farey de orden n , comenzando con 1/ n y hasta 1/1, entonces la afirmación de que para todo ε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

es el número de términos en la secuencia de Farey de orden n .

Para un ejemplo de la teoría de grupos , si g ( n ) es la función de Landau dada por el orden máximo de elementos del grupo simétrico S _n de grado n , entonces Massias, Nicolas y Robin (1988) demostraron que la hipótesis de Riemann es equivalente al límite

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todos los n suficientemente grandes .

La hipótesis de Riemann también tiene varias consecuencias más débiles; una es la hipótesis de Lindelöf sobre la tasa de crecimiento de la función zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquier ε > 0,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

como .${\displaystyle t\to \infty }$

La hipótesis de Riemann también implica límites bastante precisos para la tasa de crecimiento de la función zeta en otras regiones de la franja crítica. Por ejemplo, implica que

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

Por lo tanto, la tasa de crecimiento de ζ (1 +  it ) y su inversa se conocerían hasta un factor de 2. ^[13]

El teorema de los números primos implica que, en promedio, la brecha entre el primo p y su sucesor es log  p . Sin embargo, algunas brechas entre primos pueden ser mucho más grandes que el promedio. Cramér demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann, cada brecha es O ( √ p  log  p ). Este es un caso en el que incluso el mejor límite que se puede demostrar utilizando la hipótesis de Riemann es mucho más débil de lo que parece cierto: la conjetura de Cramér implica que cada brecha es O ((log  p ) ² ), que, aunque es más grande que la brecha promedio, es mucho más pequeña que el límite implícito por la hipótesis de Riemann. La evidencia numérica apoya la conjetura de Cramér. ^[14]

Se han encontrado muchas afirmaciones equivalentes a la hipótesis de Riemann, aunque hasta ahora ninguna de ellas ha permitido avanzar mucho en su demostración (o refutación). Algunos ejemplos típicos son los siguientes (otros implican la función divisora ​​σ( n ).)

El criterio de Riesz fue dado por Riesz (1916), en el sentido de que el límite

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

se cumple para todo ε > 0 si y solo si se cumple la hipótesis de Riemann. Véase también el criterio de Hardy-Littlewood .

Nyman (1950) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si el espacio de funciones de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

donde ρ ( z ) es la parte fraccionaria de z , 0 ≤ θ _ν ≤ 1 , y

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

es denso en el espacio de Hilbert L ² (0,1) de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario. Beurling (1955) extendió esto al mostrar que la función zeta no tiene ceros con parte real mayor que 1/ p si y solo si este espacio de funciones es denso en L ^p (0,1). Este criterio de Nyman-Beurling fue reforzado por Baez-Duarte ^[15] para el caso donde .${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$

Salem (1953) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si la ecuación integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

no tiene soluciones acotadas no triviales para .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

El criterio de Weil es la afirmación de que la positividad de una determinada función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado con esto está el criterio de Li , una afirmación de que la positividad de una determinada secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Speiser (1934) demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que , la derivada de , no tiene ceros en la franja${\displaystyle \zeta '(s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Que sólo tenga ceros simples en la línea crítica es equivalente a que su derivada no tenga ceros en la línea crítica.${\displaystyle \zeta (s)}$

La secuencia de Farey proporciona dos equivalencias, debidas a Jerome Franel y Edmund Landau en 1924.

La constante de Bruijn-Newman, denotada por Λ y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman , se define como el único número real tal que la función

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

que está parametrizada por un parámetro real λ , tiene una variable compleja z y se define utilizando una función de decrecimiento superexponencial

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$.

tiene solo ceros reales si y solo si λ ≥ Λ. Dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de H (0,  z ) son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que . Brad Rodgers y Terence Tao descubrieron que la equivalencia es en realidad al demostrar que cero es el límite inferior de la constante. ^[16] Probar que cero también es el límite superior probaría, por lo tanto, la hipótesis de Riemann. A partir de abril de 2020, el límite superior es . ^[17]${\displaystyle \Lambda \leq 0}$${\displaystyle \Lambda =0}$${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

Varias aplicaciones utilizan la hipótesis de Riemann generalizada para las series L de Dirichlet o las funciones zeta de cuerpos numéricos en lugar de solo la hipótesis de Riemann. Muchas propiedades básicas de la función zeta de Riemann se pueden generalizar fácilmente a todas las series L de Dirichlet, por lo que es plausible que un método que demuestre la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann también funcione para la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet. Varios resultados que primero se demostraron utilizando la hipótesis de Riemann generalizada recibieron posteriormente pruebas incondicionales sin utilizarla, aunque estas eran generalmente mucho más difíciles. Muchas de las consecuencias de la siguiente lista se han tomado de Conrad (2010).

