Ecuación paramétrica

En matemáticas , una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros . ^[1] Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que forman un objeto geométrico como una curva o superficie , llamadas curva paramétrica y superficie paramétrica , respectivamente. En tales casos, las ecuaciones se denominan colectivamente representación paramétrica , ^[2] o sistema paramétrico , ^[3] o parametrización (alternativamente escrita como parametrización ) del objeto. ^{[1] [4] [5]}

Por ejemplo, las ecuaciones forman una representación paramétrica del círculo unitario , donde t es el parámetro: Un punto ( x , y ) está en el círculo unitario si y solo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generen ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares individuales se combinan en una única ecuación paramétrica en vectores :$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$$

Las representaciones paramétricas generalmente no son únicas (ver la sección "Ejemplos en dos dimensiones" a continuación), por lo que las mismas cantidades pueden expresarse mediante varias parametrizaciones diferentes. ^[1]

Además de curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente en cinemática , donde la trayectoria de un objeto se representa mediante ecuaciones que dependen del tiempo como parámetro. Debido a esta aplicación, un único parámetro suele etiquetarse como t ; sin embargo, los parámetros pueden representar otras cantidades físicas (como variables geométricas) o pueden seleccionarse arbitrariamente por conveniencia. Las parametrizaciones no son únicas; más de un conjunto de ecuaciones paramétricas pueden especificar la misma curva. ^[6]

La conversión de un conjunto de ecuaciones paramétricas en una única ecuación implícita implica eliminar la variable t de las ecuaciones simultáneas . Este proceso se denomina implícitación . Si una de estas ecuaciones se puede resolver para t , la expresión obtenida se puede sustituir en la otra ecuación para obtener una ecuación que involucra solo x e y : Resolviendo para obtener y usando esto en se obtiene la ecuación explícita, mientras que los casos más complicados darán una ecuación implícita de la forma${\displaystyle x=f(t),\ y=g(t).}$${\displaystyle y=g(t)}$${\displaystyle t=g^{-1}(y)}$${\displaystyle x=f(t)}$${\displaystyle x=f(g^{-1}(y)),}$${\displaystyle h(x,y)=0.}$

Si la parametrización está dada por funciones racionales$${\displaystyle x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},}$$

donde p , q y r son polinomios coprimos entre conjuntos , un cálculo resultante permite hacer implícita la ecuación. Más precisamente, la ecuación implícita es la resultante con respecto a t de xr ( t ) – p ( t ) y yr ( t ) – q ( t ) .

En dimensiones superiores (ya sea más de dos coordenadas o más de un parámetro), la implícitación de ecuaciones paramétricas racionales puede realizarse mediante el cálculo de la base de Gröbner ; consulte Base de Gröbner § Implícitación en dimensiones superiores .

Para tomar el ejemplo del círculo de radio a , las ecuaciones paramétricas$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}}$$

puede ser implícita en términos de x e y por medio de la identidad trigonométrica pitagórica . Con

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}}$$y obtenemos y así$${\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,}$$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,}$$$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$$

que es la ecuación estándar de un círculo centrado en el origen.

La ecuación más simple para una parábola ,$${\displaystyle y=x^{2}}$$

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t y estableciendo$${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

De manera más general, cualquier curva dada por una ecuación explícita$${\displaystyle y=f(x)}$$

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t y estableciendo$${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

Un ejemplo más sofisticado es el siguiente: considere el círculo unitario que se describe mediante la ecuación ordinaria (cartesiana)$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

Esta ecuación se puede parametrizar de la siguiente manera: $${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .}$$

Con la ecuación cartesiana es más fácil comprobar si un punto se encuentra en el círculo o no. Con la versión paramétrica es más fácil obtener puntos en un gráfico.

En algunos contextos, se prefieren las ecuaciones paramétricas que involucran solo funciones racionales (es decir, fracciones de dos polinomios ), si existen. En el caso del círculo, dicha parametrización racional es $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Con este par de ecuaciones paramétricas, el punto (−1, 0) no está representado por un valor real de t , sino por el límite de x e y cuando t tiende a infinito .

Una elipse en posición canónica (centro en el origen, eje mayor a lo largo del eje x ) con semiejes a y b se puede representar paramétricamente como$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

Una elipse en posición general se puede expresar como$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

como el parámetro t varía de 0 a 2 π . Aquí ( X _c , Y _c ) es el centro de la elipse y φ es el ángulo entre el eje x y el eje mayor de la elipse.

Ambas parametrizaciones se pueden hacer racionales utilizando la fórmula del medio ángulo tangente y estableciendo${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

Una curva de Lissajous es similar a una elipse, pero las sinusoides x e y no están en fase. En posición canónica, una curva de Lissajous está dada por donde k _x y k _y son constantes que describen el número de lóbulos de la figura.$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$$

Una hipérbola de apertura este-oeste se puede representar paramétricamente mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

o, racionalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

Una hipérbola de apertura norte-sur se puede representar paramétricamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

o, racionalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

En todas estas fórmulas ( h , k ) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor. Nótese que en las formas racionales de estas fórmulas, los puntos ( −a , 0) y (0 , −a ) , respectivamente, no están representados por un valor real de t , sino que son el límite de x e y cuando t tiende a infinito.

