Esfera

Esfera
Una proyección en perspectiva de una esfera.
Tipo	Superficie lisa Superficie algebraica
Carácter de Euler.	2
Grupo de simetría	O(3)
Área de superficie	4πr2​
Volumen	⁠4/3⁠ πr3​

Una esfera (del griego σφαῖρα , sphaîra ) ^[1] es un objeto geométrico que es un análogo tridimensional de un círculo bidimensional . Formalmente, una esfera es el conjunto de puntos que están todos a la misma distancia r de un punto dado en el espacio tridimensional . ^[2] Ese punto dado es el centro de la esfera, y r es el radio de la esfera . Las primeras menciones conocidas de esferas aparecen en el trabajo de los antiguos matemáticos griegos .

La esfera es un objeto fundamental en muchos campos de las matemáticas . Las esferas y las formas casi esféricas también aparecen en la naturaleza y la industria. Las burbujas, como las pompas de jabón, adoptan una forma esférica en equilibrio. La Tierra se suele considerar una esfera en geografía y la esfera celeste es un concepto importante en astronomía . Los artículos manufacturados, incluidos los recipientes a presión y la mayoría de los espejos y lentes curvos, se basan en esferas. Las esferas ruedan suavemente en cualquier dirección, por lo que la mayoría de las pelotas que se utilizan en los deportes y los juguetes son esféricas, al igual que los cojinetes de bolas .

Como se mencionó anteriormente, r es el radio de la esfera; cualquier línea que va desde el centro hasta un punto de la esfera también se denomina radio. "Radio" se utiliza en dos sentidos: como segmento de línea y también como su longitud. ^[3]

Si se extiende un radio a través del centro hasta el lado opuesto de la esfera, se crea un diámetro . Al igual que el radio, la longitud de un diámetro también se llama diámetro y se denota d . Los diámetros son los segmentos de línea más largos que se pueden dibujar entre dos puntos de la esfera: su longitud es el doble del radio, d = 2 r . Dos puntos de la esfera conectados por un diámetro son puntos antípodas entre sí. ^[3]

Una esfera unitaria es una esfera con un radio unitario ( r = 1 ). Por conveniencia, a menudo se considera que las esferas tienen su centro en el origen del sistema de coordenadas y, en este artículo, las esferas tienen su centro en el origen a menos que se mencione un centro.

Un círculo máximo en la esfera tiene el mismo centro y radio que la esfera, y la divide en dos hemisferios iguales .

Aunque la figura de la Tierra no es perfectamente esférica, es conveniente aplicar a la esfera términos tomados de la geografía. Una línea particular que pasa por su centro define un eje (como en el eje de rotación de la Tierra ). La intersección de la esfera con el eje define dos polos antípodas ( polo norte y polo sur ). El círculo máximo equidistante a los polos se llama ecuador . Los círculos máximos que pasan por los polos se denominan líneas de longitud o meridianos . Los círculos pequeños en la esfera que son paralelos al ecuador son círculos de latitud (o paralelos ). En geometría no relacionada con los cuerpos astronómicos, la terminología geocéntrica debe usarse solo para ilustración y anotarse como tal, a menos que no haya posibilidad de malentendidos. ^[3]

Los matemáticos consideran que una esfera es una superficie cerrada bidimensional inserta en un espacio euclidiano tridimensional . Establecen una distinción entre una esfera y una bola , que es una variedad tridimensional con un límite que incluye el volumen contenido por la esfera. Una bola abierta excluye la esfera misma, mientras que una bola cerrada incluye la esfera: una bola cerrada es la unión de la bola abierta y la esfera, y una esfera es el límite de una bola (cerrada o abierta). La distinción entre bola y esfera no siempre se ha mantenido y, especialmente, las referencias matemáticas más antiguas hablan de una esfera como un sólido. La distinción entre " círculo " y " disco " en el plano es similar.

A las esferas o bolas pequeñas a veces se les llama esférulas (por ejemplo, en las esférulas marcianas ).

