Filtro gaussiano

En electrónica y procesamiento de señales , principalmente en procesamiento de señales digitales , un filtro gaussiano es un filtro cuya respuesta al impulso es una función gaussiana (o una aproximación a ella, ya que una verdadera respuesta gaussiana tendría una respuesta al impulso infinita ). Los filtros gaussianos tienen las propiedades de no tener sobreimpulso a una entrada de función escalón mientras minimizan el tiempo de subida y bajada. Este comportamiento está estrechamente relacionado con el hecho de que el filtro gaussiano tiene el mínimo retardo de grupo posible . Un filtro gaussiano tendrá la mejor combinación de supresión de altas frecuencias mientras que también minimiza la dispersión espacial, siendo el punto crítico del principio de incertidumbre . Estas propiedades son importantes en áreas como los osciloscopios ^[1] y los sistemas de telecomunicaciones digitales. ^[2]

Matemáticamente, un filtro gaussiano modifica la señal de entrada mediante convolución con una función gaussiana ; esta transformación también se conoce como transformada de Weierstrass .

El filtro gaussiano unidimensional tiene una respuesta al impulso dada por

${\displaystyle g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}}$

y la respuesta de frecuencia viene dada por la transformada de Fourier

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}}$

con la frecuencia ordinaria. Estas ecuaciones también se pueden expresar con la desviación estándar como parámetro.${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

y la respuesta de frecuencia viene dada por

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}}$

Al escribir como una función de con las dos ecuaciones para y como una función de con las dos ecuaciones para se puede demostrar que el producto de la desviación estándar y la desviación estándar en el dominio de la frecuencia está dado por${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización g(x)}$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle {\hat {g}}(f)}$

${\displaystyle \sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}}$,

donde las desviaciones estándar se expresan en sus unidades físicas, por ejemplo en el caso del tiempo y la frecuencia en segundos y hercios, respectivamente.

En dos dimensiones, es el producto de dos de estas gaussianas, una por dirección:

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}}$ ^{[3] [4] [5]}

donde x es la distancia desde el origen en el eje horizontal, y es la distancia desde el origen en el eje vertical y σ es la desviación estándar de la distribución gaussiana.

Los polinomios de la función de transferencia gaussiana se pueden sintetizar utilizando una expansión en serie de Taylor del cuadrado de la función gaussiana de la forma donde se establece de manera que (equivalente a -3,01 dB) en . ^[6] El valor de se puede calcular con esta restricción como , o 0,34657359 para una atenuación de corte aproximada de -3,010 dB. Si se desea una atenuación distinta de -3,010 dB, se puede recalcular utilizando una atenuación diferente, .${\displaystyle \epsilon ^{-a\omega ^{2}}}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle \epsilon ^{-a\omega ^{2}}={\sqrt {1/2}}}$${\displaystyle \omega = 1}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle a=-log{\bigg (}{\sqrt {1/2}}{\bigg )}}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle a=log(10^{(|dB|/20)})}$

Para cumplir con todos los criterios anteriores, debe tener la forma obtenida a continuación, sin ceros en la banda de parada,${\estilo de visualización F(\omega )}$

${\displaystyle F(\omega )=\epsilon ^{-a\omega ^{2}}{\sqrt {(\epsilon ^{-a\omega ^{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{\epsilon ^{2a\omega ^{2}}}}}$

Para completar la función de transferencia, se puede aproximar con una expansión de la serie de Taylor alrededor de 0. La serie de Taylor completa para se muestra a continuación. ^[6]${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}}$${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}}$

${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}$

La capacidad del filtro para simular una función gaussiana verdadera depende de cuántos términos se toman de la serie. La cantidad de términos tomados más allá de 0 establece el orden N del filtro.

${\displaystyle F_{N}(\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}}}}$

Para el eje de frecuencia, se reemplaza con .${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle j\omega}$

${\displaystyle F_{N}(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}(j\omega )^{2k}}{k!}}}}}{\bigg |}_{\text{semiplano izquierdo}}}$

Dado que solo la mitad de los polos están ubicados en el semiplano izquierdo, seleccionar solo esos polos para construir la función de transferencia también sirve para calcular la raíz cuadrada de la ecuación, como se ve arriba.

