Serie geométrica divergente

En matemáticas , una serie geométrica infinita de la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots }$

es divergente si y solo si Los métodos para la suma de series divergentes a veces son útiles y generalmente evalúan las series geométricas divergentes como una suma que concuerda con la fórmula para el caso convergente.${\displaystyle |r|>1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}.}$

Esto es cierto para cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad .

En orden creciente de dificultad para sumar:

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , cuya razón común es −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ , cuya razón común es −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ , cuya razón común es 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , cuya razón común es 1.

Resulta útil determinar qué métodos de suma producen la fórmula de la serie geométrica para qué razones comunes. Una aplicación de esta información es el llamado principio de Borel-Okada : si un método de suma regular asigna a para todo en un subconjunto del plano complejo , dadas ciertas restricciones sobre , entonces el método también proporciona la continuación analítica de cualquier otra función en la intersección de con la estrella de Mittag-Leffler para . ^[1]${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }z^{n}}$${\estilo de visualización 1/(1-z)}$${\textstyle z}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\textstyle f(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}z^{n}}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización f(z)}$

La suma ordinaria sólo tiene éxito para razones comunes${\displaystyle |r|<1.}$

• Resumen de Cesáro
• Suma de Abel

• Suma de Euler

La serie es sumable según Borel para cada z con parte real < 1.

Ciertos métodos de constante de momento además de la suma de Borel pueden sumar la serie geométrica en toda la estrella de Mittag-Leffler de la función 1/(1 − z ), es decir, para todos los z excepto el rayo z ≥ 1. ^[2]