Filtro de imagen compuesta

Un filtro de imagen compuesto es un filtro electrónico que consta de múltiples secciones de filtro de imagen de dos o más tipos diferentes.

El método de imagen para el diseño de filtros determina las propiedades de las secciones de filtro calculando las propiedades que tendrían en una cadena infinita de secciones idénticas. En esto, el análisis es paralelo a la teoría de líneas de transmisión en la que se basa. Los filtros diseñados por este método se denominan filtros de parámetros de imagen o simplemente filtros de imagen . Un parámetro importante de los filtros de imagen es su impedancia de imagen , la impedancia de una cadena infinita de secciones idénticas.

Las secciones básicas están dispuestas en una red en escalera de varias secciones; la cantidad de secciones necesarias se determina principalmente por la cantidad de rechazo de banda de rechazo requerida. En su forma más simple, el filtro puede constar completamente de secciones idénticas. Sin embargo, es más habitual utilizar un filtro compuesto de dos o tres tipos diferentes de sección para mejorar diferentes parámetros que se abordan mejor con un tipo particular. Los parámetros que se consideran con más frecuencia son el rechazo de banda de rechazo, la inclinación de la falda del filtro ( banda de transición ) y la adaptación de impedancia a las terminaciones del filtro.

Los filtros de imagen son filtros lineales y, invariablemente, también son pasivos en su implementación.

El método de imágenes para diseñar filtros se originó en AT&T , que estaba interesada en desarrollar un filtrado que pudiera utilizarse con la multiplexación de muchos canales telefónicos en un solo cable. A continuación se enumeran brevemente los investigadores que participaron en este trabajo y sus contribuciones:

• John Carson proporcionó la base matemática de la teoría. Inventó la modulación de banda lateral única con el fin de multiplexar canales telefónicos. La necesidad de recuperar estas señales dio lugar a la necesidad de técnicas de filtrado avanzadas. También fue pionero en el uso del cálculo operacional (lo que ahora se ha convertido en la teoría de las transformadas de Laplace en su forma matemática más formal) para analizar estas señales. ^[1]
• George Campbell trabajó en el campo del filtrado a partir de 1910 e inventó el filtro k constante . ^[2] Esto puede considerarse como una continuación de su trabajo sobre bobinas de carga en líneas de transmisión , un concepto inventado por Oliver Heaviside . Heaviside, por cierto, también inventó el cálculo operacional que utilizó Carson. ^[3]
• Otto Zobel proporcionó una base teórica (y el nombre) para los filtros de Campbell. En 1920 inventó el filtro derivado de m . Zobel también publicó diseños compuestos que incorporaban secciones de k constante y derivadas de m . ^[4]
• RS Hoyt también contribuyó. ^{[5] [6]}

El análisis de la imagen comienza con un cálculo de las impedancias de entrada y salida (impedancias de imagen) y la función de transferencia de una sección en una cadena infinita de secciones idénticas. Se puede demostrar que esto es equivalente al rendimiento de una sección terminada en sus impedancias de imagen. ^[7] El método de imagen, por lo tanto, se basa en que cada sección del filtro esté terminada con la impedancia de imagen correcta. Esto es bastante fácil de hacer con las secciones internas de un filtro de secciones múltiples, porque solo es necesario garantizar que las secciones que miran hacia la sección en cuestión tengan impedancias de imagen idénticas. Sin embargo, las secciones finales son un problema. Por lo general, se terminarán con resistencias fijas que el filtro no puede igualar perfectamente excepto en una frecuencia específica. Este desajuste conduce a múltiples reflexiones en las terminaciones del filtro y en las uniones entre secciones. Estas reflexiones dan como resultado que la respuesta del filtro se desvíe bastante de la teórica, especialmente cerca de la frecuencia de corte. ^[8]

La necesidad de una mejor adaptación a las impedancias finales es una de las principales motivaciones para utilizar filtros compuestos. En los extremos se utiliza una sección diseñada para proporcionar una buena adaptación, pero se diseña algo más (por ejemplo, rechazo de banda de rechazo o transición de banda de paso a banda de rechazo) para el cuerpo del filtro.

Cada tipo de sección de filtro tiene ventajas y desventajas particulares y cada una tiene la capacidad de mejorar parámetros de filtro particulares. Las secciones descritas a continuación son los filtros prototipo para secciones de paso bajo . Estos prototipos se pueden escalar y transformar a la forma de banda de frecuencia deseada (paso bajo, paso alto , paso de banda o eliminación de banda ).