En geometría analítica , una esfera con centro ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) y radio r es el lugar geométrico de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

Dado que puede expresarse como un polinomio cuadrático, una esfera es una superficie cuadrática , un tipo de superficie algebraica . ^[3]

Sean a, b, c, d, e números reales con a ≠ 0 y pongamos

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

Entonces la ecuación

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

no tiene puntos reales como soluciones si y se llama ecuación de una esfera imaginaria . Si , la única solución de es el punto y se dice que la ecuación es la ecuación de una esfera puntual . Finalmente, en el caso , es una ecuación de una esfera cuyo centro es y cuyo radio es . ^[2]${\displaystyle \rho <0}$${\displaystyle \rho =0}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$

Si a en la ecuación anterior es cero, entonces f ( x , y , z ) = 0 es la ecuación de un plano. Por lo tanto, un plano puede considerarse como una esfera de radio infinito cuyo centro es un punto en el infinito . ^[4]

Una ecuación paramétrica para la esfera con radio y centro se puede parametrizar utilizando funciones trigonométricas .${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$^[5]

Los símbolos utilizados aquí son los mismos que los utilizados en coordenadas esféricas . r es constante, mientras que θ varía de 0 a π y varía de 0 a 2 π .${\displaystyle \varphi }$

En tres dimensiones, el volumen dentro de una esfera (es decir, el volumen de una pelota , pero clásicamente conocido como el volumen de una esfera) es

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}}$

donde r es el radio y d es el diámetro de la esfera. Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula al demostrar que el volumen dentro de una esfera es el doble del volumen entre la esfera y el cilindro circunscrito de esa esfera (que tiene la altura y el diámetro iguales al diámetro de la esfera). ^[6] Esto se puede demostrar inscribiendo un cono al revés en una semiesfera, notando que el área de una sección transversal del cono más el área de una sección transversal de la esfera es la misma que el área de la sección transversal del cilindro circunscrito, y aplicando el principio de Cavalieri . ^[7] Esta fórmula también se puede derivar usando cálculo integral (es decir, integración de discos ) para sumar los volúmenes de un número infinito de discos circulares de espesor infinitesimalmente pequeño apilados uno al lado del otro y centrados a lo largo del eje x desde x = − r hasta x = r , asumiendo que la esfera de radio r está centrada en el origen.

Para la mayoría de los propósitos prácticos, el volumen dentro de una esfera inscrita en un cubo se puede aproximar como el 52,4% del volumen del cubo, ya que V = ⁠π/6⁠ d ³ , donde d es el diámetro de la esfera y también la longitud de un lado del cubo y ⁠π/6⁠  ≈ 0,5236. Por ejemplo, una esfera con un diámetro de 1 m tiene el 52,4% del volumen de un cubo con una longitud de arista de 1  m, o aproximadamente 0,524 m ³ .

El área superficial de una esfera de radio r es:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Arquímedes derivó por primera vez esta fórmula ^[9] del hecho de que la proyección a la superficie lateral de un cilindro circunscrito preserva el área. ^[10] Otro enfoque para obtener la fórmula proviene del hecho de que es igual a la derivada de la fórmula para el volumen con respecto a r porque el volumen total dentro de una esfera de radio r puede considerarse como la suma del área de superficie de un número infinito de capas esféricas de espesor infinitesimal apiladas concéntricamente una dentro de otra desde el radio 0 hasta el radio r . En el espesor infinitesimal, la discrepancia entre el área de superficie interna y externa de cualquier capa dada es infinitesimal, y el volumen elemental en el radio r es simplemente el producto del área de superficie en el radio r y el espesor infinitesimal.

La esfera tiene la menor área superficial de todas las superficies que encierran un volumen dado, y encierra el mayor volumen entre todas las superficies cerradas con un área superficial dada. ^[11] Por lo tanto, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, las burbujas y las pequeñas gotas de agua son aproximadamente esféricas porque la tensión superficial minimiza localmente el área superficial.

El área de superficie relativa a la masa de una pelota se llama área de superficie específica y se puede expresar a partir de las ecuaciones indicadas anteriormente como

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}}$

donde ρ es la densidad (la relación entre la masa y el volumen).

