Identidades del cálculo vectorial

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Las siguientes son identidades importantes que involucran derivadas e integrales en el cálculo vectorial .

Para una función en variables de coordenadas cartesianas tridimensionales , el gradiente es el campo vectorial:${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

donde i , j , k son los vectores unitarios estándar para los ejes x , y , z . De manera más general, para una función de n variables , también llamada campo escalar , el gradiente es el campo vectorial : donde son vectores unitarios mutuamente ortogonales. ${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$

Como su nombre lo indica, el gradiente es proporcional y apunta en la dirección del cambio más rápido (positivo) de la función.

Para un campo vectorial , también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada total es la matriz jacobiana n × n :${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

Para un campo tensorial de cualquier orden k , el gradiente es un campo tensorial de orden k + 1.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k + 1 se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable es la función escalar: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$$

Como su nombre lo indica, la divergencia es una medida (local) del grado en que divergen los vectores en el campo.

La divergencia de un campo tensorial de orden distinto de cero k se escribe como , una contracción de un campo tensorial de orden k − 1. Específicamente, la divergencia de un vector es un escalar. La divergencia de un campo tensorial de orden superior se puede encontrar descomponiendo el campo tensorial en una suma de productos externos y utilizando la identidad, donde es la derivada direccional en la dirección de multiplicada por su magnitud. Específicamente, para el producto externo de dos vectores,${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k − 1 está definido por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

En coordenadas cartesianas, para el rizo es el campo vectorial: donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x , y y z , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

Como su nombre lo indica, el rizo es una medida de cuánto tienden los vectores cercanos a seguir una dirección circular.

En la notación de Einstein , el campo vectorial tiene un rotacional dado por: donde = ±1 o 0 es el símbolo de paridad de Levi-Civita .${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$${\displaystyle \varepsilon }$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Un campo tensorial de orden mayor que uno puede descomponerse en una suma de productos externos , y luego puede usarse la siguiente identidad: Específicamente, para el producto externo de dos vectores,$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

En coordenadas cartesianas , el laplaciano de una función es${\displaystyle f(x,y,z)}$$${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano es una medida de cuánto cambia una función en una pequeña esfera centrada en el punto.

Cuando el laplaciano es igual a 0, la función se denomina función armónica . Es decir,$${\displaystyle \Delta f=0.}$$

Para un campo tensorial , , el Laplaciano generalmente se escribe como: y es un campo tensorial del mismo orden.${\displaystyle \mathbf {T} }$$${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario.${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

En la notación de subíndice de Feynman , donde la notación ∇ _B significa que el gradiente subscrito opera solo sobre el factor B. ^{[1] [2]}$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

Menos general pero similar es la notación de puntos de Hestenes en álgebra geométrica . ^[3] La identidad anterior se expresa entonces como: donde los puntos definen el alcance de la derivada del vector. El vector punteado, en este caso B , se diferencia, mientras que el A (sin puntos) se mantiene constante.$${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

La utilidad de la notación de subíndice de Feynman reside en su uso en la derivación de identidades derivadas de vectores y tensores, como en el siguiente ejemplo que utiliza la identidad algebraica C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Un método alternativo es utilizar los componentes cartesianos del operador del de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Otro método para derivar identidades de derivadas de vectores y tensores es reemplazar todas las ocurrencias de un vector en una identidad algebraica por el operador del, siempre que ninguna variable ocurra tanto dentro como fuera del alcance de un operador o tanto dentro del alcance de un operador en un término como fuera del alcance de otro operador en el mismo término (es decir, los operadores deben estar anidados). La validez de esta regla se desprende de la validez del método de Feynman, ya que uno siempre puede sustituir un del con subíndice y luego inmediatamente eliminar el subíndice bajo la condición de la regla. Por ejemplo, de la identidad A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ C podemos derivar A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C pero no ∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ C , ni de A ⋅( B × A ) = 0 podemos derivar A ⋅(∇× A ) = 0. Por otro lado, un del con subíndice opera sobre todas las ocurrencias del subíndice en el término, de modo que A ⋅(∇ _A × A ) = ∇ _A ⋅( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0. Además, de A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C podemos derivar ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ ² C , pero de ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) no podemos derivar (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ ² ( ψφ ).