Un filtro gaussiano de tercer orden con una atenuación de corte de -3,010 dB en = 1 requiere el uso de términos k=0 a k=3 en la serie de Taylor para producir la función gaussiana al cuadrado.${\estilo de visualización \omega}$

${\displaystyle F_{3}((j\omega )^{2})={\frac {1}{1.33333a^{3}(j\omega )^{6}+2a^{2}(j\omega ^{4})+2a(j\omega )^{2}+1}}={\frac {1}{-1.33333a^{3}\omega ^{6}+2a^{2}\omega ^{4}-2a\omega ^{2}+1}}}$

Absorbiendo en los coeficientes, factorizando utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces y construyendo los polinomios utilizando solo los polos del semiplano izquierdo se obtiene la función de transferencia para un filtro gaussiano de tercer orden con la atenuación de corte requerida de -3,010 dB ^{[7] [8]} .${\displaystyle a}$

${\displaystyle F_{3}(j\omega )={\frac {1}{0.2355931(j\omega )^{3}+1.0078328(j\omega )^{2}+1.6458471(j\omega )+1}}}$

Una rápida comprobación de la validez de la evaluación arroja una magnitud de -2,986 dB, lo que representa un error de solo ~0,8 % con respecto a los -3,010 dB deseados. Este error disminuirá a medida que aumente el número de órdenes. Además, el error en frecuencias más altas será más pronunciado para todos los filtros gaussianos; el error también disminuirá a medida que aumente el orden del filtro. ^[6]${\displaystyle |F_{3}(j)|}$

Aunque los filtros gaussianos exhiben un retardo de grupo deseable, como se describe en la descripción inicial, la pendiente de la atenuación de corte puede ser menor que la deseada. ^[9] Para solucionar esto, se han desarrollado y publicado tablas que preservan la respuesta de retardo de grupo gaussiano deseable y las frecuencias bajas y medias, pero cambian a una atenuación de Chebyshev de pendiente más alta en las frecuencias más altas. ^[9]

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La función gaussiana es para una ventana de longitud infinita y, en teoría, la requeriría. Sin embargo, dado que decae rápidamente, suele ser razonable truncar la ventana de filtro e implementar el filtro directamente para ventanas estrechas, en efecto, utilizando una función de ventana rectangular simple. En otros casos, el truncamiento puede introducir errores significativos. Se pueden lograr mejores resultados utilizando en su lugar una función de ventana diferente ; consulte la implementación del espacio de escala para obtener más detalles.${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

El filtrado implica convolución . Se dice que la función de filtro es el núcleo de una transformación integral. El núcleo gaussiano es continuo. Lo más común es que el equivalente discreto sea el núcleo gaussiano muestreado que se produce al muestrear puntos del gaussiano continuo. Un método alternativo es utilizar el núcleo gaussiano discreto ^[10] que tiene características superiores para algunos propósitos. A diferencia del núcleo gaussiano muestreado, el núcleo gaussiano discreto es la solución de la ecuación de difusión discreta .

Dado que la transformada de Fourier de la función gaussiana produce una función gaussiana, la señal (preferiblemente después de dividirla en bloques superpuestos con ventanas) se puede transformar con una transformada rápida de Fourier , multiplicarla por una función gaussiana y transformarla nuevamente. Este es el procedimiento estándar para aplicar un filtro de respuesta al impulso finito arbitrario , con la única diferencia de que la transformada de Fourier de la ventana del filtro se conoce explícitamente.

Debido al teorema del límite central (de la estadística ), la gaussiana se puede aproximar mediante varias ejecuciones de un filtro muy simple como la media móvil . La media móvil simple corresponde a la convolución con la B-spline constante (un pulso rectangular). Por ejemplo, cuatro iteraciones de una media móvil producen una B-spline cúbica como ventana de filtro, que se aproxima bastante bien a la gaussiana. Una media móvil es bastante barata de calcular, por lo que los niveles se pueden poner en cascada con bastante facilidad.