Una esfera puede construirse como la superficie formada al rotar un círculo media revolución alrededor de cualquiera de sus diámetros ; esto es muy similar a la definición tradicional de esfera que se da en los Elementos de Euclides . Dado que un círculo es un tipo especial de elipse , una esfera es un tipo especial de elipsoide de revolución . Reemplazando el círculo por una elipse rotada sobre su eje mayor , la forma se convierte en un esferoide alargado ; rotado sobre el eje menor, en un esferoide achatado. ^[12]

Una esfera está determinada de forma única por cuatro puntos que no son coplanares . En términos más generales, una esfera está determinada de forma única por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. ^[13] Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no coplanares determinan un círculo único en un plano.

En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.

Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede ver que dos esferas se intersecan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama plano radical de las esferas que se intersecan. ^[14] Aunque el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen ningún punto real en común) o constar de un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto). ^[15]

El ángulo entre dos esferas en un punto real de intersección es el ángulo diedro determinado por los planos tangentes a las esferas en ese punto. Dos esferas se intersecan en el mismo ángulo en todos los puntos de su círculo de intersección. ^[16] Se intersecan en ángulos rectos (son ortogonales ) si y solo si el cuadrado de la distancia entre sus centros es igual a la suma de los cuadrados de sus radios. ^[4]

Si f ( x , y , z ) = 0 y g ( x , y , z ) = 0 son las ecuaciones de dos esferas distintas entonces

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

es también la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros s y t . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se denomina lápiz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, se permite que una esfera sea un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planos, entonces todas las esferas del lápiz son planos; de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en el lápiz. ^[4]

En su libro Geometry and the Imagination , David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describen once propiedades de la esfera y analizan si estas propiedades determinan de forma única la esfera. ^[17] Varias propiedades son válidas para el plano , que puede considerarse como una esfera con un radio infinito. Estas propiedades son:

1. Los puntos de la esfera están todos a la misma distancia de un punto fijo. Además, la relación entre la distancia de sus puntos y dos puntos fijos es constante.

   La primera parte es la definición habitual de la esfera y la determina de forma única. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un resultado similar de Apolonio de Perge para el círculo . Esta segunda parte también es válida para el plano .

2. Los contornos y secciones planas de la esfera son círculos.

   Esta propiedad define la esfera de forma única.

3. La esfera tiene ancho constante y circunferencia constante.

   El ancho de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelos. Muchas otras superficies convexas cerradas tienen un ancho constante, por ejemplo, el cuerpo de Meissner . La circunferencia de una superficie es la circunferencia del límite de su proyección ortogonal sobre un plano. Cada una de estas propiedades implica a la otra.

4. Todos los puntos de una esfera son umbilicales .

   En cualquier punto de una superficie, una dirección normal forma un ángulo recto con la superficie porque en la esfera estas son las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva que se llama sección normal, y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos de la mayoría de las superficies, las diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas; los valores máximos y mínimos de estas se denominan curvaturas principales . Cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilicales . En un umbilical, todas las curvaturas de la sección son iguales; en particular, las curvaturas principales son iguales. Los puntos umbilicales pueden considerarse como los puntos en los que la superficie se aproxima estrechamente a una esfera.

   Para la esfera las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbilical. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.

5. La esfera no tiene superficie de centros.

   Para una sección normal dada existe un círculo de curvatura que es igual a la curvatura de la sección, es tangente a la superficie y sus líneas centrales se encuentran a lo largo de la línea normal. Por ejemplo, los dos centros correspondientes a las curvaturas máxima y mínima de la sección se denominan puntos focales y el conjunto de todos estos centros forma la superficie focal .

   En la mayoría de las superficies, la superficie focal forma dos láminas que son cada una una superficie y se unen en puntos umbilicales. Hay varios casos especiales:

   * Para superficies de canal, una hoja forma una curva y la otra hoja es una superficie.

   * Para conos , cilindros, toros y cíclidos ambas láminas forman curvas.

   * En la esfera, el centro de cada círculo osculador se encuentra en el centro de la esfera y la superficie focal forma un único punto. Esta propiedad es exclusiva de la esfera.

6. Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.

   Las geodésicas son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son una generalización del concepto de línea recta en el plano. Para la esfera, las geodésicas son círculos máximos. Muchas otras superficies comparten esta propiedad.