En el resto de este artículo, se utilizará la notación de subíndice de Feynman cuando sea apropiado.

Para campos escalares , y campos vectoriales , , tenemos las siguientes identidades derivadas.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en el cálculo de una sola variable .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Sea una función de una variable de escalares a escalares, una curva parametrizada , una función de vectores a escalares y un campo vectorial. Tenemos los siguientes casos especiales de la regla de la cadena de múltiples variables .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}}$

Para una transformación vectorial tenemos:${\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}$

Aquí tomamos la traza del producto escalar de dos tensores de segundo orden, que corresponde al producto de sus matrices.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$

donde denota la matriz jacobiana del campo vectorial .${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

Alternativamente, utilizando la notación de subíndice de Feynman,

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

Véase estas notas. ^[4]

Como caso especial, cuando A = B ,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$

La generalización de la fórmula del producto escalar a las variedades de Riemann es una propiedad definitoria de una conexión de Riemann , que diferencia un campo vectorial para dar una 1-forma con valor vectorial .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} \\[5pt]\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Nótese que la matriz es antisimétrica.${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$

La divergencia del rizo de cualquier campo vectorial A continuamente dos veces diferenciable es siempre cero:$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

Este es un caso especial de desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadena de De Rham .

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia de su gradiente: el resultado es una cantidad escalar.$${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y la divergencia de una cantidad escalar no está definida. Por lo tanto,$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

El rizo del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable (es decir, clase de diferenciabilidad ) es siempre el vector cero :${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{2}}$$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

Se puede demostrar fácilmente expresándolo en un sistema de coordenadas cartesianas con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos). Este resultado es un caso especial de la desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadena de De Rham .${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

Aquí ∇ ² es el laplaciano vectorial que opera sobre el campo vectorial A .

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar y el rotacional de una cantidad escalar no está definido. Por lo tanto,$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

La figura de la derecha es una mnemotecnia para algunas de estas identidades. Las abreviaturas utilizadas son:

• D: divergencia,
• C: rizo,
• G: gradiente,
• L: Laplaciano,
• CC: rizo de rizo.

Cada flecha está etiquetada con el resultado de una identidad, específicamente, el resultado de aplicar el operador en la cola de la flecha al operador en su punta. El círculo azul en el medio significa que existe el rizo del rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$^[5]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[6]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ ( Laplaciano escalar )
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ( Laplaciano vectorial )
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$( Identidad vectorial de Green )

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$

A continuación, el símbolo rizado ∂ significa " límite de " una superficie o sólido.

En los siguientes teoremas de integralidad de superficie-volumen, V denota un volumen tridimensional con un límite bidimensional correspondiente S = ∂ V (una superficie cerrada ):

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( teorema de divergencia )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ ( La primera identidad de Green )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ ( La segunda identidad de Green )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV}$ ^[7]
• ${\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} }$ ^[8]

En los siguientes teoremas de integrales de curva-superficie, S denota una superficie abierta 2d con un límite 1d correspondiente C = ∂ S (una curva cerrada ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Teorema de Stokes )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$ ^[9]
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$ ^[10]

La integración alrededor de una curva cerrada en el sentido de las agujas del reloj es el negativo de la misma integral de línea en el sentido antihorario (análogo a intercambiar los límites en una integral definida ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$

En los siguientes teoremas de integralidad de curva-punto final, P denota una trayectoria abierta 1d con puntos límite con signo 0d y la integración a lo largo de P es de a :${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

• ${\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ ( teorema del gradiente )
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}$

Se puede obtener una forma tensorial de un teorema de integral vectorial reemplazando el vector (o uno de ellos) por un tensor, siempre que primero se haga que el vector aparezca solo como el vector más a la derecha de cada integrando. Por ejemplo, el teorema de Stokes se convierte en

${\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right)}$.

Un campo escalar también puede tratarse como un vector y reemplazarse por un vector o tensor. Por ejemplo, la primera identidad de Green se convierte en

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV}$.

Se aplican reglas similares a las fórmulas algebraicas y de diferenciación. Para las fórmulas algebraicas, se puede utilizar como alternativa la posición del vector más a la izquierda.

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