Filtros de síntesis de red

En el procesamiento de señales , los filtros de síntesis de red son filtros diseñados mediante el método de síntesis de red . El método ha producido varias clases importantes de filtros, incluidos el filtro Butterworth , el filtro Chebyshev y el filtro elíptico . Originalmente, se pretendía aplicarlo al diseño de filtros analógicos lineales pasivos , pero sus resultados también se pueden aplicar a implementaciones en filtros activos y filtros digitales . La esencia del método es obtener los valores de los componentes del filtro a partir de una función racional dada que representa la función de transferencia deseada .

El método puede considerarse como el problema inverso del análisis de redes . El análisis de redes comienza con una red y, al aplicar los diversos teoremas de circuitos eléctricos, predice la respuesta de la red. La síntesis de redes , por otro lado, comienza con una respuesta deseada y sus métodos producen una red que genera, o se aproxima a, esa respuesta. ^[1]

La síntesis de redes se diseñó originalmente para producir filtros del tipo que antes se describía como filtros de ondas, pero que ahora se denominan simplemente filtros. Es decir, filtros cuyo propósito es dejar pasar ondas de ciertas frecuencias y rechazar ondas de otras frecuencias. La síntesis de redes comienza con una especificación para la función de transferencia del filtro, H(s), como una función de la frecuencia compleja , s. Esto se utiliza para generar una expresión para la impedancia de entrada del filtro (la impedancia del punto de excitación) que luego, mediante un proceso de expansiones de fracciones continuas o fracciones parciales , da como resultado los valores requeridos de los componentes del filtro. En una implementación digital de un filtro, H(s) se puede implementar directamente. ^[2]

Las ventajas de este método se entienden mejor comparándolo con la metodología de diseño de filtros que se utilizaba antes, el método de imagen . El método de imagen considera las características de una sección de filtro individual en una cadena infinita ( topología de escalera ) de secciones idénticas. Los filtros producidos por este método sufren imprecisiones debido a que la impedancia de terminación teórica, la impedancia de imagen , generalmente no es igual a la impedancia de terminación real. Con los filtros de síntesis de red, las terminaciones se incluyen en el diseño desde el principio. El método de imagen también requiere una cierta cantidad de experiencia por parte del diseñador. El diseñador primero debe decidir cuántas secciones y de qué tipo deben usarse, y luego, después del cálculo, obtendrá la función de transferencia del filtro. Esto puede no ser lo que se requiere y puede haber varias iteraciones. El método de síntesis de red, por otro lado, comienza con la función requerida y genera como salida las secciones necesarias para construir el filtro correspondiente. ^[2]

En general, las secciones de un filtro de síntesis de red son de topología idéntica (normalmente del tipo escalera más simple), pero se utilizan valores de componentes diferentes en cada sección. Por el contrario, la estructura de un filtro de imagen tiene valores idénticos en cada sección, como consecuencia del enfoque de cadena infinita, pero puede variar la topología de una sección a otra para lograr diversas características deseables. Ambos métodos utilizan filtros prototipo de paso bajo seguidos de transformaciones de frecuencia y escala de impedancia para llegar al filtro final deseado. ^[2]

La clase de un filtro se refiere a la clase de polinomios de los cuales se deriva matemáticamente el filtro. El orden del filtro es la cantidad de elementos de filtro presentes en la implementación en escalera del filtro. En términos generales, cuanto mayor sea el orden del filtro, más pronunciada será la transición de corte entre la banda de paso y la banda de rechazo. Los filtros suelen recibir el nombre del matemático o de las matemáticas en las que se basan, en lugar de su descubridor o inventor.

Los filtros Butterworth se describen como máximamente planos, lo que significa que la respuesta en el dominio de la frecuencia es la curva más suave posible de cualquier clase de filtro del orden equivalente. ^[3]

La clase de filtro Butterworth fue descrita por primera vez en un artículo de 1930 por el ingeniero británico Stephen Butterworth , de quien recibe el nombre. La respuesta del filtro se describe mediante polinomios de Butterworth , también debidos a Butterworth. ^[4]

Un filtro Chebyshev tiene una transición de corte más rápida que un Butterworth, pero a costa de que haya ondulaciones en la respuesta de frecuencia de la banda de paso. Hay que llegar a un compromiso entre la atenuación máxima permitida en la banda de paso y la inclinación de la respuesta de corte. A veces también se lo denomina filtro Chebyshev de tipo I, mientras que el de tipo 2 es un filtro sin ondulaciones en la banda de paso pero con ondulaciones en la banda de rechazo. El filtro recibe su nombre de Pafnuty Chebyshev, cuyos polinomios de Chebyshev se utilizan en la derivación de la función de transferencia. ^[3]

