Matemáticas de la relatividad general

Este artículo incluye una lista de referencias , lecturas relacionadas o enlaces externos , pero sus fuentes no están claras porque carece de citas en línea . Ayúdenos a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Abril de 2018 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

Relatividad general
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu }}$
Introducción Historia Cronología Pruebas Formulación matemática
Conceptos fundamentales Principio de equivalencia Relatividad especial Línea mundial Variedad pseudo-riemanniana
Fenómenos Problema de Kepler Efecto de lente gravitacional Desplazamiento al rojo gravitacional Dilatación del tiempo gravitacional Ondas gravitacionales Arrastre de cuadros Efecto geodésico Horizonte de eventos Singularidad Agujero negro Espacio-tiempo Diagramas del espacio-tiempo El espacio-tiempo de Minkowski Puente Einstein-Rosen
Ecuaciones Formalismos Ecuaciones Gravedad linealizada Ecuaciones de campo de Einstein Friedman- Geodésicas Mathisson–Papapetrou–Dixon Hamilton-Jacobi-Einstein Formalismos ADM BSSN Post-Newtoniano Teoría avanzada Teoría de Kaluza-Klein Gravedad cuántica
Soluciones Niño Negro ( interior ) Reissner–Nordström Ondas de Einstein-Rosen Agujero de gusano Gödel Kerr Kerr–Newman Kerr–Newman–de Sitter Kasner Lemaître–Tolman Taub–NUT Milne Robertson-Walker Oppenheimer-Snyder onda pp polvo de van Stockum Weyl-Lewis-Papapetrou Hartle–Thorne
Científicos Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Niño negro De Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman- Milne Zwicky Lemaître Oppenheimer Gödel Rodador Robertson Bardeen Caminante Kerr Chandrasekhar Síndrome de Ehlers Penrose Halcones Raychaudhuri Taylor Hulse de Stockum Tabaquismo Hombre nuevo Yaú Espina otros
Portal de física  Categoría
en a mi

Al estudiar y formular la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , se utilizan diversas estructuras y técnicas matemáticas . Las principales herramientas utilizadas en esta teoría geométrica de la gravitación son los campos tensoriales definidos en una variedad lorentziana que representa el espacio-tiempo . Este artículo es una descripción general de las matemáticas de la relatividad general.

Nota: Los artículos sobre relatividad general que utilizan tensores utilizarán la notación de índice abstracto .

El principio de covarianza general fue uno de los principios centrales en el desarrollo de la relatividad general. Afirma que las leyes de la física deben adoptar la misma forma matemática en todos los marcos de referencia . El término "covarianza general" se utilizó en la formulación inicial de la relatividad general, pero ahora se hace referencia al principio a menudo como " covarianza difeomorfista ".

La covarianza del difeomorfismo no es la característica definitoria de la relatividad general,[1] y aún existen controversias sobre su estado actual en la relatividad general. Sin embargo, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio, junto con el hecho de que la teoría es esencialmente geométrica en su carácter (haciendo uso de geometrías no euclidianas ), sugirió que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores . Esto se discutirá más adelante.

La mayoría de los enfoques modernos de la relatividad general matemática comienzan con el concepto de variedad . Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravitación  (  un espacio-tiempo curvo  ) se modela mediante una  variedad lorentziana cuatridimensional , suave y conectada . Otros descriptores físicos se representan mediante varios tensores, que se analizan a continuación.

La razón para elegir una variedad como la estructura matemática fundamental es reflejar propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de variedades, cada punto está contenido en un diagrama de coordenadas (de ninguna manera único) , y este diagrama puede considerarse como la representación del "espacio-tiempo local" alrededor del observador (representado por el punto). El principio de covarianza local de Lorentz , que establece que las leyes de la relatividad especial se cumplen localmente alrededor de cada punto del espacio-tiempo, brinda mayor apoyo a la elección de una estructura de variedad para representar el espacio-tiempo, ya que localmente alrededor de un punto en una variedad general, la región "se parece" o se aproxima mucho al espacio de Minkowski (espacio-tiempo plano).

