Filtro elíptico

Un filtro elíptico (también conocido como filtro Cauer , llamado así por Wilhelm Cauer , o como filtro Zolotarev , por Yegor Zolotarev ) es un filtro de procesamiento de señales con un comportamiento de rizado ecualizado (equiripple) tanto en la banda de paso como en la banda de supresión . La cantidad de rizado en cada banda se puede ajustar de forma independiente, y ningún otro filtro de igual orden puede tener una transición más rápida en ganancia entre la banda de paso y la banda de supresión , para los valores dados de rizado (ya sea que el rizado esté ecualizado o no). ^{[ cita requerida ]} Alternativamente, uno puede renunciar a la capacidad de ajustar independientemente el rizado de la banda de paso y la banda de supresión, y en su lugar diseñar un filtro que sea máximamente insensible a las variaciones de los componentes.

A medida que la ondulación en la banda de supresión se acerca a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev de tipo I. A medida que la ondulación en la banda de paso se acerca a cero, el filtro se convierte en un filtro Chebyshev de tipo II y, finalmente, a medida que ambos valores de ondulación se acercan a cero, el filtro se convierte en un filtro Butterworth .

La ganancia de un filtro elíptico de paso bajo en función de la frecuencia angular ω viene dada por:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

donde R _n es la función racional elíptica de orden n ( a veces conocida como función racional de Chebyshev) y

${\displaystyle \omega _{0}}$ es la frecuencia de corte

${\displaystyle \epsilon }$¿Es el factor de ondulación?

${\displaystyle \xi }$es el factor de selectividad

El valor del factor de ondulación especifica la ondulación de la banda de paso, mientras que la combinación del factor de ondulación y el factor de selectividad especifica la ondulación de la banda de supresión.

• En la banda de paso, la función racional elíptica varía entre cero y la unidad. Por lo tanto, la ganancia de la banda de paso variará entre 1 y .${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$
• En la banda de supresión, la función racional elíptica varía entre el infinito y el factor de discriminación que se define como:${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

Por lo tanto, la ganancia de la banda de supresión variará entre 0 y .${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$

• En el límite de la función racional elíptica se convierte en un polinomio de Chebyshev , y por lo tanto el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo I , con factor de rizado ε${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$
• Dado que el filtro Butterworth es una forma limitante del filtro Chebyshev, se deduce que en el límite de , y tal que el filtro se convierte en un filtro Butterworth${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$
• En el límite de , y tal que y , el filtro se convierte en un filtro Chebyshev tipo II con ganancia${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

Los ceros de la ganancia de un filtro elíptico coincidirán con los polos de la función racional elíptica, que se derivan en el artículo sobre funciones racionales elípticas .

Los polos de la ganancia de un filtro elíptico se pueden derivar de una manera muy similar a la derivación de los polos de la ganancia de un filtro Chebyshev tipo I. Para simplificar, suponga que la frecuencia de corte es igual a la unidad. Los polos de la ganancia del filtro elíptico serán los ceros del denominador de la ganancia. Si utilizamos la frecuencia compleja, esto significa que:${\displaystyle (\omega _{pm})}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

Al definir donde cd() es la función coseno elíptica de Jacobi y utilizar la definición de las funciones racionales elípticas, se obtiene:${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

donde y . Resolviendo para w${\displaystyle K=K(1/\xi )}$${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

donde los valores múltiples de la función inversa cd() se hacen explícitos utilizando el índice entero m .

Los polos de la función de ganancia elíptica son entonces:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

Como es el caso de los polinomios de Chebyshev, esto puede expresarse en forma explícitamente compleja (Lutovac & et al. 2001, § 12.8).

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

donde es una función de y y son los ceros de la función racional elíptica. es expresable para todo n en términos de funciones elípticas de Jacobi, o algebraicamente para algunos órdenes, especialmente los órdenes 1, 2 y 3. Para los órdenes 1 y 2 tenemos${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle n,\,\epsilon }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

dónde

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

La expresión algebraica para es bastante compleja (véase Lutovac y col. (2001, § 12.8.1)).${\displaystyle \zeta _{3}}$

