Serie geométrica

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En matemáticas , una serie geométrica es una serie en la que la razón de los términos adyacentes sucesivos es constante. En otras palabras, la suma de los términos consecutivos de una secuencia geométrica forma una serie geométrica. Por lo tanto, cada término es la media geométrica de sus dos términos vecinos, de manera similar a cómo los términos de una serie aritmética son las medias aritméticas de sus dos términos vecinos.

Las series geométricas se han estudiado en matemáticas al menos desde la época de Euclides en su obra Elementos , que exploró las proporciones geométricas. ^[1] Arquímedes avanzó aún más en el estudio a través de su trabajo sobre sumas infinitas , particularmente en el cálculo de áreas y volúmenes de formas geométricas (por ejemplo, calculando el área dentro de una parábola ). ^{[2] [3]} En el desarrollo temprano del cálculo moderno , fueron ejemplos paradigmáticos tanto de series convergentes como de series divergentes y, por lo tanto, llegaron a ser referencias cruciales para las investigaciones de convergencia, por ejemplo, en la prueba de razón y la prueba de raíz para convergencia ^{[4] [5]} y en las definiciones de tasas de convergencia . ^[6] Las series geométricas han servido además como prototipos en el estudio de objetos matemáticos como la serie de Taylor , ^{[4] [5]} funciones generadoras , ^[7] y teorías de perturbación . ^[8]

Las series geométricas se han aplicado para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales y sociales, como la expansión del universo , donde la razón común entre términos está definida por la constante de Hubble , la desintegración de átomos radiactivos de carbono-14, donde la razón común entre términos está definida por la vida media del carbono-14 , las probabilidades de ganar en juegos de azar , donde la razón común podría determinarse por las probabilidades de una ruleta , y los valores económicos de las inversiones , donde la razón común podría determinarse por una combinación de tasas de inflación y tasas de interés .

En general, una serie geométrica se escribe como , donde es el término inicial y es la razón común entre términos adyacentes. ^{[4] [5]} Por ejemplo, la serie${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

es geométrico porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por .${\estilo de visualización 1/2}$

Las series geométricas truncadas se denominan "series geométricas finitas" en ciertas ramas de las matemáticas, especialmente en el cálculo del siglo XIX y en probabilidad y estadística y sus aplicaciones.${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\puntos +ar^{n}}$

La expresión estándar en notación sigma mayúscula ^{[9] [10]} para la serie geométrica infinita es

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _ {k=0}^{\infty }ar^{k}}$

y la expresión correspondiente para la serie geométrica finita es

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _ {k=0}^{n}ar^{k}.}$

Cualquier serie geométrica finita tiene como suma , y cuando la serie infinita converge al valor límite .${\displaystyle a(1-r^{n+1})/(1-r)}$${\estilo de visualización |r|<1}$${\displaystyle a/(1-r)}$

Aunque las series geométricas se encuentran y aplican más comúnmente con los números reales o complejos para y , también hay resultados y aplicaciones importantes para series geométricas con valores matriciales , series geométricas con valores de funciones , series geométricas de números p-ádicos , ^[11] y, de manera más general, series geométricas de elementos de campos algebraicos abstractos , anillos y semianillos . ^[12]${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización r}$

La serie geométrica es una serie infinita derivada de un tipo especial de sucesión llamada progresión geométrica , que se define con sólo dos parámetros : el término inicial y la razón común . Las series geométricas finitas tienen un tercer parámetro, la potencia del término final .${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\puntos }$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\puntos +ar^{n}}$${\displaystyle n.}$

En aplicaciones con unidades de medida , el término inicial proporciona las unidades de la serie y la razón común es una cantidad adimensional .${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización r}$

La siguiente tabla muestra varias series geométricas con distintos términos iniciales y razones comunes.

a	a	Serie de ejemplos
${\estilo de visualización 3}$	${\estilo de visualización 1}$	${\displaystyle 3+3+3+3+\puntos}$
${\estilo de visualización 3}$	${\estilo de visualización -1}$	${\displaystyle 3-3+3-3+3-3+\puntos}$·
${\estilo de visualización 4}$	${\estilo de visualización 10}$	${\displaystyle 4+40+400+4000+40000+\puntos}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\puntos }$
${\estilo de visualización 1}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}+\puntos }$
${\estilo de visualización 7}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle 7+0,7+0,07+0,007+0,0007+\puntos}$
${\estilo de visualización 1}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle 1+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{9}}+{\frac {8}{27}}+{\frac {16}{81}}+\puntos }$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 9+3+1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+\dots }$

La serie geométrica tiene el mismo coeficiente en cada término. ^[9] El primer término de una serie geométrica es igual a este coeficiente y es el parámetro de esa serie geométrica, dando su interpretación común: el "término inicial".${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Este término inicial define las unidades de medida de la serie en su conjunto, si las tiene, y en las aplicaciones se le nombrará a menudo según un sustantivo con esas unidades. Por ejemplo, podría ser una "masa inicial" en un problema de desintegración radiactiva , con unidades de masa de un isótopo , un "pago inicial" en finanzas matemáticas , con unidades de algún tipo de moneda , o una "población inicial" en demografía o ecología , con unidades de un tipo como la nacionalidad o la especie .${\displaystyle a}$

En la notación sigma mayúscula , este término se escribe técnicamente en lugar del simple . Esto es equivalente porque para cualquier número${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k},}$${\displaystyle ar^{0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{0}=1}$${\displaystyle r.}$