La idea de los diagramas de coordenadas como "observadores locales que pueden realizar mediciones en sus proximidades" también tiene sentido desde el punto de vista físico, ya que así es como se recopilan datos físicos en realidad: localmente. Para problemas cosmológicos, un diagrama de coordenadas puede ser bastante grande.

Una distinción importante en física es la diferencia entre estructuras locales y globales. En física, las mediciones se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una de las razones para estudiar la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que determinar la estructura global del espacio-tiempo es importante, especialmente en problemas cosmológicos.

Un problema importante en la relatividad general es determinar cuándo dos espacio-tiempos son "iguales", al menos localmente. Este problema tiene sus raíces en la teoría de variedades, donde se determina si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son localmente isométricas ("localmente iguales"). Este último problema ha sido resuelto y su adaptación para la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede .

Una de las consecuencias profundas de la teoría de la relatividad fue la abolición de los marcos de referencia privilegiados . La descripción de los fenómenos físicos no debería depender de quién realiza la medición: un marco de referencia debería ser tan bueno como cualquier otro. La relatividad especial demostró que ningún marco de referencia inercial era preferible a otro, sino que prefería los marcos de referencia inerciales a los no inerciales. La relatividad general eliminó la preferencia por los marcos de referencia inerciales al demostrar que no hay un marco de referencia preferido (inercial o no) para describir la naturaleza.

Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas dependen únicamente del sistema de coordenadas utilizado. Esto sugirió una forma de formular la relatividad utilizando "estructuras invariantes", aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) utilizado, pero que aún tienen una existencia independiente. La estructura matemática más adecuada parecía ser un tensor. Por ejemplo, al medir los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga acelerada, los valores de los campos dependerán del sistema de coordenadas utilizado, pero se considera que los campos tienen una existencia independiente, independencia representada por el tensor electromagnético .

Matemáticamente, los tensores son operadores lineales generalizados ( aplicaciones multilineales) . Por ello, se emplean las ideas del álgebra lineal para estudiar los tensores.

En cada punto de una variedad , se pueden construir los espacios tangente y cotangente a la variedad en ese punto. Los vectores (a veces denominados vectores contravariantes ) se definen como elementos del espacio tangente y los covectores (a veces denominados vectores covariantes , pero más comúnmente vectores duales o formas unidimensionales ) son elementos del espacio cotangente.${\displaystyle p}$

En , estos dos espacios vectoriales pueden usarse para construir tensores de tipo, que son aplicaciones multilineales de valor real que actúan sobre la suma directa de copias del espacio cotangente con copias del espacio tangente. El conjunto de todas esas aplicaciones multilineales forma un espacio vectorial, llamado espacio de producto tensorial de tipo en y denotado por Si el espacio tangente es n-dimensional, se puede demostrar que${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (T_{p})_{s}^{r}M.}$${\displaystyle \dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.}$

En la literatura sobre relatividad general , es convencional utilizar la sintaxis de componentes para tensores.

Un tensor de tipo puede escribirse como${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle T={T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{{b_{1}}\dots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \dots \otimes dx^{b_{s}}}$$donde es una base para el i -ésimo espacio tangente y una base para el j -ésimo espacio cotangente.${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$${\displaystyle dx^{b_{j}}}$

Como se supone que el espacio-tiempo es cuatridimensional, cada índice de un tensor puede ser uno de cuatro valores. Por lo tanto, el número total de elementos que posee un tensor es igual a 4 ^R , donde R es el recuento del número de índices covariantes y contravariantes en el tensor (un número llamado rango del tensor).${\displaystyle (b_{i})}$${\displaystyle (a_{i})}$${\displaystyle r+s}$

Algunas magnitudes físicas se representan mediante tensores cuyos componentes no son todos independientes. Algunos ejemplos importantes de estos tensores son los tensores simétricos y antisimétricos. Los tensores antisimétricos se utilizan habitualmente para representar rotaciones (por ejemplo, el tensor de vorticidad ).