La unidad más pequeña de un filtro de imagen es una media sección L. Debido a que la sección L no es simétrica, tiene diferentes impedancias de imagen ( ) en cada lado. Estas se denotan y La T y la Π en el sufijo se refieren a la forma de la sección de filtro que se formaría si se conectaran dos medias secciones espalda con espalda. T y Π son las secciones simétricas más pequeñas que se pueden construir, como se muestra en los diagramas del diagrama de topología (a continuación). Cuando la sección en cuestión tiene una impedancia de imagen diferente del caso general, se agrega un sufijo adicional que identifica el tipo de sección, por ejemplo${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i}}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {iT}}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i\Pi }}~.}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {iT}}\!\;m}~.}$

Secciones de filtros de imagen
	Desequilibrado L Media sección Sección T Sección Π Red de escalera
	Equilibrado C Media sección Sección H Sección de caja Red de escalera Sección X (derivada de T media) Sección X (derivada de la mitad de la línea Π)
NÓTESE BIEN Los libros de texto y los dibujos de diseño generalmente muestran las implementaciones no balanceadas, pero en telecomunicaciones a menudo es necesario convertir el diseño a la implementación balanceada cuando se utiliza con líneas balanceadas . editar

La sección de filtro de tipo k o k constante es la sección de filtro de imagen básica. También es la topología de circuito más simple. El tipo k tiene una transición moderadamente rápida de la banda de paso a la banda de rechazo y un rechazo de banda de rechazo moderadamente bueno.

• 
  Sección media del filtro de paso bajo tipo k
• 
  Respuesta de paso bajo tipo k con cuatro (medias) secciones

La sección de filtro derivada de m o de tipo m es un desarrollo de la sección de tipo k . La característica más destacada del tipo m es un polo de atenuación justo después de la frecuencia de corte dentro de la banda de rechazo. El parámetro m ( 0 < m < 1 ) ajusta la posición de este polo de atenuación. Los valores más pequeños de m colocan el polo más cerca de la frecuencia de corte. Los valores más grandes de m lo alejan. En el límite, cuando m se acerca a 1 , el polo se acerca a ω de infinito y la sección se acerca a una sección de tipo k .

El filtro de tipo m tiene un corte particularmente rápido, que va desde un paso completo en la frecuencia de corte hasta un bloqueo completo en la frecuencia del polo. El corte se puede hacer más rápido moviendo el polo más cerca de la frecuencia de corte. Este filtro tiene el corte más rápido de todos los diseños de filtros; tenga en cuenta que la transición rápida se logra con una sola sección, no hay necesidad de múltiples secciones. El inconveniente de las secciones de tipo m es que tienen un rechazo deficiente de la banda de bloqueo más allá del polo de atenuación.

Existe una propiedad particularmente útil de los filtros de tipo m con m = 0,6. Estos tienen una impedancia de imagen máximamente plana en la banda de paso. Por lo tanto, son buenos para adaptarse a las terminaciones del filtro, al menos en la banda de paso; la banda de rechazo es otra historia.${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;m}\;}$

Existen dos variantes de la sección de tipo m , la serie y la shunt . Tienen funciones de transferencia idénticas pero sus impedancias de imagen son diferentes. La semisección shunt tiene una impedancia de imagen que coincide en un lado pero tiene una impedancia diferente en el otro. La semisección serie coincide en un lado y tiene en el otro.${\displaystyle \;Z_{\mathsf {i\Pi }}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {iT}}\!\;m}\;}$${\displaystyle \;Z_{\mathsf {iT}}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i\Pi }}\!\;m}\;}$

• 
  Sección de derivación de filtro de paso bajo tipo m
• 
  Respuesta de paso bajo tipo m, sección media única, m = 0,5
• 
  Respuesta de paso bajo tipo m con cuatro (medias) secciones m = 0,5
• 
  Serie de filtros de paso bajo tipo m , sección media
• 
  Respuesta de paso bajo tipo m, sección media única m = 0,75
• 
  Respuesta de paso bajo tipo m, media sección única m = 0,25

