Relatividad numérica

La relatividad numérica es una de las ramas de la relatividad general que utiliza métodos numéricos y algoritmos para resolver y analizar problemas. Con este fin, se suelen emplear supercomputadoras para estudiar agujeros negros , ondas gravitacionales , estrellas de neutrones y muchos otros fenómenos descritos por la teoría de la relatividad general de Albert Einstein . Un campo de investigación actualmente activo en relatividad numérica es la simulación de sistemas binarios relativistas y sus ondas gravitacionales asociadas.

Un objetivo primordial de la relatividad numérica es estudiar los espacio-tiempos cuya forma exacta no se conoce. Los espacio-tiempos así encontrados computacionalmente pueden ser completamente dinámicos , estacionarios o estáticos y pueden contener campos de materia o vacío. En el caso de soluciones estacionarias y estáticas, también se pueden utilizar métodos numéricos para estudiar la estabilidad de los espacio-tiempos en equilibrio. En el caso de los espacio-tiempos dinámicos, el problema se puede dividir en el problema del valor inicial y el problema de la evolución, cada uno de los cuales requiere métodos diferentes.

La relatividad numérica se aplica a muchas áreas, como por ejemplo , los modelos cosmológicos , los fenómenos críticos , los agujeros negros y las estrellas de neutrones perturbados y la coalescencia de agujeros negros y estrellas de neutrones. En cualquiera de estos casos, las ecuaciones de Einstein se pueden formular de varias maneras que nos permiten evolucionar la dinámica. Si bien los métodos de Cauchy han recibido la mayor parte de la atención, también se han utilizado métodos basados ​​en el cálculo característico y de Regge . Todos estos métodos comienzan con una instantánea de los campos gravitacionales en alguna hipersuperficie , los datos iniciales, y evolucionan estos datos a las hipersuperficies vecinas. ^[1]

Como en todos los problemas de análisis numérico, se presta especial atención a la estabilidad y convergencia de las soluciones numéricas. En esta línea, se presta mucha atención a las condiciones de calibración , las coordenadas y las diversas formulaciones de las ecuaciones de Einstein y al efecto que tienen sobre la capacidad de producir soluciones numéricas precisas.

La investigación sobre relatividad numérica se diferencia del trabajo sobre teorías de campo clásicas , ya que muchas técnicas implementadas en estas áreas no son aplicables en relatividad. Sin embargo, muchas facetas se comparten con problemas a gran escala en otras ciencias computacionales, como dinámica de fluidos computacional , electromagnetismo y mecánica de sólidos. Los relativistas numéricos a menudo trabajan con matemáticos aplicados y extraen información del análisis numérico , el cálculo científico , las ecuaciones diferenciales parciales y la geometría , entre otras áreas matemáticas de especialización.

Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad general en 1915. ^[2] Al igual que su teoría anterior de la relatividad especial , describía el espacio y el tiempo como un espacio-tiempo unificado sujeto a lo que ahora se conoce como las ecuaciones de campo de Einstein . Estas forman un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) no lineales acopladas . Después de más de 100 años desde la primera publicación de la teoría, se conocen relativamente pocas soluciones de forma cerrada para las ecuaciones de campo y, de ellas, la mayoría son soluciones cosmológicas que suponen una simetría especial para reducir la complejidad de las ecuaciones.

El campo de la relatividad numérica surgió del deseo de construir y estudiar soluciones más generales a las ecuaciones de campo mediante la resolución aproximada de las ecuaciones de Einstein numéricamente. Un precursor necesario de tales intentos fue una descomposición del espacio-tiempo en espacio y tiempo separados. Esto fue publicado por primera vez por Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles W. Misner a fines de la década de 1950 en lo que se conoce como el formalismo ADM . ^[3] Aunque por razones técnicas las ecuaciones precisas formuladas en el artículo original de ADM rara vez se utilizan en simulaciones numéricas, la mayoría de los enfoques prácticos de la relatividad numérica utilizan una "descomposición 3+1" del espacio-tiempo en espacio tridimensional y tiempo unidimensional que está estrechamente relacionada con la formulación ADM, porque el procedimiento ADM reformula las ecuaciones de campo de Einstein en un problema de valor inicial restringido que se puede abordar utilizando metodologías computacionales .

En el momento en que ADM publicó su artículo original, la tecnología informática no habría permitido la solución numérica de sus ecuaciones en ningún problema de tamaño sustancial. El primer intento documentado de resolver numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein parece ser el de SG Hahn y RW Lindquist en 1964, ^[4] seguido poco después por Larry Smarr ^{[5] [6]} y por KR Eppley. ^[7] Estos primeros intentos se centraron en la evolución de los datos de Misner en axisimetría (también conocida como "2+1 dimensiones"). Casi al mismo tiempo, Tsvi Piran escribió el primer código que desarrolló un sistema con radiación gravitacional utilizando una simetría cilíndrica. ^[8] En este cálculo, Piran sentó las bases para muchos de los conceptos utilizados hoy en día en la evolución de las ecuaciones de ADM, como "evolución libre" frente a "evolución restringida", ^{[ aclaración necesaria ]} que tratan el problema fundamental de tratar las ecuaciones de restricción que surgen en el formalismo de ADM. La aplicación de la simetría redujo los requisitos computacionales y de memoria asociados al problema, lo que permitió a los investigadores obtener resultados en las supercomputadoras disponibles en ese momento.

