Filtro de Bessel

En electrónica y procesamiento de señales , un filtro Bessel es un tipo de filtro lineal analógico con un retardo de grupo máximo plano (es decir, respuesta de fase máximamente lineal ), que preserva la forma de onda de las señales filtradas en la banda de paso. ^[1] Los filtros Bessel se utilizan a menudo en sistemas de cruce de audio .

El nombre del filtro es una referencia al matemático alemán Friedrich Bessel (1784-1846), quien desarrolló la teoría matemática en la que se basa el filtro. Los filtros también se denominan filtros Bessel-Thomson en reconocimiento a WE Thomson, quien descubrió cómo aplicar las funciones de Bessel al diseño de filtros en 1949. ^[2]

El filtro de Bessel es muy similar al filtro gaussiano y tiende a adoptar la misma forma a medida que aumenta el orden del filtro. ^{[3] [4] Mientras que la} respuesta escalonada en el dominio del tiempo del filtro gaussiano tiene un sobreimpulso cero , ^[5] el filtro de Bessel tiene una pequeña cantidad de sobreimpulso, ^{[6] [7]} pero aún mucho menor que otros filtros comunes en el dominio de la frecuencia, como los filtros Butterworth. Se ha observado que la respuesta al impulso de los filtros Bessel-Thomson tiende a ser gaussiana a medida que aumenta el orden del filtro. ^[3]

En comparación con las aproximaciones de orden finito del filtro gaussiano, el filtro Bessel tiene un factor de modelado ligeramente mejor (es decir, qué tan bien un filtro particular se aproxima a la respuesta de paso bajo ideal), un retardo de fase más plano y un retardo de grupo más plano que un filtro gaussiano del mismo orden, aunque el gaussiano tiene un retardo de tiempo menor y un sobreimpulso cero. ^[8]

Un filtro de paso bajo de Bessel se caracteriza por su función de transferencia : ^[9]

${\displaystyle H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,}$

donde es un polinomio de Bessel inverso del cual el filtro obtiene su nombre y es una frecuencia elegida para dar la frecuencia de corte deseada. El filtro tiene un retardo de grupo de baja frecuencia de . Dado que es indeterminado por la definición de polinomios de Bessel inversos, pero es una singularidad removible, se define que .${\displaystyle \theta_{n}(s)}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle 1/\omega _{0}}$${\displaystyle \theta_{n}(0)}$${\displaystyle \theta_{n}(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\theta_{n}(x)}$

La función de transferencia del filtro de Bessel es una función racional cuyo denominador es un polinomio de Bessel inverso , como el siguiente:

${\displaystyle n=1:\cuadrado s+1}$

${\displaystyle n=2:\cuadrado s^{2}+3s+3}$

${\displaystyle n=3:\cuadrado s^{3}+6s^{2}+15s+15}$

${\displaystyle n=4:\cuadrado s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105}$

${\displaystyle n=5:\cuadrado s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945}$

Los polinomios de Bessel inversos se dan por: ^[9]

${\displaystyle \theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},}$

dónde

${\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{nk}k!(nk)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}$

No existe un valor de atenuación estándar para los filtros Bessel. ^[8] Sin embargo, −3,0103 dB es una opción común. Algunas aplicaciones pueden utilizar una atenuación mayor o menor, como −1 dB o −20 dB. Para establecer la frecuencia de atenuación de corte, primero hay que encontrar la frecuencia que logra la atenuación deseada, a la que se hará referencia como , y luego escalar los polinomios a la inversa de esa frecuencia. Para escalar los polinomios, simplemente se añade al término en cada coeficiente, como se muestra en el ejemplo de filtro Bessel de 3 polos a continuación.${\displaystyle \omega_{c}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle \omega_{c}}$${\estilo de visualización s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{\text{dB deseado en }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \omega_{c}}$se puede encontrar con el método de Newton o con la búsqueda de raíces .

El método de Newton requiere un valor de magnitud conocido y un valor de magnitud derivada para . Sin embargo, es más fácil operar con el cuadrado de la ganancia de corte deseada y utilizarlo, y es igual de preciso, por lo que se utilizarán los términos cuadrados.${\displaystyle |H(j\omega _{c})|}$${\displaystyle |H(j\omega_{c})H(-j\omega_{c})|}$

Para obtenerlo , siga los pasos a continuación.${\displaystyle \omega_{c}}$

1. Si aún no está disponible, multiplique por para obtener .${\displaystyle H(s)H(-s)}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(s)H(-s)}$
2. Niega todos los términos de cuando es divisible por . Eso sería , , , y así sucesivamente. La función modificada se llamará , y esta modificación permitirá el uso de números reales en lugar de números complejos al evaluar el polinomio y su derivada. Ahora se puede usar el real en lugar del complejo.$Estilo de visualización s^{n}}$${\estilo de visualización (n+2)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{6}}$${\displaystyle s^{10}}$${\displaystyle H_{2}(s)H_{2}(-s)}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. Convierta la atenuación deseada en dB, , en un valor de ganancia aritmética al cuadrado, , utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823, y así sucesivamente.${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. Calcular la modificada en el método de Newton utilizando el valor real, . Tomar siempre el valor absoluto.${\displaystyle |H_{2}(s)H_{2}(-s)|}$${\displaystyle \omega _{a}}$
5. Calcular la derivada modificada respecto del valor real, NO tomar el valor absoluto de la derivada.${\displaystyle H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})}$${\displaystyle \omega _{a}}$