• En 1913, Grönwall demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de Gauss de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 está completa, aunque Baker, Stark y Heegner posteriormente dieron pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis de Riemann generalizada.
• En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev que dice que los primos 3 módulo 4 son más comunes que los primos 1 módulo 4 en cierto sentido. (Para resultados relacionados, véase Teorema de los números primos § Carrera de los números primos ).$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$
• En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una forma débil de la conjetura de Goldbach para números impares: que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, aunque en 1937 Vinogradov dio una prueba incondicional. En 1997 Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos. En 2013 Harald Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach sin la dependencia de GRH, sujeta a algunos cálculos extensos completados con la ayuda de David J. Platt.
• En 1934, Chowla demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que el primer primo en la progresión aritmética a módulo m es como máximo Km ² log( m ) ² para alguna constante fija K .
• En 1967, Hooley demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
• En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de números idealistas de Euler está completa.
• Weinberger (1973) demostró que la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones zeta de todos los cuerpos numéricos algebraicos implica que cualquier cuerpo numérico con número de clase 1 es euclidiano o un cuerpo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o −163.
• En 1976, G. Miller demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que se puede comprobar si un número es primo en tiempo polinómico mediante la prueba de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron este resultado de manera incondicional utilizando la prueba de primalidad AKS .
• Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la hipótesis de Riemann generalizada para brindar estimaciones más precisas de discriminantes y números de clase de campos numéricos.
• Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los números enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.
• En 2021, Alexander (Alex) Dunn y Maksym Radziwill demostraron la conjetura de Patterson sobre sumas de Gauss cúbicas , bajo el supuesto del GRH. ^{[18] [19]}

Algunas consecuencias de la RH son también consecuencias de su negación, y por lo tanto son teoremas. En su discusión del teorema de Hecke, Deuring, Mordell y Heilbronn, Ireland y Rosen (1990, p. 359) dicen:

El método de prueba es realmente asombroso. Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces el teorema es verdadero. Si la hipótesis generalizada de Riemann es falsa, entonces el teorema es verdadero. Por lo tanto, ¡el teorema es verdadero!

Se debe tener cuidado de entender qué se quiere decir cuando se afirma que la hipótesis de Riemann generalizada es falsa: se debe especificar exactamente qué clase de serie de Dirichlet tiene un contraejemplo.

Se trata del signo del error en el teorema de los números primos . Se ha calculado que π ( x ) < li( x ) para todo x ≤ 10 ²⁵ (véase esta tabla ), y no se conoce ningún valor de x para el cual π ( x ) > li( x ).

En 1914, Littlewood demostró que hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

y que también hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Por lo tanto, la diferencia π ( x ) − li( x ) cambia de signo infinitas veces. El número de Skewes es una estimación del valor de x correspondiente al primer cambio de signo.

La prueba de Littlewood se divide en dos casos: se supone que la RH es falsa (aproximadamente media página de Ingham 1932, Cap. V), y se supone que la RH es verdadera (aproximadamente una docena de páginas). Stanisław Knapowski (1962) continuó con esto con un artículo sobre el número de veces que cambia de signo en el intervalo .${\displaystyle \Delta (n)}$${\displaystyle \Delta (n)}$

Esta es la conjetura (formulada por primera vez en el artículo 303 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ) de que solo hay un número finito de cuerpos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado. Una forma de demostrarla sería mostrar que, como el discriminante D → −∞, el número de clase h ( D ) → ∞ .

La siguiente secuencia de teoremas que involucran la hipótesis de Riemann se describe en Ireland & Rosen 1990, págs. 358-361:

(En el trabajo de Hecke y Heilbronn, las únicas funciones L que ocurren son aquellas asociadas a caracteres cuadráticos imaginarios, y es solo para esas funciones L que se pretende que GRH sea verdadero o GRH sea falso ; una falla de GRH para la función L de un carácter cúbico de Dirichlet significaría, estrictamente hablando, que GRH es falso, pero ese no era el tipo de falla de GRH que Heilbronn tenía en mente, por lo que su suposición era más restringida que simplemente que GRH es falso ).

En 1935, Carl Siegel reforzó el resultado sin utilizar RH o GRH de ninguna manera. ^{[20] [21]}

En 1983, JL Nicolas demostró que para una cantidad infinita de n , donde φ ( n ) es la función totiente de Euler y γ es la constante de Euler . Ribenboim señala que: "El método de prueba es interesante, ya que la desigualdad se muestra primero bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, y en segundo lugar bajo el supuesto contrario". ^[22]$${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

La hipótesis de Riemann se puede generalizar reemplazando la función zeta de Riemann por las funciones L globales, formalmente similares, pero mucho más generales . En este contexto más amplio, se espera que los ceros no triviales de las funciones L globales tengan una parte real 1/2. Son estas conjeturas, en lugar de la hipótesis clásica de Riemann solo para la función zeta de Riemann, las que explican la verdadera importancia de la hipótesis de Riemann en matemáticas.

La hipótesis de Riemann generalizada extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones L de Dirichlet . En particular, implica la conjetura de que los ceros de Siegel (ceros de funciones L entre 1/2 y 1) no existen.

La hipótesis de Riemann extendida extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones zeta de Dedekind de cuerpos numéricos algebraicos . La hipótesis de Riemann extendida para la extensión abeliana de los racionales es equivalente a la hipótesis de Riemann generalizada. La hipótesis de Riemann también se puede extender a las funciones L de los caracteres de Hecke de cuerpos numéricos.

La gran hipótesis de Riemann la extiende a todas las funciones zeta automórficas , como las transformadas de Mellin de las formas propias de Hecke .