En cambio, una serie de potencias general tendría coeficientes que podrían variar de un término a otro. En otras palabras, la serie geométrica es un caso especial de la serie de potencias. Las conexiones entre series de potencias y series geométricas se analizan más adelante en la sección § Conexiones con series de potencias.${\displaystyle a_{0}+a_{1}r+a_{2}r^{2}+a_{3}r^{3}+\dots }$${\displaystyle a_{k}}$

El parámetro se llama razón común porque es la relación de cualquier término con el término anterior de la serie.${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}={\frac {ar^{k+1}}{ar^{k}}}}$

donde representa el término -ésimo de la serie geométrica.${\displaystyle t_{k}}$${\displaystyle k}$

La razón común puede considerarse como un multiplicador que se utiliza para calcular cada término siguiente de la serie a partir del término anterior. Debe ser una cantidad adimensional.${\displaystyle r}$

Cuando se le suele llamar tasa de crecimiento o tasa de expansión y cuando se le suele llamar tasa de decrecimiento o tasa de contracción, la idea de que es una "tasa" proviene de interpretarla como una especie de variable temporal discreta. Cuando un área de aplicación tiene un vocabulario especializado para tipos específicos de crecimiento, expansión, contracción y decrecimiento, ese vocabulario también se utilizará a menudo para nombrar parámetros de series geométricas. En economía , por ejemplo, las tasas de aumento y disminución de los niveles de precios se denominan tasas de inflación y tasas de deflación , mientras que las tasas de aumento de los valores de las inversiones incluyen las tasas de rendimiento y las tasas de interés .${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

La interpretación de como una variable de tiempo es a menudo exactamente correcta en aplicaciones, como los ejemplos de análisis amortizado de complejidad algorítmica y cálculo del valor actual de una anualidad en § Aplicaciones a continuación, donde representa un recuento de años. En tales aplicaciones también es común informar una "tasa de crecimiento" en términos de otra expresión como , que es una tasa de crecimiento porcentual , o , que es un tiempo de duplicación , lo opuesto a una vida media . Estos parámetros de tasa deben tener unidades de la inversa de las unidades de tiempo de , que pueden ser años (entonces la tasa es "por año"), días (entonces la tasa es "por día"), o cualquier otro recuento de eventos espaciados regularmente.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r-1)/100}$${\displaystyle 1/\log _{2}r}$${\displaystyle k}$

La razón común también puede ser un número complejo dado por , donde es la magnitud del número como un vector en el plano complejo , es el ángulo o argumento de ese vector, es el número de Euler , y . En este caso, la forma desarrollada de la serie geométrica es${\displaystyle r}$${\displaystyle \vert r\vert e^{i\theta }}$${\displaystyle |r|}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle e}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle a+a\vert r\vert e^{i\theta }+a\vert r\vert ^{2}e^{2i\theta }+a\vert r\vert ^{3}e^{3i\theta }+\dots }$

Un ejemplo de cómo se comporta esto para valores que aumentan linealmente en el tiempo con una frecuencia angular constante , tal que se muestra en el video adyacente. Para la serie geométrica se convierte en${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \theta =\omega _{0}t,}$${\displaystyle \theta =\omega _{0}t,}$

${\displaystyle a+a\vert r\vert e^{i\omega _{0}t}+a\vert r\vert ^{2}e^{2i\omega _{0}t}+a\vert r\vert ^{3}e^{3i\omega _{0}t}+\dots }$

donde el primer término es un vector de longitud que no cambia de orientación y todos los términos siguientes son vectores de longitudes proporcionales que giran en el plano complejo en múltiplos enteros de la frecuencia angular fundamental , también conocidos como armónicos de . Como muestra el video, estas sumas trazan un círculo. El período de rotación alrededor del círculo es .${\displaystyle a}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle 2\pi /\omega _{0}}$

Para mayor comodidad, en esta sección, la suma de la serie geométrica se denotará por y sus sumas parciales (las sumas de la serie que llegan hasta solo el término de potencia n ) se denotarán por${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{n}.}$

La convergencia de la secuencia infinita de sumas parciales de la serie geométrica infinita depende únicamente de la magnitud de la razón común :${\displaystyle r}$

• Si , los términos de la serie se acercan a cero (haciéndose cada vez más pequeños en magnitud) y la secuencia de sumas parciales converge a un valor límite, la prueba se proporciona a continuación. ^{[4] [5]}${\displaystyle \vert r\vert <1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\frac {a}{1-r}};}$
• Si los términos de la serie se hacen cada vez más grandes en magnitud y las sumas parciales de los términos también se hacen cada vez más grandes en magnitud, entonces la serie diverge . ^{[4] [5]}${\displaystyle \vert r\vert >1}$
• Si , los términos de la serie no se hacen mayores ni menores en magnitud y la secuencia de sumas parciales de la serie no converge. Cuando , todos los términos de la serie son iguales y crecen hasta el infinito. Cuando , los términos toman dos valores y alternativamente y por lo tanto la secuencia de sumas parciales de los términos oscila entre los dos valores y 0. Consideremos, por ejemplo, la serie de Grandi : . Las sumas parciales de los términos oscilan entre 1 y 0; la secuencia de sumas parciales no converge. Cuando y , las sumas parciales circulan periódicamente entre los valores , nunca convergiendo a un límite. Generalmente cuando para cualquier entero y con cualquier , las sumas parciales de la serie circularán indefinidamente con un período de , nunca convergiendo a un límite. ^[13]${\displaystyle \vert r\vert =1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle |S_{n}|}$${\displaystyle r=-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1-1+1-1+1+...}$${\displaystyle r=i}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle 1,1+i,i,0,1,1+i,i,0,\ldots }$${\displaystyle r=e^{2\pi i/\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \tau }$