Cuando se completan los pasos 1) a 4), la expresión que involucra el método de Newton puede escribirse como:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

utilizando un valor real para sin necesidad de aritmética compleja. El movimiento de debe limitarse para evitar que se vuelva negativo al principio de las iteraciones para una mayor confiabilidad. Cuando se complete, se puede utilizar para que se pueda utilizar para escalar el denominador de la función de transferencia original. La atenuación de la modificada será entonces prácticamente el valor deseado exacto a 1 rad/seg. Si se realiza correctamente, solo se necesitan unas pocas iteraciones para establecer la atenuación a través de un amplio rango de valores de atenuación deseados para filtros de orden pequeño y muy grande.${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle G(s)}$

Dado que no contiene ninguna información de fase, factorizar directamente la función de transferencia no producirá resultados utilizables. Sin embargo, la función de transferencia puede modificarse multiplicándola por para eliminar todas las potencias impares de , lo que a su vez obliga a que sea real en todas las frecuencias y, a continuación, encontrar la frecuencia que resulte en el cuadrado de la atención deseada.${\displaystyle |H(j\omega _{a})|}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(j\omega _{a})}$${\displaystyle H(j\omega _{a})}$

1. Si aún no está disponible, multiplique por para obtener .${\displaystyle H(s)H(-s)}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(s)H(-s)}$
2. Convierta la atenuación deseada en dB, , en un valor de ganancia aritmética al cuadrado, , utilizando . Por ejemplo, 3,010 dB se convierte en 0,5, 1 dB se convierte en 0,79432823, y así sucesivamente.${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. Encontrar${\displaystyle P(S)=H_{num}(S)H_{num}(-S)-B_{arith}^{2}H_{den}(S)H_{den}(-S)}$
4. Encuentre las raíces de P(S) utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces.
5. Del conjunto de raíces anterior, seleccione la raíz imaginaria positiva para los filtros de orden impar y la raíz real positiva para los filtros de orden par.
   1. Las atenuaciones de corte que están por encima de la ondulación de la banda de paso o por debajo de la ondulación de la banda de detención volverán con raíces múltiples, por lo que se deberá seleccionar la raíz correcta.

Un ejemplo de atenuación de frecuencia de corte de 20 dB que utiliza el ejemplo de Bessel de 3 polos a continuación se establece de la siguiente manera.

${\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{\text{Find }}H(s)'{\text{ such that }}|H(s)'|=-20{\text{ dB at }}\omega =1{\text{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{\text{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{\text{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{\text{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{\text{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB Gain}}\end{aligned}}}$

La función de transferencia para un filtro de paso bajo de Bessel de tercer orden (tripolar ) es${\displaystyle \omega _{0}=1}$

${\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}$

donde el numerador ha sido elegido para dar una ganancia unitaria a frecuencia cero ( ). Las raíces del polinomio del denominador, los polos del filtro, incluyen un polo real en , y un par de polos complejos conjugados en , graficados arriba.${\displaystyle s=0}$${\displaystyle s=-2.3222}$${\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}$

La ganancia es entonces

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}$

El punto de -3 dB, donde se produce en . Esto se denomina convencionalmente frecuencia de corte.${\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,}$${\displaystyle \omega =1.756}$

La fase es

${\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).\,}$

El retraso del grupo es

${\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,}$

La expansión en serie de Taylor del retardo de grupo es

${\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}$

Nótese que los dos términos en y son cero, lo que resulta en un retardo de grupo muy plano en . Este es el mayor número de términos que se pueden establecer en cero, ya que hay un total de cuatro coeficientes en el polinomio de Bessel de tercer orden, lo que requiere cuatro ecuaciones para definirse. Una ecuación especifica que la ganancia sea la unidad en y una segunda especifica que la ganancia sea cero en , dejando dos ecuaciones para especificar que dos términos en la expansión en serie sean cero. Esta es una propiedad general del retardo de grupo para un filtro de Bessel de orden : los primeros términos en la expansión en serie del retardo de grupo serán cero, maximizando así la planitud del retardo de grupo en .${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega ^{4}}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \omega =0}$

Aunque la transformación bilineal se utiliza para convertir filtros de tiempo continuo (analógicos) en filtros de respuesta de impulso infinito (IIR) de tiempo discreto (digitales) con una respuesta de frecuencia comparable, los filtros IIR obtenidos mediante la transformación bilineal no tienen un retardo de grupo constante. ^[10] Dado que la característica importante de un filtro de Bessel es su retardo de grupo máximo plano, la transformación bilineal no es apropiada para convertir un filtro de Bessel analógico en una forma digital.

El equivalente digital es el filtro Thiran, también un filtro de paso bajo de todos los polos con un retardo de grupo máximo y plano, ^{[11] [12]} que también se puede transformar en un filtro de paso total para implementar retardos fraccionarios. ^{[13] [14]}

• Función de Bessel
• Filtro Butterworth
• Filtro de Chebyshev
• Filtro de peine
• Filtro elíptico
• Retardo de grupo y retardo de fase

• Filtros de fase lineal y de Bessel — Nuhertz
• Constantes del filtro de Bessel: enlace CR
• Filtros de Bessel: polinomios, polos y elementos de circuito: enlace CR
• Código fuente de Java para calcular los polos del filtro Bessel