Artin (1924) introdujo funciones zeta globales de cuerpos de funciones (cuadráticas) y conjeturó un análogo de la hipótesis de Riemann para ellas, que fue probada por Hasse en el caso del género 1 y por Weil (1948) en general. Por ejemplo, el hecho de que la suma de Gauss , del carácter cuadrático de un cuerpo finito de tamaño q (con q impar), tenga valor absoluto es en realidad un ejemplo de la hipótesis de Riemann en el contexto de cuerpos de funciones. Esto llevó a Weil (1949) a conjeturar una afirmación similar para todas las variedades algebraicas ; las conjeturas de Weil resultantes fueron probadas por Pierre Deligne  (1974, 1980).${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

Las funciones zeta aritméticas generalizan las funciones zeta de Riemann y Dedekind, así como las funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos a todo esquema aritmético o a un esquema de tipo finito sobre números enteros. La función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional regular conexo de dimensión n de Kronecker se puede factorizar en el producto de factores L definidos apropiadamente y un factor auxiliar Jean-Pierre Serre  (1969–1970). Suponiendo una ecuación funcional y una continuación meromórfica, la hipótesis de Riemann generalizada para el factor L establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en la línea central. En consecuencia, la hipótesis de Riemann generalizada para la función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional regular conexo establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales y sus polos dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales . Esto es conocido para esquemas de característica positiva y se desprende de Pierre Deligne  (1974, 1980), pero sigue siendo totalmente desconocido en característica cero.${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

Selberg (1956) introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann. Estas funciones son similares a la función zeta de Riemann: tienen una ecuación funcional y un producto infinito similar al producto de Euler, pero aplicado a geodésicas cerradas en lugar de primos. La fórmula de la traza de Selberg es análoga para estas funciones a las fórmulas explícitas de la teoría de números primos. Selberg demostró que las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, con las partes imaginarias de sus ceros relacionadas con los valores propios del operador laplaciano de la superficie de Riemann.

La función zeta de Ihara de un grafo finito es análoga a la función zeta de Selberg , que fue introducida por primera vez por Yasutaka Ihara en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos. Un grafo finito regular es un grafo de Ramanujan , un modelo matemático de redes de comunicación eficientes, si y solo si su función zeta de Ihara satisface el análogo de la hipótesis de Riemann como lo señaló T. Sunada .

Montgomery (1973) sugirió la conjetura de correlación de pares según la cual las funciones de correlación de los ceros (adecuadamente normalizados) de la función zeta deberían ser las mismas que las de los valores propios de una matriz hermítica aleatoria . Odlyzko (1987) demostró que esto está respaldado por cálculos numéricos a gran escala de estas funciones de correlación.

Montgomery demostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos 2/3 de todos los ceros son simples, y una conjetura relacionada es que todos los ceros de la función zeta son simples (o más generalmente no tienen relaciones lineales enteras no triviales entre sus partes imaginarias). Las funciones zeta de Dedekind de cuerpos de números algebraicos, que generalizan la función zeta de Riemann, a menudo tienen múltiples ceros complejos. ^[23] Esto se debe a que las funciones zeta de Dedekind se factorizan como un producto de potencias de funciones L de Artin , por lo que los ceros de las funciones L de Artin a veces dan lugar a múltiples ceros de funciones zeta de Dedekind. Otros ejemplos de funciones zeta con múltiples ceros son las funciones L de algunas curvas elípticas : estas pueden tener múltiples ceros en el punto real de su línea crítica; la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que la multiplicidad de este cero es el rango de la curva elíptica.

Existen muchos otros ejemplos de funciones zeta con análogos de la hipótesis de Riemann, algunos de los cuales han sido probados. Las funciones zeta de Goss de cuerpos de funciones tienen una hipótesis de Riemann, probada por Sheats (1998). La conjetura principal de la teoría de Iwasawa , probada por Barry Mazur y Andrew Wiles para cuerpos ciclotómicos , y Wiles para cuerpos totalmente reales , identifica los ceros de una función L p -ádica con los valores propios de un operador, por lo que puede considerarse como un análogo de la conjetura de Hilbert–Pólya para funciones L p -ádicas . ^[24]

Varios matemáticos han abordado la hipótesis de Riemann, pero ninguno de sus intentos ha sido aceptado como prueba. Watkins (2021) enumera algunas soluciones incorrectas.

Hilbert y Pólya sugirieron que una forma de derivar la hipótesis de Riemann sería encontrar un operador autoadjunto , de cuya existencia se seguiría el enunciado sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) cuando se aplica el criterio sobre valores propios reales . Algo de apoyo para esta idea proviene de varios análogos de las funciones zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a valores propios de algún operador: los ceros de una función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito corresponden a valores propios de un elemento de Frobenius en un grupo de cohomología étale , los ceros de una función zeta de Selberg son valores propios de un operador laplaciano de una superficie de Riemann, y los ceros de una función zeta p-ádica corresponden a vectores propios de una acción de Galois en grupos de clases ideales .

Odlyzko (1987) demostró que la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann comparte algunas propiedades estadísticas con los valores propios de matrices aleatorias extraídas del conjunto unitario gaussiano . Esto respalda en cierta medida la conjetura de Hilbert-Pólya .