Una hipotrocoide es una curva trazada por un punto unido a un círculo de radio r que rueda alrededor del interior de un círculo fijo de radio R , donde el punto está a una distancia d del centro del círculo interior.

• 
  Un hipotrocoide para el cual r = d
• 
  Un hipotrocoide para el cual R = 5 , r = 3 , d = 5

Las ecuaciones paramétricas para los hipotrocoides son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos:

• 
  R = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  R = 15 r = 14 d = 1

Las ecuaciones paramétricas son convenientes para describir curvas en espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

describe una curva tridimensional, la hélice , con un radio de a y que asciende 2 π b unidades por vuelta. Las ecuaciones son idénticas en el plano a las de un círculo. Expresiones como la anterior se escriben comúnmente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

donde r es un vector tridimensional.

Un toro con radio mayor R y radio menor r puede definirse paramétricamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

donde los dos parámetros t y u varían entre 0 y 2 π .

• 
  R = 2 , r = 1/2

Cuando u varía de 0 a 2 π, el punto de la superficie se mueve en un círculo corto que pasa por el agujero en el toro. Cuando t varía de 0 a 2 π, el punto de la superficie se mueve en un círculo largo alrededor del agujero en el toro.

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector es ^[7]${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

En cinemática , las trayectorias de los objetos a través del espacio se describen comúnmente como curvas paramétricas, en las que cada coordenada espacial depende explícitamente de un parámetro independiente (normalmente el tiempo). Utilizado de esta manera, el conjunto de ecuaciones paramétricas para las coordenadas del objeto constituye colectivamente una función de valor vectorial para la posición. Dichas curvas paramétricas pueden entonces integrarse y diferenciarse término por término. Por tanto, si la posición de una partícula se describe paramétricamente como $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

Entonces su velocidad se puede encontrar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

y su aceleración como$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

Otro uso importante de las ecuaciones paramétricas es en el campo del diseño asistido por computadora (CAD). ^[8] Por ejemplo, considere las siguientes tres representaciones, todas las cuales se utilizan comúnmente para describir curvas planas .

Tipo	Forma	Ejemplo	Descripción
Explícito	${\displaystyle y=f(x)\,\!}$	${\displaystyle y=mx+b\,\!}$	Línea
Implícito	${\displaystyle f(x,y)=0\,\!}$	${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$	Círculo
Paramétrico	${\displaystyle x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!}$ ${\displaystyle y={\frac {h(t)}{w(t)}}}$	${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;\,\!}$ ${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t\,\!}$	Línea
		${\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!}$ ${\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}$	Círculo

Cada representación tiene ventajas y desventajas para las aplicaciones CAD.

La representación explícita puede ser muy complicada o incluso no existir. Además, no se comporta bien ante transformaciones geométricas y, en particular, ante rotaciones . Por otra parte, como una ecuación paramétrica y una ecuación implícita pueden deducirse fácilmente a partir de una representación explícita, cuando existe una representación explícita simple, tiene las ventajas de ambas representaciones.

Las representaciones implícitas pueden dificultar la generación de puntos en la curva e incluso la decisión de si existen puntos reales. Por otra parte, son adecuadas para decidir si un punto dado se encuentra en una curva o si se encuentra dentro o fuera de una curva cerrada.

Estas decisiones pueden ser difíciles con una representación paramétrica, pero las representaciones paramétricas son las más adecuadas para generar puntos en una curva y trazarla. ^[9]

Numerosos problemas de geometría entera pueden resolverse mediante ecuaciones paramétricas. Una solución clásica de este tipo es la parametrización de Euclides de triángulos rectángulos de modo que las longitudes de sus lados a , b y su hipotenusa c sean números enteros coprimos . Como a y b no son ambos pares (de lo contrario a , b y c no serían coprimos), se pueden intercambiar para tener a par, y la parametrización es entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

donde los parámetros m y n son números enteros coprimos positivos que no son ambos impares.

Al multiplicar a , b y c por un entero positivo arbitrario, se obtiene una parametrización de todos los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen longitudes enteras.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas está indeterminado si tiene más de una solución. Esto ocurre cuando la matriz del sistema y su matriz aumentada tienen el mismo rango r y r < n . En este caso, se pueden seleccionar n − r incógnitas como parámetros y representar todas las soluciones como una ecuación paramétrica donde todas las incógnitas se expresan como combinaciones lineales de las seleccionadas. Es decir, si las incógnitas son , se pueden reordenar para expresar las soluciones como ^[10]${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}}$$

Una ecuación paramétrica de este tipo se denomina forma paramétrica de la solución del sistema. ^[10]

El método estándar para calcular una forma paramétrica de la solución es utilizar la eliminación gaussiana para calcular una forma escalonada reducida por filas de la matriz aumentada. Luego, las incógnitas que se pueden utilizar como parámetros son las que corresponden a columnas que no contienen ninguna entrada principal (es decir, la entrada distinta de cero más a la izquierda en una fila o en la matriz), y la forma paramétrica se puede deducir directamente. ^[10]

• Curva
• Estimación paramétrica
• Vector de posición
• Función con valores vectoriales
• Parametrización por longitud de arco
• Derivada paramétrica

• Aplicación web para dibujar curvas paramétricas en el plano