7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es el que tiene la superficie más pequeña; de todos los sólidos que tienen un área superficial dada, la esfera es el que tiene el mayor volumen.

   Se deduce de la desigualdad isoperimétrica . Estas propiedades definen la esfera de forma única y se pueden ver en las burbujas de jabón : una burbuja de jabón encerrará un volumen fijo y la tensión superficial minimiza su área de superficie para ese volumen. Por lo tanto, una burbuja de jabón que flota libremente se aproxima a una esfera (aunque fuerzas externas como la gravedad distorsionarán ligeramente la forma de la burbuja). También se puede ver en planetas y estrellas donde la gravedad minimiza el área de superficie de los grandes cuerpos celestes.

8. La esfera tiene la curvatura media total más pequeña entre todos los sólidos convexos con un área de superficie dada.

   La curvatura media es el promedio de las dos curvaturas principales, que es constante porque las dos curvaturas principales son constantes en todos los puntos de la esfera.

9. La esfera tiene una curvatura media constante.

   La esfera es la única superficie sumergida que carece de límites o singularidades con una curvatura media positiva constante. Otras superficies sumergidas como las superficies mínimas tienen una curvatura media constante.

10. La esfera tiene una curvatura gaussiana positiva constante.

    La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar midiendo la longitud y los ángulos y es independiente de cómo se inserta la superficie en el espacio. Por lo tanto, doblar una superficie no alterará la curvatura gaussiana, y se pueden obtener otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante cortando una pequeña ranura en la esfera y doblándola. Todas estas otras superficies tendrían límites, y la esfera es la única superficie que carece de un límite con una curvatura gaussiana positiva constante. La pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con una curvatura gaussiana negativa constante.

11. La esfera se transforma en sí misma mediante una familia de movimientos rígidos de tres parámetros.

    Al girar sobre cualquier eje una esfera unitaria en el origen, la esfera se proyectará sobre sí misma. Cualquier rotación sobre una línea que pase por el origen se puede expresar como una combinación de rotaciones sobre el eje de tres coordenadas (ver ángulos de Euler ). Por lo tanto, existe una familia de rotaciones de tres parámetros tal que cada rotación transforma la esfera sobre sí misma; esta familia es el grupo de rotación SO(3) . El plano es la única otra superficie con una familia de transformaciones de tres parámetros (traslaciones a lo largo de los ejes x e y y rotaciones alrededor del origen). Los cilindros circulares son las únicas superficies con familias de movimientos rígidos de dos parámetros y las superficies de revolución y helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.

Los elementos básicos de la geometría del plano euclidiano son los puntos y las líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. El análogo de la "línea" es la geodésica , que es un círculo máximo ; la característica definitoria de un círculo máximo es que el plano que contiene todos sus puntos también pasa por el centro de la esfera. La medición por longitud de arco muestra que el camino más corto entre dos puntos que se encuentran en la esfera es el segmento más corto del círculo máximo que incluye los puntos.

Muchos teoremas de la geometría clásica también son válidos para la geometría esférica, pero no todos lo son porque la esfera no satisface algunos de los postulados de la geometría clásica , incluido el postulado de las paralelas . En la trigonometría esférica , los ángulos se definen entre círculos máximos. La trigonometría esférica difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico siempre supera los 180 grados. Además, dos triángulos esféricos similares son congruentes.

Cualquier par de puntos de una esfera que se encuentren en una línea recta que pase por el centro de la esfera (es decir, el diámetro) se denominan puntos antípodas  : en la esfera, la distancia entre ellos es exactamente la mitad de la longitud de la circunferencia. ^{[nota 2]} Cualquier otro par (es decir, no antípoda) de puntos distintos en una esfera

• se encuentran en un gran círculo único,
• segmentarlo en un arco menor (es decir, más corto) y uno mayor (es decir, más largo) , y
• que la longitud del arco menor sea la distancia más corta entre ellos en la esfera. ^{[nota 3]}

La geometría esférica es una forma de geometría elíptica , que junto con la geometría hiperbólica conforma la geometría no euclidiana .