Cuando la serie converge, la tasa de convergencia se hace más lenta a medida que se aproxima a ; ver § Tasa de convergencia. ^{[4] [5] [6]} El patrón de convergencia también depende del signo o argumento complejo de la razón común. Si y entonces los términos comparten todos el mismo signo y las sumas parciales de los términos se aproximan a su límite eventual de manera monótona . Si y , los términos adyacentes en la serie geométrica alternan entre positivo y negativo y las sumas parciales de los términos oscilan por encima y por debajo de su límite eventual . Para complejos y convergen en un patrón en espiral.${\displaystyle |r|}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle r<0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|<1,}$${\displaystyle S_{n}}$

La suma parcial de los primeros términos de una serie geométrica, hasta el término inclusive,${\displaystyle n+1}$${\displaystyle r^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},\end{aligned}}}$$

se da por la forma cerrada

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

donde r es la razón común. ^{[4] [5]} El caso es simplemente una suma simple, un caso de una serie aritmética . La fórmula para las sumas parciales con se puede derivar de la siguiente manera: ^{[4] [5] [14] [15]}${\displaystyle r=1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle r\neq 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}}$$

A medida que se acerca a 1, la división polinómica o la regla de L’Hospital recupera el caso . ^[16]${\displaystyle r}$${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$

A medida que se acerca al infinito, el valor absoluto de r debe ser menor que uno para que esta secuencia de sumas parciales converja a un límite. Cuando lo hace, la serie converge absolutamente . ^{[4] [5]} La serie infinita se convierte entonces en${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}}{\text{ for }}|r|<1.\end{aligned}}}$$

La fórmula es válida para números reales y para números complejos , y también puede generalizarse a números matriciales o p-ádicos , pero para estas últimas generalizaciones y condiciones técnicas para su convergencia, véase § Generalizaciones más allá de valores reales y complejos.${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Este resultado de convergencia se aplica ampliamente para probar la convergencia de otras series también, siempre que los términos de esas series puedan ser acotados desde arriba por una serie geométrica adecuada; esa estrategia de prueba es la base para la prueba de razón y la prueba de raíz para la convergencia de series infinitas. ^{[4] [5]}

Para cualquier secuencia , su tasa de convergencia a un valor límite está determinada por los parámetros y tal que${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{L}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{n+1}-x_{L}\right|}{\left|x_{n}-x_{L}\right|^{q}}}=\mu .}$^[6]

${\displaystyle q}$se llama orden de convergencia, mientras que se llama tasa de convergencia, donde menor corresponde a una convergencia más rápida: cuando el número asintótico de decimales adicionales de precisión de acuerdo con el valor límite por término de la serie es los ejemplos de y son especialmente simples de usar para confirmar esa fórmula y la intuición.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle -\log _{10}\mu ;}$${\displaystyle \mu =1/10}$${\displaystyle \mu =1/100}$

En el caso de la sucesión de sumas parciales de la serie geométrica, la sucesión pertinente es y su límite es . Por lo tanto, la tasa y el orden se encuentran mediante${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}}=\mu .}$

El uso y la configuración proporcionan${\displaystyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$${\displaystyle q=1}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|=\mu ,}$

Por lo tanto, el orden de convergencia de la serie geométrica es 1, su tasa de convergencia es , y el número de decimales adicionales de precisión por término en la aproximación al límite es ^[6]${\displaystyle |r|}$${\displaystyle -\log _{10}r.}$

Dependiendo del contexto, la convergencia de orden uno a menudo se llama convergencia lineal, porque el número de decimales de precisión aumenta linealmente con el número de términos o llamada convergencia exponencial, porque la magnitud de la diferencia con el límite disminuye exponencialmente. La "convergencia lineal" es especialmente común donde el número de dígitos de precisión es un foco natural de análisis, como en el análisis numérico , y la "convergencia exponencial" es especialmente común donde la desviación absoluta es un foco natural de análisis, como en casos comunes en física, economía y biología.${\displaystyle n+1,}$${\displaystyle n.}$

Alternativamente, en el diagrama adyacente se muestra una interpretación geométrica de la convergencia para . El área del triángulo blanco es el resto de la serie${\displaystyle 0<r<1}$

${\displaystyle S-S_{n}={\frac {ar^{n+1}}{1-r}}.}$

Cada término adicional en la serie parcial reduce el área del resto del triángulo blanco por el área del trapezoide que representa el término agregado. Las formas trapezoidales se vuelven progresivamente más delgadas y cortas y se acercan al origen, lo que corresponde a que las áreas trapezoidales (es decir, los valores de los términos) se vuelven más pequeñas. A medida que el número de trapecios se acerca al infinito, el resto del triángulo blanco se desvanecerá y, por lo tanto, convergerá a .${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$

Por el contrario, las secuencias de triángulos y de trapecios que representan los términos de la serie se harían progresivamente más anchos y más altos y más alejados del origen, sin convergir al origen como términos y tampoco convergiendo en suma como una serie.${\displaystyle r>1}$