La propiedad de anidación de las funciones racionales elípticas se puede utilizar para construir expresiones de orden superior para :${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

dónde .${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$

Para diseñar un filtro elíptico utilizando el número mínimo requerido de elementos, el orden mínimo del filtro elíptico se puede calcular con integrales elípticas de la siguiente manera. ^[1] Las ecuaciones solo tienen en cuenta los filtros elípticos de paso bajo estándar. Incluso las modificaciones de orden introducirán errores que las ecuaciones no tienen en cuenta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {10^{\alpha _{p}/10}-1}{10^{\alpha _{s}/10}-1}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\\X_{1}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{1}\\X_{1}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\\X_{2}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{2}\\X_{2}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\\n&=ceil{\bigg [}{\frac {X_{1}'X_{2}}{X_{1}X_{2}'}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}}$

Los cálculos de la integral elíptica se pueden eliminar con el uso de la siguiente expresión. ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\text{ the selectivity factor }}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}{\text{ (same as }}\tau _{2}{\text{ above)}}\\u&={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{2(1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}\\q&=u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\D&={\frac {10^{A_{s}/10}-1}{10^{A_{p}/10}-1}}{\text{ (same as }}1/\tau _{1}{\text{ above)}}\\n&=ceil{\bigg (}{\frac {\log {16D}}{\log(1/q)}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle \omega _{p}}$y son la frecuencia de ondulación de la banda de paso y la atenuación máxima de ondulación en dB${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$y son la frecuencia de la banda de parada y la atenuación mínima de la banda de parada en dB${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$es el número mínimo de polos, el orden del filtro.

ceil [] es una función de redondeo al siguiente número entero.

Véase Lutovac y et al. (2001, § 12.11, 13.14).

Los filtros elípticos se especifican generalmente requiriendo un valor particular para la ondulación de la banda de paso, la ondulación de la banda de rechazo y la nitidez del corte. Esto generalmente especificará un valor mínimo del orden del filtro que se debe utilizar. Otra consideración de diseño es la sensibilidad de la función de ganancia a los valores de los componentes electrónicos utilizados para construir el filtro. Esta sensibilidad es inversamente proporcional al factor de calidad ( factor Q ) de los polos de la función de transferencia del filtro. El factor Q de un polo se define como:

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

y es una medida de la influencia del polo en la función de ganancia. Para un filtro elíptico, sucede que, para un orden dado, existe una relación entre el factor de rizado y el factor de selectividad que minimiza simultáneamente el factor Q de todos los polos en la función de transferencia:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

Esto da como resultado un filtro que es máximamente insensible a las variaciones de los componentes, pero se perderá la capacidad de especificar de forma independiente las ondulaciones de la banda de paso y la banda de rechazo. Para tales filtros, a medida que aumenta el orden, la ondulación en ambas bandas disminuirá y la tasa de corte aumentará. Si uno decide usar un filtro elíptico de Q mínima para lograr una ondulación mínima particular en las bandas del filtro junto con una tasa de corte particular, el orden necesario generalmente será mayor que el orden que uno necesitaría de otra manera sin la restricción de Q mínima. Una imagen del valor absoluto de la ganancia se verá muy similar a la imagen de la sección anterior, excepto que los polos están dispuestos en un círculo en lugar de una elipse. No estarán espaciados uniformemente y habrá ceros en el eje ω, a diferencia del filtro Butterworth , cuyos polos están dispuestos en un círculo espaciado uniformemente sin ceros.

Aquí hay una imagen que muestra el filtro elíptico junto a otros tipos comunes de filtros obtenidos con el mismo número de coeficientes:

Como se ve claramente en la imagen, los filtros elípticos son más nítidos que todos los demás, pero muestran ondulaciones en todo el ancho de banda.

Las bandas de detención de filtros elípticos son esencialmente filtros Chebyshev con ceros de transmisión donde los ceros de transmisión están dispuestos de una manera que produce una banda de detención de rizado equitativo. Dado esto, es posible convertir una ecuación característica de filtro Chebyshev, que contiene los ceros de reflexión de Chebyshev en el numerador y ningún cero de transmisión en el denominador, a un filtro elíptico que contiene los ceros de reflexión elípticos en el numerador y ceros de transmisión elípticos en el denominador, creando iterativamente ceros de transmisión a partir del inverso escalado de los ceros de reflexión de Chebyshev, y luego restableciendo una banda de paso de Chebyshev de rizado equitativo a partir de los ceros de transmisión, y repitiendo hasta que las iteraciones no produzcan más cambios significativos para . ^[3] El factor de escala utilizado, , es la relación de frecuencia de corte de banda de detención a banda de paso y también se conoce como el inverso del "factor de selectividad". ^[2] Dado que los diseños elípticos generalmente se especifican a partir de los requisitos de atenuación de la banda de detención, , puede derivarse de las ecuaciones que establecen el orden mínimo, n, anteriores.${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