La esfera es una superficie lisa con una curvatura gaussiana constante en cada punto igual a 1/ r ² . ^[9] Según el Teorema Egregium de Gauss , esta curvatura es independiente de la inserción de la esfera en el espacio tridimensional. También siguiendo a Gauss, una esfera no puede ser mapeada a un plano manteniendo tanto las áreas como los ángulos. Por lo tanto, cualquier proyección cartográfica introduce alguna forma de distorsión.

Una esfera de radio r tiene un elemento de área . Esto se puede encontrar a partir del elemento de volumen en coordenadas esféricas con r constante. ^[9]${\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$

Una esfera de cualquier radio centrada en cero es una superficie integral de la siguiente forma diferencial :

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

Esta ecuación refleja que el vector de posición y el plano tangente en un punto son siempre ortogonales entre sí. Además, el vector normal que mira hacia afuera es igual al vector de posición escalado por 1/r .

En la geometría de Riemann , la conjetura del área de llenado establece que el hemisferio es el relleno isométrico óptimo (de menor área) del círculo de Riemann .

Sorprendentemente, es posible girar una esfera ordinaria al revés en un espacio tridimensional con posibles autointersecciones pero sin crear ningún pliegue, en un proceso llamado eversión de esfera .

El cociente antípoda de la esfera es la superficie llamada plano proyectivo real , que también puede considerarse como el hemisferio norte con puntos antípodas del ecuador identificados.

Los círculos en la esfera están formados, como los círculos en el plano, por todos los puntos que se encuentran a cierta distancia de un punto fijo en la esfera. La intersección de una esfera y un plano es un círculo, un punto o un vacío. ^[18] Los círculos mayores son la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de una esfera; los demás se denominan círculos menores.

Las superficies más complicadas también pueden intersecar una esfera en círculos: la intersección de una esfera con una superficie de revolución cuyo eje contiene el centro de la esfera (son coaxiales ) consiste en círculos y/o puntos si no está vacía. Por ejemplo, el diagrama de la derecha muestra la intersección de una esfera y un cilindro, que consiste en dos círculos. Si el radio del cilindro fuera el de la esfera, la intersección sería un solo círculo. Si el radio del cilindro fuera mayor que el de la esfera, la intersección estaría vacía.

En navegación , una loxodromia o línea loxodrómica es una trayectoria cuyo rumbo , el ángulo entre su tangente y el norte exacto, es constante. Las loxodromias se proyectan en líneas rectas según la proyección de Mercator . Dos casos especiales son los meridianos , que están alineados directamente de norte a sur, y los paralelos , que están alineados directamente de este a oeste. Para cualquier otro rumbo, una loxodromia se mueve en espiral infinitamente alrededor de cada polo. Para la Tierra modelada como una esfera, o para una esfera general dado un sistema de coordenadas esférico , una loxodromia de este tipo es una especie de espiral esférica . ^[19]

Otro tipo de espiral esférica es la curva de Clelia, para la cual la longitud (o acimut) y la colatitud (o ángulo polar) están en una relación lineal, ⁠ ⁠ . Las curvas de Clelia se proyectan en líneas rectas bajo la proyección equirectangular . La curva de Viviani ( ⁠ ⁠ ) es un caso especial. Las curvas de Clelia aproximan la trayectoria terrestre de los satélites en órbita polar .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi =c\theta }$${\displaystyle c=1}$

El análogo de una sección cónica en la esfera es una cónica esférica , una curva cuártica que puede definirse de varias formas equivalentes.

• La intersección de una esfera con un cono cuadrático cuyo vértice es el centro de la esfera.
• La intersección de una esfera con un cilindro elíptico o hiperbólico cuyo eje pasa por el centro de la esfera.
• El lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia de distancias de círculo máximo desde un par de focos es una constante

Muchos teoremas relacionados con las secciones cónicas planas también se extienden a las cónicas esféricas.

Si una esfera es intersectada por otra superficie, pueden formarse curvas esféricas más complicadas.

Ejemplo

esfera-cilindro

La intersección de la esfera con ecuación y el cilindro con ecuación no son sólo uno o dos círculos. Es la solución del sistema de ecuaciones no lineales.${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$${\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}$

(ver curva implícita y diagrama)

Un elipsoide es una esfera que se ha estirado o comprimido en una o más direcciones. Más exactamente, es la imagen de una esfera bajo una transformación afín . Un elipsoide guarda la misma relación con la esfera que una elipse con un círculo.

