Número ideal

En matemáticas, los números idoneos de Euler (también llamados números adecuados o números convenientes ) son los números enteros positivos D tales que cualquier número entero expresable de una sola manera como x ²  ±  Dy ² (donde x ² es primo relativo a Dy ² ) es una potencia prima o el doble de una potencia prima. En particular, un número que tiene dos representaciones distintas como suma de dos cuadrados es compuesto . Cada número idoneo genera un conjunto que contiene infinitos primos y faltan infinitos otros primos.

Un entero positivo n es ideal si y sólo si no puede escribirse como ab  +  bc  +  ac para enteros positivos distintos a, b y  c . ^[1]

Es suficiente considerar el conjunto { n + k ² | 3 . k ² ≤ n ∧ mcd ( n , k ) = 1 } ; si todos estos números son de la forma p , p ² , 2 · p o 2 ^s para algún entero s , donde p es un primo, entonces n es idéntico. ^[2]

Los 65 números idoneos descubiertos por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss y que se conjetura que son los únicos números de este tipo son

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 y 1848 (secuencia A000926 en la OEIS ).

Los resultados de Peter J. Weinberger de 1973 ^[3] implican que existen como máximo otros dos números idoneos, y que la lista anterior está completa si se cumple la hipótesis generalizada de Riemann (algunas fuentes afirman incorrectamente que los resultados de Weinberger implican que existe como máximo otro número idoneo). ^[4]

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas

• ZI Borevich y IR Shafarevich, Teoría de números . Academic Press, Nueva York, 1966, págs. 425–430.
• DA Cox (1989). Primos de la forma x ²  + ny ² . Wiley-Interscience. pág. 61. ISBN 0-471-50654-0.
• L. Euler, "Una ilustración de una paradoja sobre los números idóneos", 1806
• G. Frei, Los números convenientes de Euler, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 y 64.
• OH. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Matemáticas. Rev.85m:11019]
• GB Mathews, Teoría de números , Chelsea, sin fecha, pág. 263.
• P. Ribenboim , "Galimatias Arithmeticae", en Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA o, 'Mis números, mis amigos', cap. 11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, Sobre los números ideológicos de Euler, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil , Teoría de números: una aproximación a través de la historia; desde Hammurabi hasta Legendre , Birkhaeuser, Boston, 1984; véase pág. 188.
• P. Weinberger, Exponentes de los grupos de clases de campos cuadráticos complejos, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
• Ernst Kani, Números idénticos y algunas generalizaciones, Ann. Sci. Math. Québec 35, Núm. 2, (2011), 197-227.

• KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei
• M. Waldschmidt, Problemas diofánticos abiertos
• Weisstein, Eric W. "Número ideal". MathWorld .