Aunque un tensor genérico de rango R en 4 dimensiones tiene 4 componentes ^R , las restricciones del tensor, como la simetría o la antisimetría, sirven para reducir la cantidad de componentes distintos. Por ejemplo, un tensor de rango dos simétrico satisface y posee 10 componentes independientes, mientras que un tensor de rango dos antisimétrico (antisimétrico) satisface y tiene 6 componentes independientes. Para rangos mayores que dos, los pares de índices simétricos o antisimétricos deben identificarse explícitamente.${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }}$

Los tensores antisimétricos de rango 2 desempeñan papeles importantes en la teoría de la relatividad. El conjunto de todos estos tensores, a menudo llamados bivectores , forma un espacio vectorial de dimensión 6, a veces llamado espacio bivectorial.

El tensor métrico es un objeto central en la relatividad general que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de la solución de las ecuaciones de campo de Einstein ). Utilizando la aproximación de campo débil , el tensor métrico también puede considerarse como la representación del "potencial gravitacional". El tensor métrico a menudo se denomina simplemente "la métrica".

La métrica es un tensor simétrico y es una herramienta matemática importante. Además de utilizarse para aumentar y disminuir los índices tensoriales , también genera las conexiones que se utilizan para construir las ecuaciones geodésicas de movimiento y el tensor de curvatura de Riemann .

Un medio conveniente para expresar el tensor métrico en combinación con los intervalos incrementales de distancia de coordenadas a los que se relaciona es a través del elemento de línea :$${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$$

Esta forma de expresar la métrica fue utilizada por los pioneros de la geometría diferencial . Si bien algunos relativistas consideran que la notación es algo anticuada, muchos cambian fácilmente entre esta y la notación alternativa: ^[1]$${\displaystyle g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}}$$

El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4 × 4. Esta matriz es simétrica y, por lo tanto, tiene 10 componentes independientes.

Una de las características centrales de la RG es la idea de invariancia de las leyes físicas. Esta invariancia puede describirse de muchas maneras, por ejemplo, en términos de covarianza local de Lorentz , el principio general de relatividad o la covarianza difeomorfista .

Se puede dar una descripción más explícita utilizando tensores. La característica crucial de los tensores utilizados en este enfoque es el hecho de que (una vez que se da una métrica) la operación de contraer un tensor de rango R sobre todos los índices R da un número -un invariante- que es independiente del diagrama de coordenadas que se utiliza para realizar la contracción. Físicamente, esto significa que si el invariante es calculado por dos observadores cualesquiera, obtendrán el mismo número, lo que sugiere que el invariante tiene algún significado independiente. Algunos invariantes importantes en relatividad incluyen:

• El escalar de Ricci :${\displaystyle R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }}$
• El escalar de Kretschmann :${\displaystyle K=R^{abcd}R_{abcd}}$

Otros ejemplos de invariantes en relatividad incluyen los invariantes electromagnéticos y varios otros invariantes de curvatura , algunos de los cuales encuentran aplicación en el estudio de la entropía gravitacional y la hipótesis de curvatura de Weyl .

La clasificación de los tensores es un problema puramente matemático. Sin embargo, en la relatividad general, ciertos tensores que tienen una interpretación física se pueden clasificar con las diferentes formas del tensor que generalmente corresponden a alguna física. Algunos ejemplos de clasificaciones de tensores útiles en la relatividad general incluyen la clasificación de Segre del tensor de energía-momento y la clasificación de Petrov del tensor de Weyl . Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales utilizan invariantes tensoriales.

Los campos tensoriales de una variedad son aplicaciones que asocian un tensor a cada punto de la variedad . Esta noción se puede hacer más precisa introduciendo la idea de un haz de fibras , que en el presente contexto significa reunir todos los tensores en todos los puntos de la variedad, "agrupando" así todos ellos en un gran objeto llamado haz tensorial . Un campo tensorial se define entonces como una función desde la variedad hasta el haz tensorial, estando cada punto asociado con un tensor en .${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

La noción de campo tensorial es de gran importancia en la RG. Por ejemplo, la geometría alrededor de una estrella se describe mediante un tensor métrico en cada punto, por lo que en cada punto del espacio-tiempo se debe dar el valor de la métrica para calcular las trayectorias de las partículas materiales. Otro ejemplo son los valores de los campos eléctrico y magnético (dados por el tensor del campo electromagnético ) y la métrica en cada punto alrededor de un agujero negro cargado para determinar el movimiento de una partícula cargada en dicho campo.