Las esferas se pueden generalizar a espacios de cualquier número de dimensiones . Para cualquier número natural n , una n -esfera, a menudo denotada como S ^{‍ n} , es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano ( n + 1 )-dimensional que están a una distancia fija r de un punto central de ese espacio, donde r es, como antes, un número real positivo. En particular:

• S ^{‍ 0} : una 0-esfera consta de dos puntos discretos, − r y r
• S ^{‍ 1} : una 1-esfera es un círculo de radio r
• S ^{‍ 2} : una 2-esfera es una esfera ordinaria
• S ^{‍ 3} : una 3-esfera es una esfera en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Las esferas para n > 2 a veces se denominan hiperesferas .

La n -esfera de radio unitario centrada en el origen se denota S ^{‍ n} y a menudo se la denomina "la" n -esfera. La esfera ordinaria es una 2-esfera, porque es una superficie bidimensional que está incrustada en un espacio tridimensional.

En topología , la n -esfera es un ejemplo de variedad topológica compacta sin borde . Una esfera topológica no necesita ser lisa ; si es lisa, no necesita ser difeomórfica con respecto a la esfera euclidiana (una esfera exótica ).

La esfera es la imagen inversa de un conjunto de un punto bajo la función continua ‖ x ‖ , por lo que es cerrada; S ⁿ también está acotada, por lo que es compacta por el teorema de Heine-Borel .

De manera más general, en un espacio métrico ( E , d ) , la esfera de centro x y radio r > 0 es el conjunto de puntos y tales que d ( x , y ) = r .

Si el centro es un punto distinguido que se considera origen de E , como en un espacio normado , no se menciona en la definición y notación. Lo mismo se aplica al radio si se toma como igual a uno, como en el caso de una esfera unitaria .

A diferencia de una pelota , incluso una esfera grande puede ser un conjunto vacío. Por ejemplo, en Z ⁿ con métrica euclidiana , una esfera de radio r no está vacía solo si r ² puede escribirse como suma de n cuadrados de números enteros .

Un octaedro es una esfera en la geometría del taxi , y un cubo es una esfera en la geometría que utiliza la distancia de Chebyshev .

La geometría de la esfera fue estudiada por los griegos. Los Elementos de Euclides definen la esfera en el libro XI, analizan varias propiedades de la esfera en el libro XII y muestran cómo inscribir los cinco poliedros regulares dentro de una esfera en el libro XIII. Euclides no incluye el área y el volumen de una esfera, solo un teorema que dice que el volumen de una esfera varía como la tercera potencia de su diámetro, probablemente debido a Eudoxo de Cnido . Las fórmulas de volumen y área fueron determinadas por primera vez en Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes por el método de extenuación . Zenodoro fue el primero en afirmar que, para una superficie dada, la esfera es el sólido de máximo volumen. ^[3]

Arquímedes escribió sobre el problema de dividir una esfera en segmentos cuyos volúmenes están en una proporción dada, pero no lo resolvió. Dionisodoro propuso una solución mediante la parábola y la hipérbola . ^[20] Un problema similar –construir un segmento igual en volumen a un segmento dado, y en superficie a otro segmento– fue resuelto más tarde por al-Quhi . ^[3]

• 
  Imagen de una de las esferas más precisas creadas por el hombre, en la que se refleja la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera era un giroscopio de cuarzo fundido para el experimento Gravity Probe B , y su forma difiere de la de una esfera perfecta en no más de 40 átomos (menos de 10 nm) de espesor. El 1 de julio de 2008 se anunció que científicos australianos habían creado esferas aún más casi perfectas, con una precisión de 0,3 nm, como parte de una búsqueda internacional para encontrar un nuevo kilogramo estándar global . ^[21]  
• 
  Baraja de cartas que ilustra instrumentos de ingeniería, Inglaterra, 1702. Rey de espadas : Esferas

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Esfera ".

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• Mathematica/Distribución esférica uniforme
• Prueba del área de superficie de una esfera