En 1999, Michael Berry y Jonathan Keating conjeturaron que existe alguna cuantificación desconocida del hamiltoniano clásico H = xp de modo que, y aún más fuertemente, los ceros de Riemann coinciden con el espectro del operador . Esto contrasta con la cuantificación canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg y a los números naturales como espectro del oscilador armónico cuántico . El punto crucial es que el hamiltoniano debería ser un operador autoadjunto de modo que la cuantificación fuera una realización del programa de Hilbert-Pólya. En conexión con este problema mecánico cuántico, Berry y Connes habían propuesto que la inversa del potencial del hamiltoniano está conectada a la semiderivada de la función entonces, en el enfoque de Hilbert-Polya Esto produce un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros de Riemann, y también que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es simplemente la función Xi de Riemann . De hecho, la función Xi de Riemann sería proporcional al determinante funcional ( producto de Hadamard ). Sin embargo, este operador no es útil en la práctica ya que incluye la función inversa (función implícita) del potencial pero no el potencial en sí. La analogía con la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos sugiere que el espacio de Hilbert que contiene vectores propios correspondientes a los ceros podría ser algún tipo de primer grupo de cohomología del espectro Spec ( Z ) de los números enteros. Deninger (1998) describió algunos de los intentos de encontrar dicha teoría de cohomología. ^[25]${\displaystyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$$${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$$${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

Zagier (1981) construyó un espacio natural de funciones invariantes en el semiplano superior que tiene valores propios bajo el operador laplaciano que corresponden a ceros de la función zeta de Riemann, y señaló que en el improbable caso de que uno pudiera demostrar la existencia de un producto interno definido positivo adecuado en este espacio, se seguiría la hipótesis de Riemann. Cartier (1982) analizó un ejemplo relacionado, donde debido a un extraño error un programa de computadora enumeraba ceros de la función zeta de Riemann como valores propios del mismo operador laplaciano .

Schumayer y Hutchinson (2011) examinaron algunos de los intentos de construir un modelo físico adecuado relacionado con la función zeta de Riemann.

El teorema de Lee-Yang establece que los ceros de ciertas funciones de partición en la mecánica estadística se encuentran todos en una "línea crítica" con su parte real igual a 0, y esto ha llevado a algunas especulaciones sobre una relación con la hipótesis de Riemann. ^[26]

Pál Turán  (1948) demostró que si las funciones no tienen ceros cuando la parte real de s es mayor que uno entonces donde λ( n ) es la función de Liouville dada por (−1) ^r si n tiene r factores primos. Demostró que esto a su vez implicaría que la hipótesis de Riemann es verdadera. Pero Haselgrove (1958) demostró que T ( x ) es negativo para infinitos x (y también refutó la conjetura de Pólya estrechamente relacionada ), y Borwein, Ferguson y Mossinghoff (2008) demostraron que el más pequeño de tales x es 72 185 376 951 205 . Spira (1968) demostró mediante cálculo numérico que la serie finita de Dirichlet anterior para N = 19 tiene un cero con parte real mayor que 1. Turán también demostró que una suposición algo más débil, la inexistencia de ceros con parte real mayor que 1+ N ^−1/2+ε para N grande en la serie finita de Dirichlet anterior, también implicaría la hipótesis de Riemann, pero Montgomery (1983) demostró que para todos los N suficientemente grandes estas series tienen ceros con parte real mayor que 1 + (log log N )/(4 log N ) . Por lo tanto, el resultado de Turán es vacuamente verdadero y no puede ayudar a probar la hipótesis de Riemann.$${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

Connes  (1999, 2000) ha descrito una relación entre la hipótesis de Riemann y la geometría no conmutativa , y ha demostrado que un análogo adecuado de la fórmula de traza de Selberg para la acción del grupo de clases idèle sobre el espacio de clases adèle implicaría la hipótesis de Riemann. Algunas de estas ideas se desarrollan en Lapidus (2008).

Louis de Branges  (1992) demostró que la hipótesis de Riemann se seguiría de una condición de positividad en un cierto espacio de Hilbert de funciones enteras . Sin embargo, Conrey y Li (2000) demostraron que las condiciones de positividad necesarias no se satisfacen. A pesar de este obstáculo, de Branges ha seguido trabajando en un intento de prueba de la hipótesis de Riemann en la misma línea, pero esto no ha sido ampliamente aceptado por otros matemáticos. ^[27]

La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal , una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson (2009) sugirió intentar probar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, cuasicristales unidimensionales.

Cuando se pasa de la dimensión geométrica uno, por ejemplo, un cuerpo numérico algebraico , a la dimensión geométrica dos, por ejemplo, un modelo regular de una curva elíptica sobre un cuerpo numérico, la parte bidimensional de la hipótesis generalizada de Riemann para la función zeta aritmética del modelo trata de los polos de la función zeta. En la dimensión uno, el estudio de la integral zeta en la tesis de Tate no conduce a nueva información importante sobre la hipótesis de Riemann. Por el contrario, en la dimensión dos, el trabajo de Ivan Fesenko sobre la generalización bidimensional de la tesis de Tate incluye una representación integral de una integral zeta estrechamente relacionada con la función zeta. En esta nueva situación, no posible en la dimensión uno, los polos de la función zeta se pueden estudiar a través de la integral zeta y los grupos de Adele asociados. La conjetura relacionada de Fesenko  (2010) sobre la positividad de la cuarta derivada de una función de frontera asociada a la integral zeta implica esencialmente la parte polar de la hipótesis generalizada de Riemann. Suzuki (2011) demostró que esto último, junto con algunos supuestos técnicos, implica la conjetura de Fesenko.