El diagrama adyacente siguiente proporciona una interpretación geométrica de una serie geométrica alterna convergente con donde las áreas correspondientes a los términos negativos se muestran debajo del eje x. Cuando cada área positiva se empareja con su área negativa adyacente más pequeña, el resultado es una serie de trapecios no superpuestos, separados por espacios.${\displaystyle -1<r\leq 0,}$

Para eliminar estos huecos, ensanche cada trapezoide de modo que abarque el extremo derecho del área del triángulo original en lugar de solo el extremo derecho. Al mismo tiempo, para garantizar que las áreas de los trapecios permanezcan constantes durante esta transformación, es necesario un reescalado. El factor de escala requerido se puede derivar de la ecuación:${\displaystyle 1-r^{2}}$${\displaystyle 1-|r|=1+r.}$${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lambda (1-r^{2})=1+r.}$$

Simplificando esto obtenemos:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1+r}{1-r^{2}}}={\frac {1}{1-r}}}$

donde Porque este factor de escala disminuye las alturas de los trapecios para llenar los espacios.${\displaystyle -1<r\leq 0.}$${\displaystyle r<0,}$

Una vez eliminados los espacios, los pares de términos de la serie geométrica convergente alternada forman una nueva serie geométrica convergente con una razón común que refleja el emparejamiento de términos. El coeficiente reescalado compensa el relleno de los espacios.${\displaystyle r^{2},}$${\displaystyle a=1/(1-r)}$

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Hace 2.500 años, los matemáticos griegos creían ^[18] que una lista infinitamente larga de números positivos debía sumar infinito. Por lo tanto, Zenón de Elea creó una paradoja cuando demostró que para caminar de un lugar a otro, uno debe caminar primero la mitad de la distancia hasta allí, y luego la mitad de la distancia restante, y la mitad de esa distancia restante, y así sucesivamente, cubriendo infinitos intervalos antes de llegar. Al hacerlo, dividió una distancia fija en una lista infinitamente larga de distancias restantes reducidas a la mitad, cada una de las cuales tiene una longitud mayor que cero. La paradoja de Zenón reveló a los griegos que su suposición sobre una lista infinitamente larga de números positivos que necesitaban sumar infinito era incorrecta.

Los Elementos de geometría de Euclides " tienen la distinción de ser el libro de texto matemático más antiguo del mundo que se utiliza continuamente " ^[19] , e incluyen una demostración de la suma de series geométricas finitas en el Libro IX, Proposición 35, ilustrada en una figura adyacente. La siguiente es la breve prueba de Euclides de la Proposición 35: ^[20]

Sean AA', BC, DD', EF cualquier multitud de números continuamente proporcionales, comenzando por el menor AA'. Y sean BG y FH, cada uno igual a AA', restados de BC y EF. Digo que como GC es a AA', así EH es a AA', BC, DD'.

Sea FK igual a BC y FL a DD'. Y como FK es igual a BC, del cual FH es igual a BG, el resto HK es igual al resto GC. Y como EF es a DD', DD' es a BC, BC a AA' [Prop. 7.13], y DD' es igual a FL, BC a FK y AA' a FH, así como EF es a FL, LF a FK y FK a FH. Por separación, como EL a LF, LK a FK y KH a FH [Props. 7.11, 7.13]. Y así como uno de los primeros es a uno de los siguientes, así (la suma de) todos los primeros es (la suma de) todos los siguientes [Prop. 7.12]. Por lo tanto, como KH es a FH, así EL, LK, KH a LF, FK, HF. Y KH es igual a CG, y FH es igual a AA', y LF, FK, HF es igual a DD', BC, AA'. Por lo tanto, como CG es igual a AA', así EH es igual a DD', BC, AA'. Por lo tanto, como el exceso del segundo es igual al primero, así el exceso del último es igual a todos los anteriores. Precisamente lo que se requería mostrar.

La brevedad de las proposiciones y pruebas de Euclides puede haber sido una necesidad. Los Elementos de geometría tienen más de 500 páginas de proposiciones y pruebas en formatos estándar, y hacer copias del libro de texto requirió hacer copias manuscritas que requerían mucho trabajo durante muchos siglos hasta que se inventó la imprenta en 1440. La brevedad redujo el trabajo de hacer copias.

En la introducción de la edición citada el editor comenta: ^[19]

La mayoría de los teoremas que aparecen en los Elementos no fueron descubiertos por el propio Euclides, sino que fueron obra de matemáticos griegos anteriores, como Pitágoras (y su escuela), Hipócrates de Quíos, Teeteto de Atenas y Eudoxo de Cnido. Sin embargo, a Euclides se le atribuye generalmente el mérito de haber ordenado estos teoremas de manera lógica, de modo de demostrar (aunque no siempre con el rigor que exigen las matemáticas modernas) que se siguen necesariamente de cinco axiomas simples. También se le atribuye a Euclides el mérito de idear una serie de pruebas particularmente ingeniosas de teoremas descubiertos previamente (por ejemplo, el Teorema 48 en el Libro I).