La sección de tipo mm' tiene dos parámetros independientes ( m y m' ) que el diseñador puede ajustar. Se llega a ella mediante la doble aplicación del proceso de derivación m . Su principal ventaja es que se adapta mejor a las terminaciones resistivas que el tipo k o el tipo m . La impedancia de imagen de una media sección está en un lado y una impedancia diferente, en el otro. Al igual que el tipo m , esta sección se puede construir como una sección en serie o en derivación y las impedancias de imagen vendrán en variantes T y Π. Se aplica una construcción en serie a un tipo m en derivación o una construcción en derivación a un tipo m en serie . Las ventajas del filtro de tipo mm' se logran a expensas de una mayor complejidad del circuito, por lo que normalmente solo se usaría donde se necesita para fines de adaptación de impedancia y no en el cuerpo del filtro.${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;m}\;}$${\displaystyle \;Z_{{\mathsf {i}}\!\;mm'}\;}$

La función de transferencia de un tipo mm′ es la misma que la de un tipo m con mm′ establecido en el producto mm′ . Para elegir los valores de m y m′ para la mejor adaptación de impedancia, el diseñador debe elegir dos frecuencias en las que la adaptación sea exacta; en otras frecuencias habrá alguna desviación. Por lo tanto, existe cierto margen de maniobra en la elección, pero Zobel sugiere ^[9] los valores m = 0,7230 y m′ = 0,4134 que dan una desviación de la impedancia de menos del 2% sobre la parte útil de la banda. Dado que mm′ = 0,3, esta sección también tendrá un corte mucho más rápido que un tipo m de m = 0,6, que es una alternativa para la adaptación de impedancia.

Es posible continuar el proceso de derivación m repetidamente y producir m tipos m′m″ y así sucesivamente. Sin embargo, las mejoras obtenidas disminuyen en cada iteración y normalmente no compensan el aumento de complejidad.

• 
  Serie de filtros de paso bajo de tipo mm′ de media sección
• 
  Respuesta de paso bajo tipo m, sección media única m = 0,6
• 
  Respuesta de paso bajo tipo mm′ de una sola sección y media mm′ = 0,3

Hendrik Bode describió otra variación del filtro de tipo m . Este filtro utiliza como prototipo un filtro derivado de m de serie media y lo transforma en una topología en T puenteada con la adición de una resistencia puente. Esta sección tiene la ventaja de poder colocar el polo de atenuación mucho más cerca de la frecuencia de corte que el filtro Zobel, que comienza a fallar en su funcionamiento correcto con valores muy pequeños de m debido a la resistencia del inductor. Consulte las transformadas de impedancia equivalente para obtener una explicación de su funcionamiento. ^[10]

La característica distintiva de los filtros de red Zobel es que tienen una impedancia de imagen de resistencia constante y por esta razón también se conocen como redes de resistencia constante . Claramente, el filtro de red Zobel no tiene problemas de adaptación a sus terminaciones y esta es su principal ventaja. Sin embargo, otros tipos de filtros tienen funciones de transferencia más pronunciadas y cortes más agudos. En aplicaciones de filtrado, la función principal de las redes Zobel es como filtros de ecualización . Las redes Zobel están en un grupo diferente de otros filtros de imagen. La resistencia constante significa que cuando se utilizan en combinación con otras secciones de filtro de imagen surge el mismo problema de adaptación que con las terminaciones finales. Las redes Zobel también sufren la desventaja de utilizar muchos más componentes que otras secciones de imagen equivalentes.

• 
  Sección del filtro de paso alto del puente de red Zobel T
• 
  Respuesta de paso bajo de red Zobel, sección única
• 
  Respuesta de paso bajo de la red Zobel en cinco secciones

Una consecuencia del método de imagen para el diseño de filtros es que el efecto de las terminaciones finales debe calcularse por separado si se deben tener en cuenta sus efectos sobre la respuesta. La desviación más grave de la respuesta con respecto a la predicha se produce en la banda de paso cercana al punto de corte. La razón de esto es doble. Más adentro de la banda de paso, la adaptación de impedancia mejora progresivamente, lo que limita el error. Por otro lado, las ondas en la banda de rechazo se reflejan desde la terminación final debido al desajuste, pero se atenúan dos veces por el rechazo de la banda de rechazo del filtro cuando pasan a través de ella. Por lo tanto, si bien el desajuste de impedancia de la banda de rechazo puede ser grave, solo tiene un efecto limitado sobre la respuesta del filtro.