La prueba de Deligne de la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos utilizó las funciones zeta de variedades de productos, cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta original, para acotar las partes reales de los ceros de la función zeta original. Por analogía, Kurokawa (1992) introdujo funciones zeta múltiples cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta de Riemann. Para hacer que la serie converja, la restringió a sumas de ceros o polos, todos con parte imaginaria no negativa. Hasta ahora, los límites conocidos de los ceros y polos de las funciones zeta múltiples no son lo suficientemente fuertes como para proporcionar estimaciones útiles para los ceros de la función zeta de Riemann.

La ecuación funcional combinada con el principio de argumento implica que el número de ceros de la función zeta con parte imaginaria entre 0 y T está dado por

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

para s = 1/2+i T , donde el argumento se define variándolo continuamente a lo largo de la línea con Im( s )= T , comenzando con el argumento 0 en ∞+i T . Esta es la suma de un término grande pero bien entendido

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

y un término pequeño pero bastante misterioso

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

Por lo tanto, la densidad de ceros con parte imaginaria cerca de T es aproximadamente log( T )/(2 π ), y la función S describe las pequeñas desviaciones con respecto a esto. La función S ( t ) salta en 1 en cada cero de la función zeta, y para t ≥ 8 decrece monótonamente entre ceros con derivada cercana a −log t .

Trudgian (2014) demostró que, si , entonces${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Karatsuba (1996) demostró que cada intervalo ( T , T + H ] para contiene al menos${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo.

Selberg (1946) demostró que los momentos promedio de potencias pares de S están dados por

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Esto sugiere que S ( T )/(log log T ) ^1/2 se asemeja a una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 2 π ² (Ghosh (1983) demostró este hecho). En particular, | S ( T )| suele estar en algún lugar alrededor de (log log T ) ^1/2 , pero ocasionalmente es mucho mayor. El orden exacto de crecimiento de S ( T ) no se conoce. No ha habido una mejora incondicional del límite original de Riemann S ( T )=O(log T ), aunque la hipótesis de Riemann implica el límite ligeramente más pequeño S ( T )=O(log T /log log T ). ^[13] El verdadero orden de magnitud puede ser algo menor que esto, ya que las funciones aleatorias con la misma distribución que S ( T ) tienden a tener un crecimiento del orden de log( T ) ^1/2 . En la otra dirección no puede ser demasiado pequeña: Selberg (1946) demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 ) , y asumiendo la hipótesis de Riemann, Montgomery demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 ) .

Los cálculos numéricos confirman que S crece muy lentamente: | S ( T )| < 1 para T < 280 , | S ( T )| < 2 para T  <  6 800 000 , y el mayor valor de | S ( T )| encontrado hasta ahora no es mucho mayor que 3. ^[28]

La estimación de Riemann S ( T ) = O(log T ) implica que las brechas entre ceros están acotadas, y Littlewood mejoró esto ligeramente, mostrando que las brechas entre sus partes imaginarias tienden a 0.

Hadamard (1896) y de la Vallée-Poussin (1896) demostraron independientemente que ningún cero podía estar en la línea Re( s ) = 1. Junto con la ecuación funcional y el hecho de que no hay ceros con parte real mayor que 1, esto demostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la franja crítica 0 < Re( s ) < 1 . Este fue un paso clave en sus primeras demostraciones del teorema de los números primos .

Las dos pruebas originales de que la función zeta no tiene ceros con la parte real 1 son similares y dependen de demostrar que si ζ (1 +  it ) se anula, entonces ζ (1 + 2 it ) es singular, lo cual no es posible. Una forma de hacer esto es usando la desigualdad

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

para σ > 1, t real, y mirando el límite como σ → 1. Esta desigualdad se deduce tomando la parte real del logaritmo del producto de Euler para ver que

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

donde la suma es sobre todas las potencias primas p ⁿ , de modo que

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

que es al menos 1 porque todos los términos de la suma son positivos, debido a la desigualdad

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

La búsqueda informática más extensa realizada por Platt y Trudgian ^[17] para encontrar contraejemplos de la hipótesis de Riemann la ha verificado para . Más allá de eso, las regiones sin ceros se conocen como desigualdades relativas a σ + i t , que pueden ser ceros. La versión más antigua es de De la Vallée-Poussin (1899-1900), quien demostró que existe una región sin ceros que satisface 1 − σ ≥ ⁠${\displaystyle |t|\leq 3.0001753328\cdot 10^{12}}$do/registro( t )⁠ para alguna constante positivaC. En otras palabras, los ceros no pueden estar demasiado cerca de la líneaσ = 1:hay una región libre de ceros cerca de esta línea. Esto ha sido ampliado por varios autores utilizando métodos comoel teorema del valor medio de Vinogradov.