Para ayudar a traducir la proposición y la prueba a una forma que utilice la notación actual, se presentan algunas modificaciones en la figura adyacente. Primero, las cuatro longitudes de línea horizontales que representan los valores de los primeros cuatro términos de una serie geométrica ahora están etiquetadas como a, ar, ar ² , ar ³ en el margen izquierdo del diagrama. Segundo, las nuevas etiquetas A' y D' ahora están en la primera y tercera línea de modo que todos los nombres de los segmentos de línea del diagrama especifican de manera consistente el punto de inicio y el punto final del segmento.

He aquí una reformulación frase por frase del Libro IX, Proposición 35:

De manera similar, a continuación se presenta una reformulación oración por oración de la prueba de la proposición:

Arquímedes utilizó la suma de una serie geométrica para calcular el área encerrada por una parábola y una línea recta. El teorema de Arquímedes establece que el área total bajo la parábola es 4/3 del área del triángulo azul. Su método consistía en dividir el área en un número infinito de triángulos, como se muestra en la figura adyacente. ^{[2] [3]}

Arquímedes determinó que cada triángulo verde tiene 1/8 del área del triángulo azul, cada triángulo amarillo tiene 1/8 del área de un triángulo verde, y así sucesivamente. Suponiendo que el triángulo azul tiene un área de 1, entonces, el área total es la suma de la serie infinita

${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$

El primer término representa el área del triángulo azul, el segundo término las áreas de los dos triángulos verdes, el tercer término las áreas de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Simplificando las fracciones obtenemos

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots .}$

Esta es una serie geométrica con razón común y su suma es ^{[2] [3]}${\displaystyle r=1/4}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$

Este cálculo es un ejemplo del método de exhaución , una versión temprana de la integración . Utilizando el cálculo , la misma área se podía hallar mediante una integral definida .

Además de su prueba elegantemente simple de la divergencia de la serie armónica , Nicole Oresme ^[21] demostró que la serie aritmético-geométrica conocida como la Escalera de Gabriel, ^[22]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\dots =2.}$

Su diagrama para su prueba geométrica, similar al diagrama adyacente, muestra una serie geométrica bidimensional.

La primera dimensión es horizontal, en la fila inferior, representando la serie geométrica con valor inicial y razón común.${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1\end{aligned}}}$$

La segunda dimensión es vertical, donde la fila inferior es un nuevo término inicial y cada fila subsiguiente por encima se contrae de acuerdo con la misma razón común , formando otra serie geométrica con suma ,${\displaystyle a=S}$${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=S\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots \right)\\&={\frac {S}{1-r}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.\end{aligned}}}$$

Este enfoque se puede generalizar de manera útil a dimensiones superiores y dicha generalización se describe a continuación en § Conexiones con series de potencia.

• Serie de Grandi  – Serie infinita que suma términos alternados de 1 y -1: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯  – Serie infinita que diverge
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯  – Serie infinita que diverge
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯  – Serie infinita sumable a 1
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯  – Serie infinita sumable a 1/3
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯  – Serie infinita sumable a 1/3
• Una serie geométrica es una serie unitaria, lo que significa que la suma de la serie converge a uno, si y solo si | r | < 1 y a + r = 1.
• Los términos de una serie geométrica también son los elementos de una secuencia de Fibonacci generalizada (una secuencia definida recursivamente con F _n = F _n-1 + F _n-2 ) cuando la razón común de la serie r satisface la restricción 1 + r = r ² , que es cuando r es igual a la proporción áurea o su conjugado (es decir, r = (1 ± √5)/2).
• La única serie geométrica que es una serie unitaria y que además tiene términos de una sucesión generalizada de Fibonacci tiene como término inicial la proporción áurea y como razón común la proporción áurea conjugada. Es una serie unitaria porque a + r = 1 y | r | < 1, es una sucesión generalizada de Fibonacci porque 1 + r = r ² , y es una serie alternada porque r < 0.

Los números decimales que tienen patrones repetidos que continúan para siempre, por ejemplo , pueden interpretarse como series geométricas y, por lo tanto, convertirse en expresiones de la relación de dos números enteros . ^[23] Por ejemplo, la fracción decimal repetida se puede escribir como la serie geométrica${\displaystyle 0.7777\ldots ,}$ ${\displaystyle 0.9999\ldots ,}$${\displaystyle 0.123412341234\ldots ,}$${\displaystyle 0.7777\ldots }$

${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots }$

donde el término inicial es y la razón común es . La fórmula de la serie geométrica proporciona la razón entera que corresponde al decimal periódico:${\displaystyle a=7/10}$${\displaystyle r=1/10}$

${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {a}{1-r}}={\frac {7/10}{1-1/10}}={\frac {7}{9}}.}$

Un ejemplo que tiene cuatro dígitos es el patrón decimal periódico, que se puede escribir como la serie geométrica.${\displaystyle 0.123412341234....}$

${\displaystyle 0.123412341234\ldots ={\frac {1234}{10000}}+{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000}}+{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{2}}}\,+\,{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{3}}}+\cdots }$

con término inicial y razón común La fórmula de la serie geométrica proporciona una razón entera que corresponde al decimal periódico:${\displaystyle a=1234/10000}$${\displaystyle r=1/10000.}$

${\displaystyle 0.123412341234\ldots ={\frac {a}{1-r}}={\frac {1234/10000}{1-1/10000}}={\frac {1234}{9999}}.}$

Este enfoque se extiende más allá de los decimales periódicos, es decir, la base diez, a los patrones repetidos en otras bases como el binario , es decir, la base dos. Por ejemplo, la representación binaria del número es donde el patrón binario 110001 se repite indefinidamente. Esa representación binaria se puede escribir como una serie geométrica de términos binarios,${\displaystyle 0.7777\ldots _{10}}$${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}}$