• 
  Respuesta teórica del filtro T de paso bajo tipo k (dos medias secciones) cuando se termina correctamente en impedancia de imagen
• 
  Respuesta práctica del filtro T de paso bajo tipo k (dos medias secciones) cuando se termina con resistencias fijas

Varias secciones medias L pueden conectarse en cascada para formar un filtro compuesto. La regla más importante al construir un filtro de imagen compuesto es que las impedancias de la imagen siempre deben estar enfrentadas a una impedancia idéntica; las secciones iguales siempre deben estar enfrentadas a las mismas. Las secciones T siempre deben estar enfrentadas a las secciones T, las secciones Π siempre deben estar enfrentadas a las secciones Π, las de tipo k siempre deben estar enfrentadas a las de tipo k (o al lado de una de tipo m que tenga la impedancia de tipo k ) y las de tipo m siempre deben estar enfrentadas a las de tipo m . Además, las impedancias de tipo m con diferentes valores de m no pueden estar enfrentadas entre sí. Tampoco pueden estar enfrentadas las secciones de cualquier tipo que tengan diferentes valores de frecuencia de corte.

Las secciones al principio y al final del filtro suelen elegirse por su adaptación de impedancia a las terminaciones en lugar de por la forma de su respuesta de frecuencia. Para este fin, las secciones de tipo m de m = 0,6 son la opción más común. ^[11] Una alternativa son las secciones de tipo mm′ de m = 0,7230 y m′ = 0,4134, aunque este tipo de sección rara vez se utiliza. Si bien tiene varias ventajas que se indican a continuación, tiene las desventajas de ser más compleja y, además, si se requieren secciones k constantes en el cuerpo del filtro, es necesario incluir secciones de tipo m para interconectar el tipo mm′ con los tipos k . ^[12]

Las secciones internas del filtro se eligen más comúnmente para que sean k constantes , ya que producen la mayor atenuación de banda de rechazo. Sin embargo, también se pueden incluir una o dos secciones de tipo m para mejorar la tasa de caída de paso a banda de rechazo. Se elige un valor bajo de m para los tipos m utilizados para este propósito. Cuanto menor sea el valor de m , más rápida será la transición, mientras que, al mismo tiempo, la atenuación de banda de rechazo se vuelve menor, lo que aumenta también la necesidad de utilizar secciones de tipo k adicionales. Una ventaja de utilizar tipos mm′ para la adaptación de impedancia es que este tipo de secciones finales tendrán una transición rápida de todos modos (mucho más que m = 0,6, tipo m ) porque mm′ = 0,3 para la adaptación de impedancia. Por lo tanto, se puede prescindir de la necesidad de secciones en el cuerpo del filtro para hacer esto.

Otra razón para utilizar tipos m en el cuerpo del filtro es colocar un polo adicional de atenuación en la banda de rechazo. La frecuencia del polo depende directamente del valor de m . Cuanto menor sea el valor de m , más cerca está el polo de la frecuencia de corte. Por el contrario, un valor grande de m coloca el polo más lejos del corte hasta que en el límite cuando m = 1 el polo está en el infinito y la respuesta es la misma que la sección de tipo k . Si se elige un valor de m para este polo que sea diferente del polo de las secciones finales, tendrá el efecto de ampliar la banda de buen rechazo de banda de rechazo cerca de la frecuencia de corte. De esta manera, las secciones de tipo m sirven para dar un buen rechazo de banda de rechazo cerca del corte y las secciones de tipo k dan un buen rechazo de banda de rechazo lejos del corte. Alternativamente, se pueden utilizar secciones de tipo m en el cuerpo del filtro con diferentes valores de m si el valor encontrado en las secciones finales no es adecuado. Nuevamente, el tipo mm′ tendría algunas ventajas si se usara para la adaptación de impedancia. El tipo mm′ usado para la adaptación de impedancia coloca el polo en m = 0,3. Sin embargo, la otra mitad de la sección de adaptación de impedancia debe ser un tipo m de m = 0,723. ^[9] Esto automáticamente proporciona una buena dispersión del rechazo de banda de rechazo y, al igual que con el problema de la inclinación de la transición, el uso de secciones de tipo mm′ puede eliminar la necesidad de secciones de tipo m adicionales en el cuerpo.

También pueden ser necesarias secciones de resistencia constante, si el filtro se utiliza en una línea de transmisión, para mejorar la uniformidad de la respuesta de la banda de paso. Esto es necesario porque la respuesta de la línea de transmisión no suele ser ni de lejos perfectamente plana. Estas secciones normalmente se colocarían más cerca de la línea, ya que presentan una impedancia predecible a la línea y también tienden a enmascarar la impedancia indeterminada de la línea del resto del filtro. No hay problema con hacer coincidir las secciones de resistencia constante entre sí, incluso cuando las secciones funcionan en bandas de frecuencia totalmente diferentes. Se puede hacer que todas las secciones tengan exactamente la misma impedancia de imagen de una resistencia fija.