Los campos vectoriales son campos tensoriales de rango uno contravariantes. Entre los campos vectoriales importantes en relatividad se encuentran los de velocidad 4 , , que es la distancia recorrida por unidad de tiempo propio, los de aceleración 4 y los de corriente 4 , que describen las densidades de carga y corriente. Otros campos tensoriales físicamente importantes en relatividad son los siguientes:${\displaystyle U^{a}={\dot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle A^{a}={\ddot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle J^{a}}$

• El tensor de tensión-energía , un tensor simétrico de rango dos.${\displaystyle T^{ab}}$
• El tensor del campo electromagnético , un tensor antisimétrico de rango dos.${\displaystyle F^{ab}}$

Aunque la palabra "tensor" se refiere a un objeto en un punto, es una práctica común referirse a los campos tensoriales en un espacio-tiempo (o una región del mismo) simplemente como "tensores".

En cada punto de un espacio-tiempo en el que se define una métrica, ésta puede reducirse a la forma de Minkowski utilizando la ley de inercia de Sylvester .

Antes de la llegada de la relatividad general, los cambios en los procesos físicos se describían generalmente mediante derivadas parciales , por ejemplo, para describir los cambios en los campos electromagnéticos (ver las ecuaciones de Maxwell ). Incluso en la relatividad especial , la derivada parcial sigue siendo suficiente para describir dichos cambios. Sin embargo, en la relatividad general, se ha descubierto que deben utilizarse derivadas que también sean tensores. Las derivadas tienen algunas características comunes, incluido el hecho de que son derivadas a lo largo de curvas integrales de campos vectoriales.

El problema de definir derivadas en variedades que no son planas es que no hay una manera natural de comparar vectores en diferentes puntos. Se requiere una estructura adicional en una variedad general para definir derivadas. A continuación se describen dos derivadas importantes que se pueden definir imponiendo una estructura adicional en la variedad en cada caso.

La curvatura de un espacio-tiempo se puede caracterizar tomando un vector en un punto y transportándolo en paralelo a lo largo de una curva en el espacio-tiempo. Una conexión afín es una regla que describe cómo mover legítimamente un vector a lo largo de una curva en la variedad sin cambiar su dirección.

Por definición, una conexión afín es una función bilineal , donde es un espacio de todos los campos vectoriales en el espacio-tiempo. Esta función bilineal se puede describir en términos de un conjunto de coeficientes de conexión (también conocidos como símbolos de Christoffel ) que especifican lo que sucede con los componentes de los vectores base bajo transporte paralelo infinitesimal:${\displaystyle \Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$$${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}$$

A pesar de su apariencia, los coeficientes de conexión no son los componentes de un tensor .

En términos generales, existen coeficientes de conexión independientes en cada punto del espacio-tiempo. La conexión se denomina simétrica o libre de torsión si . Una conexión simétrica tiene como máximo coeficientes únicos.${\displaystyle D^{3}}$${\displaystyle \Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$

Para cualquier curva y dos puntos y en esta curva, una conexión afín da lugar a un mapa de vectores en el espacio tangente en en vectores en el espacio tangente en : y se puede calcular componente por componente resolviendo la ecuación diferencial donde es el vector tangente a la curva en el punto .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A=\gamma (0)}$${\displaystyle B=\gamma (t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle X(t)=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)}$$${\displaystyle X(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)}$$${\displaystyle C^{j}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

Una conexión afín importante en la relatividad general es la conexión de Levi-Civita , que es una conexión simétrica obtenida al transportar en paralelo un vector tangente a lo largo de una curva mientras se mantiene constante el producto interno de ese vector a lo largo de la curva. Los coeficientes de conexión resultantes ( símbolos de Christoffel ) se pueden calcular directamente a partir de la métrica . Por esta razón, este tipo de conexión a menudo se denomina conexión métrica .