La relación se puede obtener trabajando el problema de orden mínimo, n , anterior al revés desde n para encontrar . ^[2]${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

Los polinomios característicos, calculados a partir de los requisitos de atenuación y, pueden luego traducirse a polinomios de función de transferencia, con la traducción clásica, donde y es la ondulación de la banda de paso. ^{[3] [4]}${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$${\displaystyle A_{p}}$

Diseñe un filtro elíptico con una ondulación de banda de paso de 1 dB desde 0 a 1 rad/seg y una ondulación de banda de detención de 40 dB desde al menos 1,25 rad/seg a .${\displaystyle \infty }$

Al aplicar los cálculos anteriores para el valor de n antes de aplicar la función ceil() , se obtiene que n es 4,83721900 redondeado al siguiente entero, 5, al aplicar la función ceil() , lo que significa que se requiere un filtro elíptico de 5 polos para cumplir con los requisitos de diseño especificados. Al aplicar los cálculos anteriores para diseñar una banda de rechazo de exactamente 40 dB de atenuación, se obtiene que es 1,2186824.${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

La función de inversión escalada de polinomios se puede realizar traduciendo cada raíz, s , a , lo que se puede lograr fácilmente invirtiendo el polinomio y escalándolo por , como se muestra.${\displaystyle \Omega _{c}/s}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

Los pasos para el diseño elíptico son los siguientes: ^[3]

1. Diseñe un filtro Chebyshev con una ondulación de banda de paso de 1 dB.
2. Invierta todos los ceros de reflexión para crear ceros de transmisión.${\displaystyle \Omega _{c}}$
3. Cree una banda de paso de ondulación uniforme a partir de los ceros de transmisión utilizando el proceso descrito en Ceros de transmisión de Chebyshev
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que tanto la banda de paso como la banda de rechazo ya no varíen en una cantidad apreciable. Normalmente, entre 15 y 25 iteraciones producen diferencias de coeficientes del orden de 1,e-15.

Para ilustrar los pasos, las ecuaciones K(s) a continuación comienzan con una K(s) de Chebyshev estándar y luego se repiten durante todo el proceso. Se ven diferencias visibles en las primeras tres iteraciones. Cuando se han alcanzado las 18 iteraciones, las diferencias en K(s) se vuelven insignificantes. Las iteraciones se pueden interrumpir cuando el cambio en los coeficientes K(s) se vuelve lo suficientemente pequeño como para cumplir con los requisitos de precisión del diseño. Las iteraciones K(s) a continuación se han normalizado de modo que , sin embargo, este paso se puede posponer hasta la última iteración, si se desea.${\displaystyle |K(j)|=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Para encontrar la función de transferencia, haga lo siguiente. ^[3]${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Para obtener del semiplano izquierdo, factorice el numerador y el denominador para obtener las raíces utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces . Descarte todas las raíces del semiplano derecho del denominador, la mitad de las raíces repetidas en el numerador y reconstruya con las raíces restantes. ^{[3] [4]} Generalmente, normalice a 1 en .${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

Para confirmar que el ejemplo es correcto, el gráfico de a lo largo se muestra a continuación con una ondulación de banda de paso de 1 dB, una frecuencia de corte de 1 rad/seg, una atenuación de banda de detención de 40 dB que comienza en 1,21868 rad/seg.${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle j\omega }$

Los filtros elípticos de orden par implementados con elementos pasivos, típicamente inductores, capacitores y líneas de transmisión, con terminaciones de igual valor en cada lado, no se pueden implementar con la función de transferencia elíptica tradicional sin el uso de bobinas acopladas, lo que puede no ser deseable o factible. Esto se debe a la incapacidad física de acomodar los ceros de reflexión y transmisión de Chebyshev de orden par que resultan en los valores de la matriz de dispersión S12 que exceden el valor S12 en , y los valores S12 finitos que existen en . Si no es factible diseñar el filtro con una de las terminaciones aumentadas o disminuidas para acomodar la banda de paso S12, entonces la función de transferencia elíptica debe modificarse para mover el cero de reflexión de orden par más bajo a y el cero de transmisión de orden par más alto a mientras se mantiene la respuesta de ondulación equitativa de la banda de paso y la banda de detención. ^[5]${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