${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}\;=\;{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}^{2}}}\,+\,{\frac {110001_{2}}{1000000_{2}}}{\frac {1}{1000000_{2}^{3}}}\,+\,\cdots ,}$

donde el término inicial se expresa en base dos en base diez y la razón común está en base dos en base diez. Utilizando la fórmula de la serie geométrica como antes,${\displaystyle a=110001_{2}/1000000_{2}}$${\displaystyle =49_{10}/64_{10}}$${\displaystyle r=1/1000000_{2}}$${\displaystyle =1/64_{10}}$

${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots _{2}={\frac {a}{1-r}}={\frac {49_{10}/64_{10}}{1-1/64_{10}}}={\frac {49_{10}}{63_{10}}}={\frac {7_{10}}{9_{10}}}.}$

En economía , específicamente en finanzas matemáticas , se utilizan series geométricas para representar los valores presentes de anualidades perpetuas (sumas de dinero que se pagarán cada año de forma indefinida en el futuro).

Por ejemplo, supongamos que se realizará un pago de $100 al propietario de la renta perpetua una vez al año al final del año. En un modelo simple del valor actual del dinero futuro, recibir $100 dentro de un año vale menos que $100 inmediatamente si uno pudiera invertir el dinero ahora a una tasa de interés favorable . En particular, en ese caso, dada una tasa de interés anual positiva , el costo de una inversión que produce $100 en el futuro es solo hoy, por lo que el valor actual de $100 un año en el futuro es hoy. Los modelos más complejos del valor actual podrían dar cuenta del poder adquisitivo relativo del dinero hoy y en el futuro o dar cuenta de los cambios en las utilidades personales por tener dinero ahora y en el futuro.${\displaystyle I}$${\textstyle \$100/(1+I)}$${\textstyle \$100/(1+I)}$

Continuando con el modelo simple y suponiendo una tasa de interés constante, un pago de $100 dentro de dos años tendría un valor actual de (al cuadrado porque se pierden dos años de intereses al no recibir el dinero ahora). Siguiendo esa línea de razonamiento, el valor actual de recibir $100 por año a perpetuidad sería${\displaystyle \$100/(1+I)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}},}$

cual es la serie infinita:

${\displaystyle {\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .}$

Esta es una serie geométrica con razón común La suma es el primer término dividido por (uno menos la razón común):${\displaystyle 1/(1+I).}$

${\displaystyle {\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.}$

Por ejemplo, si la tasa de interés anual es del 10% , entonces la anualidad completa tiene un valor actual estimado de${\textstyle (I=0.10),}$${\textstyle \$100/0.10=\$1000.}$

Este tipo de cálculo se utiliza para calcular la TAE de un préstamo (como un préstamo hipotecario ). También se puede utilizar para estimar el valor actual de los dividendos de acciones esperados o el valor terminal de un activo financiero suponiendo una tasa de crecimiento estable. Sin embargo, la suposición de que las tasas de interés son constantes generalmente es incorrecta y es poco probable que los pagos continúen de hecho para siempre, ya que el emisor de la anualidad perpetua puede perder su capacidad o terminar su compromiso de realizar pagos continuos, por lo que estimaciones como estas son solo pautas heurísticas para la toma de decisiones en lugar de predicciones científicas de los valores actuales reales.

• Análisis de algoritmo:
  • Las series geométricas se utilizan para analizar la complejidad temporal de algoritmos recursivos (como dividir y vencer) y en el análisis amortizado para operaciones con costos variables, como el cambio de tamaño de matrices dinámicas .
• Estructuras de datos:
  • Las series geométricas ayudan a analizar las complejidades espaciales y temporales de las operaciones en estructuras de datos como árboles de búsqueda binaria balanceados y montones .
• Gráficos de computadora:
  • Las series geométricas son cruciales en los algoritmos de renderizado para anti-aliasing , para mipmapping y para generar fractales , donde la escala de detalle varía geométricamente.
• Redes y comunicación:
  • Los retrasos de retransmisión del modelo de series geométricas en algoritmos de retroceso exponencial se utilizan en códigos de compresión de datos y corrección de errores para una comunicación eficiente.
• Algoritmos probabilísticos y aleatorios:
  • Las series geométricas se utilizan para analizar recorridos aleatorios , cadenas de Markov y distribuciones geométricas , que son esenciales en algoritmos probabilísticos y aleatorios .

El área dentro del copo de nieve de Koch puede describirse como la unión de un número infinito de triángulos equiláteros (ver figura). Cada lado del triángulo verde tiene exactamente 1/3 del tamaño de un lado del triángulo azul grande y, por lo tanto, tiene exactamente 1/9 del área. De manera similar, cada triángulo amarillo tiene 1/9 del área de un triángulo verde, y así sucesivamente. Tomando el triángulo azul como unidad de área, el área total del copo de nieve es

${\displaystyle 1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots .}$

El primer término de esta serie representa el área del triángulo azul, el segundo término el área total de los tres triángulos verdes, el tercer término el área total de los doce triángulos amarillos, y así sucesivamente. Excluyendo el 1 inicial, esta serie es geométrica con razón constante r  = 4/9. El primer término de la serie geométrica es a  = 3(1/9) = 1/3, por lo que la suma es

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.}$

Así, el copo de nieve de Koch tiene 8/5 del área del triángulo base.