El artículo más reciente ^[29] de Mossinghoff, Trudgian y Yang es de diciembre de 2022 y proporciona cuatro regiones libres de cero que mejoraron los resultados anteriores de Kevin Ford de 2002, los propios Mossinghoff y Trudgian de 2015 y la ligera mejora de Ford de Pace Nielsen de octubre de 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$cuando sea ,${\displaystyle |t|\geq 2}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$siempre que (región más grande conocida en el límite ),${\displaystyle |t|\geq 3}$${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$siempre que (región más grande conocida en el límite ) y${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$siempre que (la región más grande conocida en su propio límite)${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$

El artículo también presenta una mejora de la segunda región libre de ceros, cuyos límites son desconocidos debido a que simplemente se supone que son "suficientemente grandes" para cumplir con los requisitos de la prueba del artículo. Esta región es${\displaystyle |t|}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

Hardy (1914) y Hardy & Littlewood (1921) demostraron que hay infinitos ceros en la línea crítica, al considerar momentos de ciertas funciones relacionadas con la función zeta. Selberg (1942) demostró que al menos una (pequeña) proporción positiva de ceros se encuentra en la línea. Levinson (1974) mejoró esto a un tercio de los ceros al relacionar los ceros de la función zeta con los de su derivada, y Conrey (1989) lo mejoró aún más a dos quintos. En 2020, Pratt, Robles, Zaharescu y Zeindler ^[30] ampliaron esta estimación a cinco doceavos al considerar suavizadores extendidos que pueden acomodar derivadas de orden superior de la función zeta y sus sumas de Kloosterman asociadas.

La mayoría de los ceros se encuentran cerca de la línea crítica. Más precisamente, Bohr y Landau (1914) demostraron que para cualquier ε positivo, el número de ceros con parte real al menos 1/2+ε y parte imaginaria en entre -T y T es . Combinado con los hechos de que los ceros en la franja crítica son simétricos respecto de la línea crítica y que el número total de ceros en la franja crítica es , casi todos los ceros no triviales están dentro de una distancia ε de la línea crítica. Ivić (1985) da varias versiones más precisas de este resultado, llamadas estimaciones de densidad cero , que limitan el número de ceros en regiones con parte imaginaria como máximo T y parte real al menos 1/2+ε.${\displaystyle O(T)}$${\displaystyle \Theta (T\log T)}$

En 1914 Godfrey Harold Hardy demostró que tiene infinitos ceros reales.${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Las siguientes dos conjeturas de Hardy y John Edensor Littlewood sobre la distancia entre ceros reales de y sobre la densidad de ceros de en el intervalo para suficientemente grande , y y con el menor valor posible de , donde es un número arbitrariamente pequeño, abren dos nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann:${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Para cualquier existe un límite inferior tal que para y el intervalo contiene un cero de orden impar de la función .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Sea el número total de ceros reales, y el número total de ceros de orden impar de la función que se encuentra en el intervalo .${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0}(T)}$${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$${\displaystyle (0,T]~}$

2. Para cualquier existe y algún , tal que para y la desigualdad es verdadera.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Atle Selberg  (1942) investigó el problema de Hardy–Littlewood 2 y demostró que para cualquier ε > 0 existe tal y c = c (ε) > 0, tal que para y la desigualdad es verdadera. Selberg conjeturó que esto podría ajustarse a . AA Karatsuba  (1984a, 1984b, 1985) demostró que para un ε fijo que satisface la condición 0 < ε < 0,001, un T suficientemente grande y , , el intervalo ( T , T + H ) contiene al menos cH log( T ) ceros reales de la función zeta de Riemann y, por lo tanto, confirmó la conjetura de Selberg. Las estimaciones de Selberg y Karatsuba no se pueden mejorar con respecto al orden de crecimiento cuando T → ∞.${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$${\displaystyle H=T^{0.5}}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Karatsuba (1992) demostró que un análogo de la conjetura de Selberg se cumple para casi todos los intervalos ( T , T + H ], , donde ε es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. El método de Karatsuba permite investigar ceros de la función zeta de Riemann en intervalos "supercortos" de la línea crítica, es decir, en los intervalos ( T , T + H ], cuya longitud H crece más lentamente que cualquier grado T , incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado ε, que satisface las condiciones casi todos los intervalos ( T , T + H ] para contienen al menos ceros de la función . Esta estimación es bastante cercana a la que se desprende de la hipótesis de Riemann.${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

La función

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

tiene los mismos ceros que la función zeta en la franja crítica, y es real en la línea crítica debido a la ecuación funcional, por lo que se puede demostrar la existencia de ceros exactamente en la línea real entre dos puntos comprobando numéricamente que la función tiene signos opuestos en estos puntos. Normalmente se escribe

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

donde la función Z de Hardy y la función theta de Riemann-Siegel θ están definidas de forma única por esto y la condición de que sean funciones reales suaves con θ (0) = 0. Al encontrar muchos intervalos donde la función Z cambia de signo, se puede demostrar que hay muchos ceros en la línea crítica. Para verificar la hipótesis de Riemann hasta una parte imaginaria dada T de los ceros, también hay que comprobar que no hay más ceros fuera de la línea en esta región. Esto se puede hacer calculando el número total de ceros en la región utilizando el método de Turing y comprobando que es el mismo que el número de ceros encontrados en la línea. Esto permite verificar la hipótesis de Riemann computacionalmente hasta cualquier valor deseado de T (siempre que todos los ceros de la función zeta en esta región sean simples y estén en la línea crítica).