La modificación necesaria implica mapear cada polo y cero de la función de transferencia elíptica de una manera que mapee el cero de reflexión de frecuencia más baja a cero, el cero de transmisión de frecuencia más alta a , y los polos y ceros restantes según sea necesario para mantener la banda de paso y la banda de detención de ondulación uniforme. El cero de reflexión de frecuencia más baja se puede encontrar factorizando el numerador, y el cero de transmisión de frecuencia más alta se puede encontrar factorizando el denominador.${\displaystyle \infty }$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

Para traducir los ceros de reflexión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de . ^[5] Si bien en teoría, las operaciones de traducción se pueden realizar en o , los ceros de reflexión se deben extraer de , por lo que generalmente es más eficiente realizar las operaciones de traducción en .${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$¿La función elíptica original es cero o polo?

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo mapeado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{LO}}$es la reflexión de frecuencia más baja cero en la banda de paso.

El signo del componente imaginario de está determinado por el signo del original .${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$

Para traducir los ceros de transmisión, se aplica la siguiente ecuación a todos los polos y ceros de . ^[5] Si bien en teoría, las operaciones de traducción se pueden realizar en o , si los ceros de reflexión se deben extraer de , puede ser más eficiente realizar las operaciones de traducción en .${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

Dónde:

${\displaystyle R_{i}}$¿La función elíptica original es cero o polo?

${\displaystyle R_{i}'}$es el cero o polo mapeado para la función de transferencia de orden par modificada.

${\displaystyle \omega _{HI}}$es el cero de transmisión de frecuencia más alta en la banda de paso.

El signo del componente imaginario de se determina por el signo del original . Si se opera sobre el signo del componente real de debe ser negativo para cumplir con el requisito del semiplano izquierdo.${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle R_{i}'}$

Es importante tener en cuenta que todas las aplicaciones requieren traducciones de paso y de parada. Los diplexores de red pasivos, por ejemplo, solo requieren traducciones de bandas de parada de orden par y funcionan de manera más eficiente con bandas de paso de orden par sin traducir. ^[5]

Cuando se completa, se crea una función de transferencia de ondulación equitativa con valores de matriz de dispersión para S12 de 1 y 0 en , que se puede implementar con redes pasivas igualmente terminadas.${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

La siguiente ilustración muestra un filtro elíptico de octavo orden modificado para soportar redes pasivas igualmente terminadas de orden par, reubicando el cero de reflexión de frecuencia más baja desde una frecuencia finita a 0 y el cero de transmisión de frecuencia más alta a 0, mientras se mantiene una respuesta de frecuencia de banda de paso y banda de detención con ondulación uniforme.${\displaystyle \infty }$

El cálculo del orden y en el párrafo de construcción elíptica anterior se aplica únicamente a filtros elípticos no modificados. Aunque las modificaciones de orden par no tienen efecto en la atenuación de la banda de paso o de la banda de detención, se pueden esperar pequeños errores en los cálculos del orden y. Por lo tanto, es importante aplicar modificaciones de orden par después de que se completen todas las iteraciones si se desea preservar las atenuaciones de la banda de paso y de detención. Si la función elíptica modificada de orden par se crea a partir de un requisito, el valor real será ligeramente mayor que el valor de diseño . Asimismo, un cálculo de orden, n , puede dar como resultado un valor menor que el valor real requerido.${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

Un filtro de reloj de arena es un caso especial de filtro donde los ceros de reflexión son el recíproco de los ceros de transmisión alrededor de una frecuencia de atenuación de corte normalizada de 3,01 dB de 1 rad/seg, lo que da como resultado que todos los polos del filtro residan en el círculo unitario. ^[6] La implementación del reloj de arena elíptico tiene una ventaja sobre un filtro Chebyshev inverso en que la banda de paso es más plana y tiene una ventaja sobre los filtros elípticos tradicionales en que el retardo de grupo tiene un pico menos agudo en la frecuencia de corte.