Sea un punto, un vector ubicado en y un campo vectorial. La idea de diferenciar en a lo largo de la dirección de de una manera físicamente significativa puede tener sentido eligiendo una conexión afín y una curva suave parametrizada tal que y . La fórmula para una derivada covariante de a lo largo de una conexión asociada resulta dar resultados independientes de la curva y puede usarse como una "definición física" de una derivada covariante.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle X=\gamma (0)}$${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$$${\displaystyle \nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left[\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma [\varepsilon ])-{\vec {B}}(X)\right]}$$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle \Pi }$

Se puede expresar mediante coeficientes de conexión:$${\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$$

La expresión entre paréntesis, llamada derivada covariante de (con respecto a la conexión)${\displaystyle X}$ y denotada por , se utiliza con más frecuencia en los cálculos:${\displaystyle \nabla {\vec {X}}}$$${\displaystyle \nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}}$$

Por lo tanto, una derivada covariante de puede considerarse como un operador diferencial que actúa sobre un campo vectorial enviándolo a un tensor de tipo (1, 1) (incrementando el índice covariante en 1) y puede generalizarse para actuar sobre campos tensoriales de tipo enviándolos a campos tensoriales de tipo. Las nociones de transporte paralelo pueden definirse de manera similar a como se hace para el caso de los campos vectoriales. Por definición, una derivada covariante de un campo escalar es igual a la derivada regular del campo.${\displaystyle X}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s+1)}$

En la literatura, existen tres métodos comunes para denotar la diferenciación covariante:$${\displaystyle D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}}$$

Muchas propiedades estándar de las derivadas parciales regulares también se aplican a las derivadas covariantes:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})&=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}\\\nabla _{a}(cX^{b})&=c\nabla _{a}X^{b}&&c{\text{ a constant}}\\\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})&=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})\\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}{\partial f \over \partial x^{a}}\\\end{aligned}}}$$

En relatividad general, se suele hacer referencia a "la" derivada covariante, que es la asociada con la conexión afín de Levi-Civita. Por definición, la conexión de Levi-Civita preserva la métrica bajo transporte paralelo, por lo tanto, la derivada covariante da cero cuando actúa sobre un tensor métrico (así como su inverso). Esto significa que podemos tomar el tensor métrico (inverso) dentro y fuera de la derivada y usarlo para aumentar y disminuir los índices:$${\displaystyle \nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}}$$

Otra derivada tensorial importante es la derivada de Lie. A diferencia de la derivada covariante, la derivada de Lie es independiente de la métrica, aunque en la relatividad general se suele utilizar una expresión que aparentemente depende de la métrica a través de la conexión afín. Mientras que la derivada covariante requería una conexión afín para permitir la comparación entre vectores en diferentes puntos, la derivada de Lie utiliza una congruencia de un campo vectorial para lograr el mismo propósito. La idea de que Lie arrastre una función a lo largo de una congruencia conduce a una definición de la derivada de Lie, donde la función arrastrada se compara con el valor de la función original en un punto dado. La derivada de Lie se puede definir para campos tensoriales de tipo y, en este sentido, se puede ver como un mapa que envía un tipo a un tensor de tipo.${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle (r,s)}$

La derivada de Lie generalmente se denota por , donde es el campo vectorial a lo largo de cuya congruencia se toma la derivada de Lie.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle X}$

La derivada de Lie de cualquier tensor a lo largo de un campo vectorial se puede expresar mediante las derivadas covariantes de ese tensor y del campo vectorial. La derivada de Lie de un escalar es simplemente la derivada direccional:$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}}$$

Los objetos de rango superior toman términos adicionales cuando se toma la derivada de Lie. Por ejemplo, la derivada de Lie de un tensor de tipo (0, 2) es$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}}$$

De manera más general,$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}&T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-\\&\quad (\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\dots b_{s}}+\\&\quad (\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{c\dots b_{s}}+\cdots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$$

De hecho, en la expresión anterior, se puede reemplazar la derivada covariante con cualquier conexión libre de torsión o, localmente, con la derivada dependiente de coordenadas , lo que demuestra que la derivada de Lie es independiente de la métrica. Sin embargo, la derivada covariante es conveniente porque conmuta con índices ascendentes y descendentes.${\displaystyle \nabla _{a}}$${\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{a}}$${\displaystyle \partial _{a}}$

