Esfericidad

La esfericidad es una medida de la similitud entre la forma de un objeto y la de una esfera perfecta . Por ejemplo, la esfericidad de las bolas dentro de un rodamiento determina la calidad del rodamiento, como la carga que puede soportar o la velocidad a la que puede girar sin fallar. La esfericidad es un ejemplo específico de una medida de compacidad de una forma .

La esfericidad se aplica en tres dimensiones ; su análogo en dos dimensiones , como los círculos de la sección transversal a lo largo de un objeto cilíndrico como un eje , se llama redondez .

Definida por Wadell en 1935, ^[1] la esfericidad, , de un objeto es la relación entre el área de superficie de una esfera con el mismo volumen y el área de superficie del objeto:${\estilo de visualización \Psi}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

donde es el volumen del objeto y es el área de la superficie. La esfericidad de una esfera es la unidad por definición y, por la desigualdad isoperimétrica , cualquier forma que no sea una esfera tendrá una esfericidad menor que 1.$Estilo de visualización V_{p}$$Estilo de visualización A_{p}}$

La esfericidad, , de un esferoide achatado (similar a la forma del planeta Tierra ) es:${\estilo de visualización \Psi}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}$

donde a y b son los ejes semimayor y semimenor respectivamente.

Hakon Wadell definió la esfericidad como el área de superficie de una esfera del mismo volumen que la partícula dividida por el área de superficie real de la partícula.

Primero necesitamos escribir el área de la superficie de la esfera, en términos del volumen del objeto que se está midiendo.${\displaystyle A_{s}}$$Estilo de visualización V_{p}$

${\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}}$

por lo tanto

${\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}$

Por lo tanto definimos como:${\estilo de visualización \Psi}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

Nombre	Imagen	Volumen	Área de superficie	Esfericidad
Esfera		${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2}}$	1
Triacontaedro de Disdyakis		${\displaystyle {\frac {180}{11}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}$	${\displaystyle {\frac {180}{11}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}\,s^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\left(\left(5+4{\sqrt {5}}\right)^{2}{\frac {11\pi }{5}}\right)^{\frac {1}{3}}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}}\aproximadamente 0,9857}$
Triacontaedro rómbico		${\displaystyle 4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,s^{3}}$	${\displaystyle 12{\sqrt {5}}\,s^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(24{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{\frac {2}{3}}}{12{\sqrt {5}}}}\approx 0,9609}$
Icosaedro		${\displaystyle {\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}$	${\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939}$
Dodecaedro		${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}$	${\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910}$
Toro ideal ${\displaystyle (R=r)}$		${\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}}$	${\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894}$
Cilindro ideal ${\displaystyle (h=2\,r)}$		${\displaystyle \pi \,r^{2}h=2\pi \,r^{3}}$	${\displaystyle 2\pi \,r(r+h)=6\pi \,r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874}$
Octaedro		${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846}$
Hemisferio (media esfera)		${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840}$
Cubo (hexaedro)		${\displaystyle \,s^{3}}$	${\displaystyle 6\,s^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806}$
Cono ideal ${\displaystyle (h=2{\sqrt {2}}r)}$		${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}}$	${\displaystyle \pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})=4\pi \,r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794}$
Tetraedro		${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671}$

• Diámetro esférico equivalente
• Aplastamiento
• Relación isoperimétrica
• Redondeo (sedimento)
• Redondez
• Energía Willmore

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• Morfología del grano: redondez, características de la superficie y esfericidad de los granos