Los primeros cálculos realistas de un colapso rotatorio fueron realizados a principios de los años ochenta por Richard Stark y Tsvi Piran ^[9], en los que se calcularon por primera vez las formas de onda gravitatoria resultantes de la formación de un agujero negro rotatorio. Durante casi 20 años después de los resultados iniciales, hubo muy pocos resultados publicados en relatividad numérica, probablemente debido a la falta de computadoras lo suficientemente potentes para abordar el problema. A fines de los años 90, la Binary Black Hole Grand Challenge Alliance simuló con éxito una colisión frontal de agujeros negros binarios . Como paso de posprocesamiento, el grupo calculó el horizonte de eventos para el espacio-tiempo. Este resultado aún requería imponer y explotar la axisimetría en los cálculos. ^[10]

Algunos de los primeros intentos documentados de resolver las ecuaciones de Einstein en tres dimensiones se centraron en un único agujero negro de Schwarzschild , que se describe mediante una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein. Esto proporciona un excelente caso de prueba en relatividad numérica porque tiene una solución de forma cerrada de modo que los resultados numéricos se pueden comparar con una solución exacta, porque es estático y porque contiene una de las características numéricamente más desafiantes de la teoría de la relatividad, una singularidad física . Uno de los primeros grupos en intentar simular esta solución fue Peter Anninos et al. en 1995. ^[11] En su artículo señalan que

"El progreso en la relatividad numérica tridimensional se ha visto obstaculizado en parte por la falta de computadoras con suficiente memoria y poder computacional para realizar cálculos bien resueltos de espacio-tiempos 3D".

En los años siguientes, no sólo los ordenadores se hicieron más potentes, sino que también varios grupos de investigación desarrollaron técnicas alternativas para mejorar la eficiencia de los cálculos. Con respecto a las simulaciones de agujeros negros específicamente, se idearon dos técnicas para evitar los problemas asociados con la existencia de singularidades físicas en las soluciones de las ecuaciones: (1) la escisión, y (2) el método de la "punción". Además, el grupo Lazarus desarrolló técnicas para utilizar los primeros resultados de una simulación de corta duración que resolvía las ecuaciones no lineales de ADM, con el fin de proporcionar datos iniciales para un código más estable basado en ecuaciones linealizadas derivadas de la teoría de perturbaciones . De manera más general, las técnicas de refinamiento de malla adaptativo , ya utilizadas en la dinámica de fluidos computacional , se introdujeron en el campo de la relatividad numérica.

En la técnica de escisión, que se propuso por primera vez a finales de los años 1990, ^[12] una porción de un espacio-tiempo dentro del horizonte de eventos que rodea la singularidad de un agujero negro simplemente no evoluciona. En teoría, esto no debería afectar la solución de las ecuaciones fuera del horizonte de eventos debido al principio de causalidad y las propiedades del horizonte de eventos (es decir, nada físico dentro del agujero negro puede influir en ninguna de las físicas fuera del horizonte). Por lo tanto, si uno simplemente no resuelve las ecuaciones dentro del horizonte, aún debería ser posible obtener soluciones válidas fuera. Uno "escinde" el interior imponiendo condiciones de contorno entrantes en un límite que rodea la singularidad pero dentro del horizonte. Si bien la implementación de la escisión ha sido muy exitosa, la técnica tiene dos problemas menores. El primero es que uno tiene que ser cuidadoso con las condiciones de coordenadas. Si bien los efectos físicos no pueden propagarse desde adentro hacia afuera, los efectos de coordenadas sí pueden. Por ejemplo, si las condiciones de coordenadas fueran elípticas, los cambios de coordenadas en el interior podrían propagarse instantáneamente a través del horizonte. Esto significa que se necesitan condiciones de coordenadas de tipo hiperbólico con velocidades características menores que la de la luz para la propagación de los efectos de coordenadas (por ejemplo, utilizando condiciones de coordenadas armónicas). El segundo problema es que, a medida que los agujeros negros se mueven, se debe ajustar continuamente la ubicación de la región de escisión para moverse con el agujero negro.

La técnica de escisión se desarrolló a lo largo de varios años, incluido el desarrollo de nuevas condiciones de calibre que aumentaron la estabilidad y el trabajo que demostró la capacidad de las regiones de escisión para moverse a través de la red computacional. ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18]} La primera evolución estable y a largo plazo de la órbita y la fusión de dos agujeros negros utilizando esta técnica se publicó en 2005. ^[19]

En el método de punción, la solución se factoriza en una parte analítica ^[20] , que contiene la singularidad del agujero negro, y una parte construida numéricamente, que entonces está libre de singularidades. Esta es una generalización de la prescripción de Brill-Lindquist ^[21] para datos iniciales de agujeros negros en reposo y se puede generalizar a la prescripción de Bowen-York ^[22] para datos iniciales de agujeros negros giratorios y en movimiento. Hasta 2005, todos los usos publicados del método de punción requerían que la posición de coordenadas de todas las punciones permaneciera fija durante el curso de la simulación. Por supuesto, los agujeros negros próximos entre sí tenderán a moverse bajo la fuerza de la gravedad, por lo que el hecho de que la posición de coordenadas de la punción permaneciera fija significaba que los propios sistemas de coordenadas se "estiraban" o "torcían", y esto normalmente conducía a inestabilidades numéricas en alguna etapa de la simulación.