Los filtros Cauer tienen una ondulación máxima igual en la banda de paso y en la banda de supresión. El filtro Cauer tiene una transición más rápida de la banda de paso a la banda de supresión que cualquier otra clase de filtro de síntesis de red. El término filtro Cauer se puede utilizar indistintamente con filtro elíptico, pero el caso general de los filtros elípticos puede tener ondulaciones desiguales en la banda de paso y en la banda de supresión. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de paso es idéntico a un filtro Chebyshev Tipo 2. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de supresión es idéntico a un filtro Chebyshev Tipo 1. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en ambas bandas de paso es idéntico a un filtro Butterworth. El filtro lleva el nombre de Wilhelm Cauer y la función de transferencia se basa en funciones racionales elípticas . ^[5] Los filtros de tipo Cauer utilizan fracciones continuas generalizadas . ^{[6] [7] [8]}

El filtro de Bessel tiene un retardo temporal máximo plano ( retardo de grupo ) sobre su banda de paso. Esto le da al filtro una respuesta de fase lineal y da como resultado que pase formas de onda con una distorsión mínima. El filtro de Bessel tiene una distorsión mínima en el dominio del tiempo debido a la respuesta de fase con la frecuencia, a diferencia del filtro Butterworth, que tiene una distorsión mínima en el dominio de la frecuencia debido a la respuesta de atenuación con la frecuencia. El filtro de Bessel recibe su nombre de Friedrich Bessel y la función de transferencia se basa en polinomios de Bessel . ^[9]

La impedancia del punto de excitación es una representación matemática de la impedancia de entrada de un filtro en el dominio de la frecuencia que utiliza una de varias notaciones, como la transformada de Laplace (dominio s) o la transformada de Fourier ( dominio jω ). Al tratarla como una red de un puerto , la expresión se expande utilizando expansiones de fracciones continuas o fracciones parciales . La expansión resultante se transforma en una red (normalmente una red en escalera) de elementos eléctricos. Tomar una salida del extremo de esta red, así realizada, la transformará en un filtro de red de dos puertos con la función de transferencia deseada. ^[1]

No todas las funciones matemáticas posibles para la impedancia del punto de excitación se pueden realizar utilizando componentes eléctricos reales. Wilhelm Cauer (siguiendo los pasos de RM Foster ^[10] ) realizó gran parte del trabajo inicial sobre qué funciones matemáticas se podían realizar y en qué topologías de filtro . La omnipresente topología de escalera del diseño de filtros lleva el nombre de Cauer. ^[11]

Existen varias formas canónicas de impedancia del punto de excitación que se pueden utilizar para expresar todas las impedancias realizables (excepto las más simples). Las más conocidas son: ^[12]

• La primera forma de impedancia del punto de excitación de Cauer consiste en una escalera de condensadores en derivación e inductores en serie y es más útil para filtros de paso bajo .
• La segunda forma de impedancia del punto de excitación de Cauer consiste en una escalera de condensadores en serie e inductores en derivación y es más útil para filtros de paso alto .
• La primera forma de impedancia del punto de excitación de Foster consiste en resonadores LC conectados en paralelo (circuitos LC en serie) y es más útil para filtros de paso de banda .
• La segunda forma de impedancia del punto de excitación de Foster consiste en antirresonadores LC conectados en serie (circuitos LC en paralelo) y es más útil para filtros de eliminación de banda .

Otto Brune realizó trabajos teóricos adicionales sobre filtros realizables en términos de una función racional dada como función de transferencia en 1931 ^[13] y Richard Duffin con Raoul Bott en 1949 ^[14]. El trabajo fue resumido en 2010 por John H. Hubbard . ^[15] Cuando una función de transferencia se especifica como una función real positiva (el conjunto de números reales positivos es invariante bajo la función de transferencia), entonces se puede diseñar una red de componentes pasivos (resistencias, inductores y capacitores) con esa función de transferencia.

Los filtros prototipo se utilizan para que el proceso de diseño de filtros sea menos laborioso. El prototipo suele diseñarse como un filtro de paso bajo con impedancia nominal y frecuencia de corte unitarias , aunque son posibles otros esquemas. Los cálculos de diseño completos a partir de las funciones matemáticas y polinomios pertinentes se llevan a cabo solo una vez. El filtro real requerido se obtiene mediante un proceso de escalado y transformación del prototipo. ^[16]

Los valores de los elementos prototipo se publican en tablas, una de las primeras se debe a Sidney Darlington . ^[17] Tanto la potencia informática moderna como la práctica de implementar directamente funciones de transferencia de filtro en el dominio digital han hecho que esta práctica sea en gran medida obsoleta.

Se requiere un prototipo diferente para cada orden de filtro en cada clase. Para aquellas clases en las que hay ondulación de atenuación, se requiere un prototipo diferente para cada valor de ondulación. El mismo prototipo puede usarse para producir filtros que tengan una forma de banda diferente a la del prototipo. Por ejemplo, los filtros de paso bajo , paso alto , paso banda y supresores de banda pueden producirse a partir del mismo prototipo. ^[18]

• Filtro lineal

• Matthaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento , McGraw-Hill 1964.
• E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, "Vida y obra de Wilhelm Cauer (1900–1945)", Actas del Decimocuarto Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpiñán, junio de 2000. Recuperado en línea el 19 de septiembre de 2008.