La serie de Taylor de la función arcotangente alrededor de cero, llamada serie arcotangente , ha sido un medio importante para realizar cálculos aproximados en astronomía y óptica durante cientos de años. En Europa se la denomina tradicionalmente serie de Gregory en honor al astrónomo y matemático escocés James Gregory (1638-1675), aunque hoy en día se la atribuye más comúnmente al astrónomo y matemático de Kerala Madhava de Sangamagrama (c. 1340-c. 1425). Se puede derivar mediante la diferenciación, la integración y la suma de una serie geométrica.

Se sabe que la derivada de es . Este es un resultado estándar que se obtiene de la siguiente manera. Sea y representa y , ^[24]${\displaystyle f(x)=\arctan(u(x))}$${\displaystyle f'(x)={\frac {u'(x)}{(1+[u(x)]^{2})}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle u(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\arctan(u)\\\implies u&=\tan(y)&&\quad {\text{ in the range }}-\pi /2<y<\pi /2{\text{ and }}\\\implies u'&=\sec ^{2}y\cdot y'&&\quad {\text{ by applying the quotient rule to }}\tan(y)=\sin(y)/\cos(y),\\\implies y'&={\frac {u'}{\sec ^{2}y}}&&\quad {\text{ by dividing both sides by }}\sec ^{2}y,\\&={\frac {u'}{(1+\tan ^{2}y)}}&&\quad {\text{ by using the trigonometric identity derived by dividing }}\sin ^{2}y+\cos ^{2}y=1{\text{ by }}\cos ^{2}y,\\&={\frac {u'}{(1+u^{2})}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, dejando que la función arctan sea igual a la integral, esta es la expansión en serie de potencias de la función arcotangente.$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad &&{\text{in the range }}-\pi /2<\arctan(x)<\pi /2,\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\quad &&{\text{by writing integrand as closed form of geometric series with }}r=-x^{2},\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by writing geometric series in expanded form}},\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by calculating the sign and power of each term in integrand}},\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \quad &&{\text{by integrating each term}},\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad &&{\text{by writing series in generator form}}.\end{aligned}}}$$

Al igual que la serie geométrica, una  serie de potencias   tiene un parámetro para una variable común elevada a potencias sucesivas, denotada   aquí, correspondiente a la  r de la serie geométrica , pero tiene parámetros adicionales,  uno para cada término de la serie, para los coeficientes distintos de cada  , en lugar de solo un único parámetro adicional   para todos los términos, el coeficiente común de   en cada término de una serie geométrica.${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{k}}$

Por lo tanto, la serie geométrica puede considerarse una clase de serie de potencias en la que la secuencia de coeficientes satisface   para todos   y  . ^{[4] [5]} Esta clase especial de serie de potencias juega un papel importante en matemáticas, por ejemplo para el estudio de  funciones generadoras ordinarias  en combinatoria ^[7] y la  suma  de  series divergentes  en análisis. ^[8] Muchas otras series de potencias pueden escribirse como transformaciones y combinaciones de series geométricas, lo que hace que la fórmula de la serie geométrica sea una herramienta conveniente para calcular fórmulas para esas series de potencias también. ^[7]${\displaystyle a_{k}=a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=r}$

Como serie de potencias, la serie geométrica tiene un radio de convergencia de 1. ^{[4] [5]} Esto podría verse como una consecuencia del teorema de Cauchy-Hadamard y el hecho de que para cualquier o como una consecuencia de la prueba de razón para la convergencia de series infinitas, con lo que implica convergencia solo para Sin embargo, tanto la prueba de razón como el teorema de Cauchy-Hadamard se prueban utilizando la fórmula de la serie geométrica como un resultado lógico anterior, por lo que dicho razonamiento sería sutilmente circular. ^{[4] [5]}${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$${\displaystyle a}$${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }|ar^{n+1}|/|ar^{n}|=|r|}$${\displaystyle |r|<1.}$

Se pueden utilizar sustituciones de variables simples para calcular algunas fórmulas útiles de series infinitas en forma cerrada. Para una serie infinita que contenga solo potencias pares de , por ejemplo,${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }a(r^{2})^{k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$$

y sólo para potencias impares,

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar)(r^{2})^{k}={\frac {ar}{1-r^{2}}}.}$$

En los casos en que la suma no comienza en k = 0, se puede utilizar un desplazamiento del índice de suma junto con una sustitución de variable,

$${\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{m})r^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}.}$$

Las fórmulas dadas anteriormente son estrictamente válidas sólo para${\textstyle |r|<1.}$

También se puede diferenciar para calcular fórmulas para sumas relacionadas. Por ejemplo,

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}.}$$

Esta fórmula sólo es estrictamente válida para así. De derivaciones similares, se deduce que, para${\textstyle |r|<1}$${\textstyle |r|<1:}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}};\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}};{\text{ and }}\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}.}$$

También es posible utilizar series geométricas complejas para calcular las sumas de algunas series trigonométricas utilizando exponenciales complejas y la fórmula de Euler . Por ejemplo, considere la proposición