En el caso discreto, las desviaciones estándar del filtro (en los dominios del tiempo y la frecuencia) están relacionadas por

${\displaystyle \sigma _{t}\cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}}$

donde las desviaciones estándar se expresan en un número de muestras y N es el número total de muestras. La desviación estándar de un filtro se puede interpretar como una medida de su tamaño. La frecuencia de corte de un filtro gaussiano se puede definir por la desviación estándar en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma _{t}}}}$

donde todas las cantidades se expresan en sus unidades físicas. Si se mide en muestras, la frecuencia de corte (en unidades físicas) se puede calcular con${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma _{t}}}}$

donde es la frecuencia de muestreo. El valor de respuesta del filtro gaussiano en esta frecuencia de corte es igual a exp(−0,5) ≈ 0,607.${\displaystyle F_{s}}$

Sin embargo, es más común definir la frecuencia de corte como el punto de potencia media: donde la respuesta del filtro se reduce a 0,5 (−3 dB) en el espectro de potencia, o 1/ √ 2  ≈ 0,707 en el espectro de amplitud (véase, por ejemplo, el filtro Butterworth ). Para un valor de corte arbitrario 1/ c para la respuesta del filtro, la frecuencia de corte viene dada por

${\displaystyle f_{c}={\sqrt {2\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}}$^[11]

Para c  = 2, la constante antes de la desviación estándar en el dominio de frecuencia en la última ecuación equivale aproximadamente a 1,1774, que es la mitad del ancho total en la mitad del máximo (FWHM) (véase la función gaussiana ). Para c  =  √ 2, esta constante equivale aproximadamente a 0,8326. Estos valores son bastante cercanos a 1.

Una media móvil simple corresponde a una distribución de probabilidad uniforme y, por lo tanto, su ancho de filtro de tamaño tiene una desviación estándar de . Por lo tanto, la aplicación de medias móviles sucesivas con tamaños da como resultado una desviación estándar de${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {(n^{2}-1)/12}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {n}_{1},\dots ,{n}_{m}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^{2}-m}{12}}}}$

(Tenga en cuenta que las desviaciones estándar no se suman, pero las varianzas sí).

Un núcleo gaussiano requiere valores, por ejemplo, para un valor de 3, necesita un núcleo de longitud 17. Un filtro de media móvil de 5 puntos tendrá una sigma de . Si se ejecuta tres veces, se obtendrá un valor de 2,42. Queda por ver dónde está la ventaja sobre el uso de un gaussiano en lugar de una aproximación deficiente.${\displaystyle 6\sigma _{t}-1}$${\displaystyle {\sigma _{t}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sigma _{t}}}$

Cuando se aplica en dos dimensiones, esta fórmula produce una superficie gaussiana que tiene un máximo en el origen, cuyos contornos son círculos concéntricos con el origen como centro. Se precalcula una matriz de convolución bidimensional a partir de la fórmula y se realiza la convolución con datos bidimensionales. Cada elemento en el nuevo valor de la matriz resultante se establece en un promedio ponderado de la vecindad de ese elemento. El elemento focal recibe el peso más pesado (que tiene el valor gaussiano más alto) y los elementos vecinos reciben pesos más pequeños a medida que aumenta su distancia al elemento focal. En el procesamiento de imágenes, cada elemento de la matriz representa un atributo de píxel como el brillo o la intensidad del color, y el efecto general se denomina desenfoque gaussiano .

El filtro gaussiano no es causal, lo que significa que la ventana del filtro es simétrica respecto del origen en el dominio del tiempo. Esto hace que el filtro gaussiano sea físicamente irrealizable. Esto no suele tener consecuencias para aplicaciones en las que el ancho de banda del filtro es mucho mayor que la señal. En los sistemas en tiempo real, se produce un retraso porque las muestras entrantes deben llenar la ventana del filtro antes de que el filtro pueda aplicarse a la señal. Si bien ninguna cantidad de retraso puede hacer que un filtro gaussiano teórico sea causal (porque la función gaussiana no es cero en todas partes), la función gaussiana converge a cero tan rápidamente que una aproximación causal puede lograr cualquier tolerancia requerida con un retraso modesto, incluso con la precisión de la representación de punto flotante .

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• GSM ya que aplica modulación GMSK
• El filtro gaussiano también se utiliza en GFSK .
• Detector de bordes Canny utilizado en el procesamiento de imágenes.