Estos cálculos también se pueden utilizar para estimar rangos finitos de . Por ejemplo, utilizando el último resultado de 2020 (ceros hasta la altura ), se ha demostrado que${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3\times 10^{12}}$

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

En general, esta desigualdad se cumple si

${\displaystyle x\geq 2657}$y${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

donde es el valor más grande conocido tal que la hipótesis de Riemann es verdadera para todos los ceros con . ^[31]${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$

A continuación se enumeran algunos cálculos de ceros de la función zeta, donde la "altura" de un cero es la magnitud de su parte imaginaria y la altura del n -ésimo cero se denota por γ _n . Hasta ahora, todos los ceros que se han comprobado están en la línea crítica y son simples. (Un cero múltiple causaría problemas para los algoritmos de búsqueda de ceros, que dependen de la búsqueda de cambios de signo entre ceros). Para ver las tablas de los ceros, consulte Haselgrove y Miller (1960) u Odlyzko.

Un punto de Gram es un punto en la línea crítica 1/2 +  it donde la función zeta es real y distinta de cero. Usando la expresión para la función zeta en la línea crítica, ζ (1/2 +  it ) = Z ( t )e  ^{−  iθ ( t )} , donde la función de Hardy, Z , es real para t real , y θ es la función theta de Riemann–Siegel , vemos que zeta es real cuando sin( θ ( t )) = 0. Esto implica que θ ( t ) es un múltiplo entero de π , lo que permite calcular la ubicación de los puntos de Gram con bastante facilidad invirtiendo la fórmula para θ . Por lo general, se numeran como g _n para n = 0, 1, ..., donde g _n es la solución única de θ ( t ) = n π .

Gram observó que a menudo había exactamente un cero de la función zeta entre dos puntos de Gram cualesquiera; Hutchinson llamó a esta observación ley de Gram . Hay otras afirmaciones estrechamente relacionadas que también se denominan a veces ley de Gram: por ejemplo, (−1) ⁿ Z ( g _n ) suele ser positivo, o Z ( t ) suele tener signo opuesto en puntos de Gram consecutivos. Las partes imaginarias γ _n de los primeros ceros (en azul) y los primeros puntos de Gram g _n se dan en la siguiente tabla

El primer fallo de la ley de Gram se produce en el cero 127 y en el punto de Gram g ₁₂₆ , que están en el orden "incorrecto".

Un punto de Gram t se llama bueno si la función zeta es positiva en 1/2 + it . Los índices de los puntos de Gram "malos" donde Z tiene el signo "incorrecto" son 126, 134, 195, 211, ... (secuencia A114856 en la OEIS ). Un bloque de Gram es un intervalo limitado por dos puntos de Gram buenos de modo que todos los puntos de Gram entre ellos son malos. Un refinamiento de la ley de Gram llamada regla de Rosser debido a Rosser, Yohe y Schoenfeld (1969) dice que los bloques de Gram a menudo tienen el número esperado de ceros en ellos (el mismo que el número de intervalos de Gram), aunque algunos de los intervalos de Gram individuales en el bloque pueden no tener exactamente un cero en ellos. Por ejemplo, el intervalo limitado por g ₁₂₅ y g ₁₂₇ es un bloque de Gram que contiene un único punto de Gram incorrecto g ₁₂₆ y contiene el número esperado de ceros 2 aunque ninguno de sus dos intervalos de Gram contiene un único cero. Rosser et al. comprobaron que no había excepciones a la regla de Rosser en los primeros 3 millones de ceros, aunque hay infinitas excepciones a la regla de Rosser sobre toda la función zeta.

Tanto la regla de Gram como la regla de Rosser dicen que, en cierto sentido, los ceros no se alejan demasiado de sus posiciones esperadas. La distancia de un cero desde su posición esperada está controlada por la función S definida anteriormente, que crece extremadamente lentamente: su valor promedio es del orden de (log log T ) ^1/2 , que solo llega a 2 para T alrededor de 10 ²⁴ . Esto significa que ambas reglas se cumplen la mayor parte del tiempo para T pequeñas , pero eventualmente fallan a menudo. De hecho, Trudgian (2011) mostró que tanto la ley de Gram como la regla de Rosser fallan en una proporción positiva de casos. Para ser más específicos, se espera que en aproximadamente el 66% un cero esté encerrado por dos puntos de Gram sucesivos, pero en el 17% ningún cero y en el 17% dos ceros estén en tal intervalo de Gram en el largo plazo Hanga (2020).

Los artículos matemáticos sobre la hipótesis de Riemann tienden a ser cautelosamente evasivos sobre su veracidad. De los autores que expresan una opinión, la mayoría de ellos, como Riemann (1859) y Bombieri (2000), dan a entender que esperan (o al menos tienen la esperanza) de que sea cierta. Los pocos autores que expresan serias dudas al respecto incluyen a Ivić (2008), que enumera algunas razones para el escepticismo, y Littlewood (1962), que afirma rotundamente que cree que es falsa, que no hay evidencia de ello ni ninguna razón imaginable para que sea cierta. El consenso de los artículos de la encuesta (Bombieri 2000, Conrey 2003 y Sarnak 2005) es que la evidencia a favor de ella es sólida pero no abrumadora, de modo que, si bien es probable que sea cierta, hay una duda razonable.