En 2005, un grupo de investigadores demostró por primera vez la capacidad de permitir que las perforaciones se movieran a través del sistema de coordenadas, eliminando así algunos de los problemas anteriores con el método. Esto permitió evoluciones precisas a largo plazo de los agujeros negros. ^{[19] [23] [24]} Al elegir las condiciones de coordenadas apropiadas y hacer suposiciones analíticas rudimentarias sobre los campos cerca de la singularidad (ya que ningún efecto físico puede propagarse fuera del agujero negro, la rudimentaria de las aproximaciones no importa), se pudieron obtener soluciones numéricas al problema de dos agujeros negros orbitando uno alrededor del otro, así como un cálculo preciso de la radiación gravitatoria (ondulaciones en el espacio-tiempo) emitida por ellos. El año 2005 fue rebautizado como el " annus mirabilis " de la relatividad numérica, 100 años después de los artículos del annus mirabilis de la relatividad especial (1905).

El proyecto Lazarus (1998-2005) se desarrolló como una técnica posterior al Gran Desafío para extraer resultados astrofísicos de simulaciones numéricas completas de corta duración de agujeros negros binarios. Combinó técnicas de aproximación anteriores (trayectorias post-newtonianas) y posteriores (perturbaciones de agujeros negros individuales) con simulaciones numéricas completas que intentaban resolver las ecuaciones de campo de Einstein. ^[25] Todos los intentos anteriores de integrar numéricamente en supercomputadoras las ecuaciones de Hilbert-Einstein que describen el campo gravitatorio alrededor de los agujeros negros binarios condujeron a fallas de software antes de que se completara una sola órbita.

Mientras tanto, el enfoque del proyecto Lazarus proporcionó la mejor visión del problema de los agujeros negros binarios y produjo numerosos resultados relativamente precisos, como la energía radiada y el momento angular emitidos en el último estado de fusión, ^{[26] [27]} el momento lineal radiado por agujeros de masa desigual, ^[28] y la masa y el giro finales del agujero negro remanente. ^[29] El método también calculó las ondas gravitacionales detalladas emitidas por el proceso de fusión y predijo que la colisión de agujeros negros es el evento individual más energético en el Universo, liberando más energía en una fracción de segundo en forma de radiación gravitacional que una galaxia entera en su vida.

El refinamiento de malla adaptativo (AMR) como método numérico tiene raíces que van mucho más allá de su primera aplicación en el campo de la relatividad numérica. El refinamiento de malla aparece por primera vez en la literatura de relatividad numérica en la década de 1980, a través del trabajo de Choptuik en sus estudios de colapso crítico de campos escalares . ^{[30] [31]} El trabajo original fue en una dimensión, pero posteriormente se extendió a dos dimensiones. ^[32] En dos dimensiones, AMR también se ha aplicado al estudio de cosmologías no homogéneas , ^{[33] [34]} y al estudio de agujeros negros de Schwarzschild . ^[35] La técnica ahora se ha convertido en una herramienta estándar en relatividad numérica y se ha utilizado para estudiar la fusión de agujeros negros y otros objetos compactos, además de la propagación de la radiación gravitacional generada por tales eventos astronómicos. ^{[36] [37]}

En los últimos años ^{[ ¿cuándo? ]} , se han publicado cientos de artículos de investigación que han dado lugar a un amplio espectro de resultados matemáticos, astrofísicos y de relatividad para el problema de los agujeros negros en órbita. Esta técnica se ha extendido a los sistemas binarios astrofísicos que involucran estrellas de neutrones y agujeros negros, ^[38] y a múltiples agujeros negros. ^[39] Una de las predicciones más sorprendentes es que la fusión de dos agujeros negros puede dar al agujero remanente una velocidad de hasta 4000 km/s que le puede permitir escapar de cualquier galaxia conocida. ^{[40] [41]} Las simulaciones también predicen una enorme liberación de energía gravitatoria en este proceso de fusión, que asciende hasta el 8% de su masa en reposo total. ^[42]

• Matemáticas de la relatividad general
• Expansión post-newtoniana
• Giro y voltereta
• Marco de cactus

• Datos iniciales para la relatividad numérica: un artículo de revisión que incluye una discusión técnica de la relatividad numérica.
• Estrellas en rotación en relatividad: un artículo de revisión técnica sobre estrellas en rotación, con una sección sobre aplicaciones de la relatividad numérica.
• Un tutorial de relatividad en Caltech: una introducción básica a los conceptos de relatividad numérica.