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}.}$$

Esto se puede demostrar por el hecho de que

$${\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}}.}$$

Sustituyendo esto en la serie original obtenemos

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right].}$$

Esta es la diferencia de dos series geométricas con términos iniciales iguales a 1 y razones comunes iguales a y , por lo que la prueba de la proposición original se deduce mediante dos aplicaciones sencillas de la fórmula para series geométricas infinitas y luego el reordenamiento del resultado utilizando y para completar la prueba.${\displaystyle e^{ix}/r}$${\displaystyle e^{-ix}/r}$${\textstyle {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}=\sin(x)}$${\textstyle {\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos(x)}$

Aunque es difícil visualizarlo más allá de tres dimensiones, la idea de Oresme en § Nicole Oresme (c.1323 – 1382) se generaliza a cualquier dimensión . Denotando la suma de la serie -dimensional , luego usando el límite de la serie geométrica -dimensional, como el término inicial de una serie geométrica con la misma razón común en la siguiente dimensión, resulta en una fórmula recursiva para con el caso base dado por la fórmula de suma habitual con un término inicial , de modo que:${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S(d)}$${\displaystyle (d-1)}$${\displaystyle S(d-1),}$${\displaystyle S(d)}$${\displaystyle S(1)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle S(d)={\frac {S(d-1)}{(1-r)}}={\frac {a}{(1-r)^{d}}}}$

dentro del rango , con y en el ejemplo particular de Oresme.${\displaystyle \vert r\vert <1}$${\displaystyle a=1/2}$${\displaystyle r=1/2}$

El triángulo de Pascal muestra los coeficientes de estas series geométricas multidimensionales,

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\end{matrix}}}$

${\displaystyle d}$	${\displaystyle S(d)/a}$(forma cerrada)	${\displaystyle S(d)/a}$(forma expandida)
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1/(1-r)}$	${\displaystyle 1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1/(1-r)^{2}}$	${\displaystyle 1+2r+3r^{2}+4r^{3}+5r^{4}+\cdots }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1/(1-r)^{3}}$	${\displaystyle 1+3r+6r^{2}+10r^{3}+15r^{4}+\cdots }$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1/(1-r)^{4}}$	${\displaystyle 1+4r+10r^{2}+20r^{3}+35r^{4}+\cdots }$
${\displaystyle d}$	${\displaystyle 1/(1-r)^{d}}$	${\displaystyle 1+dr+{d+1 \choose {2}}r^{2}+{d+2 \choose {3}}r^{3}+{d+3 \choose {4}}r^{4}+\cdots }$

donde, como es habitual, las series convergen a estas formas cerradas sólo cuando .${\displaystyle \vert r\vert <1}$

Fórmulas de series finitas

Al igual que para las series infinitas, se pueden usar sustituciones de variables y cambios del índice de suma para derivar otras fórmulas de series de potencias finitas a partir de las fórmulas de series geométricas finitas. Si uno comenzara la suma no desde sino desde un valor diferente, digamos ⁠ ⁠ , entonces Para una serie geométrica que contiene solo potencias pares de , tome como la razón común y use la fórmula estándar para encontrar${\displaystyle k=0}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}ar^{k}&={\begin{cases}{\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\\a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}&={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

o, equivalentemente,

Para una serie con sólo potencias impares de ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , tome para y para en la forma estándar:${\displaystyle ar}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}&={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

Diferenciar dichas fórmulas con respecto a ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ puede dar las fórmulas

$${\displaystyle G_{s}(n,r):=\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}$$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}$$

Una fórmula exacta para cualquiera de las sumas generalizadas cuando es${\displaystyle G_{s}(n,r)}$${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle G_{s}(n,r)=\sum _{k=0}^{s}\left\lbrace {s \atop k}\right\rbrace x^{k}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\left[{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right]}$$

donde denota un número de Stirling de segundo tipo . ^{[25] [26]}${\displaystyle \left\lbrace {s \atop k}\right\rbrace }$

Si bien las series geométricas con parámetros de números reales y complejos son las más comunes, también se aplican las series geométricas de términos más generales como funciones , matrices y números p-ádicos ^{[11] . Las operaciones matemáticas utilizadas para expresar una serie geométrica dados sus parámetros son simplemente la suma y la multiplicación repetida, por lo que es natural, en el contexto del} álgebra moderna , definir series geométricas con parámetros de cualquier anillo o cuerpo . ^[12] Una generalización adicional a series geométricas con parámetros de semianillos es más inusual, pero también tiene aplicaciones, por ejemplo, en el estudio de la iteración de punto fijo de funciones de transformación , por ejemplo, transformaciones de autómatas a través de series racionales . ^[27]${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$

Para analizar la convergencia de estas series geométricas generales, además de la suma y la multiplicación, también se debe tener alguna métrica de la distancia entre las sumas parciales de la serie. Esto puede introducir nuevas sutilezas en las cuestiones de convergencia, como las distinciones entre convergencia uniforme y convergencia puntual en series de funciones, y puede conducir a fuertes contrastes con intuiciones de los números reales, como en la convergencia de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + ... con y a en los números 2-ádicos que utilizan el valor absoluto 2-ádico como una métrica de convergencia. En ese caso, el valor absoluto 2-ádico del coeficiente común es , y si bien esto es contraintuitivo desde la perspectiva del valor absoluto de los números reales (donde naturalmente), no obstante está bien justificado en el contexto del análisis p-ádico . ^[11]${\displaystyle a=1}$${\displaystyle r=2}$${\textstyle a/(1-r)=-1}$${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}=1/2}$${\displaystyle |2|=2,}$