Sarnak (2005), Conrey (2003) e Ivić (2008) enumeran algunos de los argumentos a favor y en contra de la hipótesis de Riemann, entre ellos los siguientes:

• Ya se han demostrado varios análogos de la hipótesis de Riemann. La prueba de la hipótesis de Riemann para variedades sobre cuerpos finitos por Deligne (1974) es posiblemente la razón teórica más sólida a favor de la hipótesis de Riemann. Esto proporciona cierta evidencia para la conjetura más general de que todas las funciones zeta asociadas con formas automorfas satisfacen una hipótesis de Riemann, que incluye la hipótesis clásica de Riemann como un caso especial. De manera similar, las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, y son en algunos aspectos similares a la función zeta de Riemann, teniendo una ecuación funcional y una expansión de producto infinita análoga a la expansión de producto de Euler. Pero también hay algunas diferencias importantes; por ejemplo, no están dadas por series de Dirichlet. La hipótesis de Riemann para la función zeta de Goss fue demostrada por Sheats (1998). En contraste con estos ejemplos positivos, algunas funciones zeta de Epstein no satisfacen la hipótesis de Riemann a pesar de que tienen un número infinito de ceros en la línea crítica. ^[13] Estas funciones son bastante similares a la función zeta de Riemann, y tienen una expansión en serie de Dirichlet y una ecuación funcional , pero las que se sabe que fallan en la hipótesis de Riemann no tienen un producto de Euler y no están directamente relacionadas con representaciones automórficas .
• En un principio, la verificación numérica de que hay muchos ceros en la línea parece una prueba sólida de ello. Pero la teoría analítica de números ha tenido muchas conjeturas respaldadas por evidencia numérica sustancial que resultaron ser falsas. Véase el número de Skewes para un ejemplo notorio, donde la primera excepción a una conjetura plausible relacionada con la hipótesis de Riemann probablemente ocurre alrededor de 10 ³¹⁶ ; un contraejemplo a la hipótesis de Riemann con una parte imaginaria de este tamaño estaría mucho más allá de cualquier cosa que pueda calcularse actualmente utilizando un enfoque directo. El problema es que el comportamiento a menudo está influenciado por funciones de crecimiento muy lento como log log T , que tienden al infinito, pero lo hacen tan lentamente que esto no puede detectarse mediante cálculo. Tales funciones ocurren en la teoría de la función zeta que controla el comportamiento de sus ceros; por ejemplo, la función S ( T ) anterior tiene un tamaño promedio alrededor de (log log T ) ^1/2 . Como S ( T ) aumenta al menos en 2 en cualquier contraejemplo de la hipótesis de Riemann, se podría esperar que los contraejemplos de la hipótesis de Riemann comiencen a aparecer solo cuando S ( T ) se vuelve grande. Nunca es mucho más de 3 en la medida en que se ha calculado, pero se sabe que no tiene límites, lo que sugiere que los cálculos pueden no haber alcanzado aún la región del comportamiento típico de la función zeta.
• El argumento probabilístico de Denjoy para la hipótesis de Riemann ^[33] se basa en la observación de que si μ( x ) es una secuencia aleatoria de "1"s y "−1"s entonces, para cada ε > 0 , las sumas parciales (cuyos valores son posiciones en un paseo aleatorio simple ) satisfacen el límite con probabilidad 1 . La hipótesis de Riemann es equivalente a este límite para la función de Möbius  μ y la función de Mertens M derivada de la misma manera de ella. En otras palabras, la hipótesis de Riemann es en cierto sentido equivalente a decir que μ( x ) se comporta como una secuencia aleatoria de lanzamientos de moneda. Cuando μ( x ) es distinto de cero, su signo da la paridad del número de factores primos de x , por lo que informalmente la hipótesis de Riemann dice que la paridad del número de factores primos de un entero se comporta aleatoriamente. Estos argumentos probabilísticos en la teoría de números a menudo dan la respuesta correcta, pero tienden a ser muy difíciles de hacer rigurosos y ocasionalmente dan la respuesta incorrecta para algunos resultados, como el teorema de Maier .$${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$$${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$
• Los cálculos de Odlyzko (1987) muestran que los ceros de la función zeta se comportan de forma muy similar a los valores propios de una matriz hermítica aleatoria , lo que sugiere que son los valores propios de algún operador autoadjunto, lo que implicaría la hipótesis de Riemann. Todos los intentos de encontrar dicho operador han fracasado.
• Existen varios teoremas, como la conjetura débil de Goldbach para números impares suficientemente grandes, que se demostraron primero utilizando la hipótesis generalizada de Riemann y que luego se demostró que eran ciertos incondicionalmente. Esto podría considerarse una evidencia débil de la hipótesis generalizada de Riemann, ya que varias de sus "predicciones" son verdaderas.
• El fenómeno de Lehmer , ^[34] donde dos ceros están a veces muy cerca, se da a veces como una razón para no creer en la hipótesis de Riemann. Pero uno esperaría que esto sucediera ocasionalmente por casualidad incluso si la hipótesis de Riemann es verdadera, y los cálculos de Odlyzko sugieren que los pares de ceros cercanos ocurren con la misma frecuencia que predice la conjetura de Montgomery .
• Patterson sugiere que la razón más convincente de la hipótesis de Riemann para la mayoría de los matemáticos es la esperanza de que los números primos se distribuyan lo más regularmente posible. ^[35]