La forma más sencilla de sintetizar un filtro de reloj de arena es diseñar un filtro elíptico con una atenuación de banda de paso de diseño especificada, As , y una atenuación de banda de paso calculada que cumpla con el requisito de red de dos puertos sin pérdidas de que los parámetros de dispersión . ^[7] Junto con la conocida magnitud dB a la traducción aritmética, , la manipulación algebraica produce el siguiente requisito calculado de atenuación de banda de paso.${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}$

La A _p , definida anteriormente, producirá ceros de reflexión y transmisión recíprocos alrededor de una frecuencia de corte aún desconocida de 3,01 dB. Para diseñar un filtro elíptico con una frecuencia de banda de paso de 1 rad/seg, se debe determinar la frecuencia de atenuación de 3,01 dB y esa frecuencia se debe utilizar para escalar inversamente los polinomios de diseño elíptico. El resultado serán polinomios con una atenuación de 3,01 dB a una frecuencia normalizada de 1 rad/seg. Se puede utilizar el método de Newton o resolver las ecuaciones directamente con un algoritmo de búsqueda de raíces para determinar la frecuencia de atenuación de 3,01 dB.

Si es la función de transferencia de reloj de arena para encontrar la frecuencia de 3,01 dB, y es la frecuencia de 3 dB para encontrar, se pueden utilizar los pasos siguientes para encontrar${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle \omega _{c}}$

1. Si aún no está disponible, multiplique por para obtener .${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. Niega todos los términos de cuando es divisible por . Eso sería , , , y así sucesivamente. La función modificada se llamará , y esta modificación permitirá el uso de números reales en lugar de números complejos al evaluar el polinomio y su derivada. Ahora se puede usar el real en lugar del complejo.${\displaystyle s^{n}}$${\displaystyle (n+2)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{6}}$${\displaystyle s^{10}}$${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. Convierta la atenuación deseada en dB, , en un valor de ganancia aritmética al cuadrado, , utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823, y así sucesivamente.${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. Calcular la modificada en el método de Newton utilizando el valor real, . Tomar siempre el valor absoluto.${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}$${\displaystyle \omega _{a}}$
5. Calcular la derivada modificada respecto del valor real, NO tomar el valor absoluto de la derivada.${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}$${\displaystyle \omega _{a}}$

Cuando se completan los pasos 1) a 4), la expresión que involucra el método de Newton puede escribirse como:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

utilizando un valor real para sin necesidad de aritmética compleja. El movimiento de debe limitarse para evitar que se vuelva negativo al principio de las iteraciones para una mayor confiabilidad. Cuando se completa la convergencia, se puede utilizar para que se pueda utilizar para escalar el denominador de la función de transferencia original. La atenuación de la modificada será entonces prácticamente el valor deseado exacto a 1 rad/seg. Si se realiza correctamente, solo se necesitan unas pocas iteraciones para establecer la atenuación a través de un amplio rango de valores de atenuación deseados para filtros de orden pequeño y muy grande.${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$

Dado que no contiene ninguna información de fase, factorizar directamente la función de transferencia no producirá resultados utilizables. Sin embargo, la función de transferencia puede modificarse multiplicándola por para eliminar todas las potencias impares de , lo que a su vez obliga a que sea real en todas las frecuencias y luego encontrar la frecuencia que resulte en el cuadrado de la atención deseada.${\displaystyle |G(j\omega _{a})|}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$

1. Si aún no está disponible, multiplique por para obtener .${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. Convierta la atenuación deseada en dB, , en un valor de ganancia aritmética al cuadrado, , utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823, y así sucesivamente.${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. Encontrar${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}$
4. Encuentre las raíces de P(S) utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces.
5. Del conjunto de raíces de arriba, seleccione la raíz imaginaria positiva para todos los filtros de orden y la raíz real positiva para los filtros de orden par para .${\displaystyle \omega _{c}}$

Una vez determinado, el polinomio de la función de transferencia del reloj de arena se puede escalar de la siguiente manera:${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}$

Los filtros de reloj de arena de orden par tienen las mismas limitaciones en lo que respecta a las redes pasivas igualmente terminadas que otros filtros elípticos. Las mismas modificaciones de orden par que resuelven el problema con los filtros elípticos también resuelven el problema con los filtros de reloj de arena.

• Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Diseño de filtros para procesamiento de señales con MATLAB y Mathematica. Nueva Jersey, EE. UU.: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.