Uno de los principales usos de la derivada de Lie en la relatividad general es el estudio de las simetrías del espacio-tiempo en las que se conservan los tensores u otros objetos geométricos. En particular, la simetría de Killing (simetría del tensor métrico bajo el arrastre de Lie) se da muy a menudo en el estudio del espacio-tiempo. Utilizando la fórmula anterior, podemos escribir la condición que debe cumplirse para que un campo vectorial genere una simetría de Killing:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0&\Longleftrightarrow \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0\\&\Longleftrightarrow X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}=0\end{aligned}}}$$

Una característica crucial de la relatividad general es el concepto de variedad curva. Una forma útil de medir la curvatura de una variedad es con un objeto llamado tensor de Riemann (curvatura).

Este tensor mide la curvatura mediante el uso de una conexión afín considerando el efecto del transporte paralelo de un vector entre dos puntos a lo largo de dos curvas. La discrepancia entre los resultados de estas dos rutas de transporte paralelas se cuantifica esencialmente mediante el tensor de Riemann .

Esta propiedad del tensor de Riemann se puede utilizar para describir cómo divergen las geodésicas inicialmente paralelas. Esto se expresa mediante la ecuación de desviación geodésica y significa que las fuerzas de marea experimentadas en un campo gravitacional son el resultado de la curvatura del espacio-tiempo .

Utilizando el procedimiento anterior, el tensor de Riemann se define como un tensor de tipo (1, 3) y cuando se escribe en su totalidad, contiene explícitamente los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales. El tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes. La desaparición de todos estos componentes en una región indica que el espacio-tiempo es plano en esa región. Desde el punto de vista de la desviación geodésica, esto significa que las geodésicas inicialmente paralelas en esa región del espacio-tiempo seguirán siendo paralelas.

El tensor de Riemann tiene una serie de propiedades a las que a veces se hace referencia como simetrías del tensor de Riemann . Las identidades de Bianchi algebraicas y diferenciales son de particular importancia para la relatividad general .

La conexión y la curvatura de cualquier variedad de Riemann están estrechamente relacionadas, la teoría de los grupos de holonomía , que se forman tomando aplicaciones lineales definidas por transporte paralelo alrededor de curvas en la variedad, proporciona una descripción de esta relación.

Lo que nos permite el tensor de Riemann es decir, matemáticamente, si un espacio es plano o, si es curvo, cuánta curvatura se produce en una región determinada. Para derivar el tensor de curvatura de Riemann debemos recordar primero la definición de la derivada covariante de un tensor con uno y dos índices;

1. $${\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}$$
2. $${\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}$$

Para la formación del tensor de Riemann se toma la derivada covariante dos veces respecto de un tensor de rango uno. La ecuación se plantea de la siguiente manera:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\partial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{aligned}}}$$

De manera similar tenemos:$${\displaystyle \nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\partial _{\sigma }V_{\nu }-\partial _{\mu }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }V_{\alpha }}$$

Restando las dos ecuaciones, intercambiando los índices ficticios y utilizando la simetría de los símbolos de Christoffel queda: o$${\displaystyle \nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$$${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }b-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$

Finalmente el tensor de curvatura de Riemann se escribe como$${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }}$$

Puedes contraer índices para hacer que el tensor sea covariante simplemente multiplicándolo por la métrica, lo que será útil cuando trabajes con las ecuaciones de campo de Einstein , y mediante una descomposición adicional,$${\displaystyle g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$$$${\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }}$$

Este tensor se llama tensor de Ricci, que también se puede obtener estableciendo y en el tensor de Riemann con el mismo índice y sumándolos. Luego, el escalar de curvatura se puede encontrar yendo un paso más allá,${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R}$$

Así que ahora tenemos 3 objetos diferentes,

1. El tensor de curvatura de Riemann : o${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }}$${\displaystyle R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$
2. El tensor de Ricci :${\displaystyle R_{\nu \sigma }}$
3. La curvatura escalar :${\displaystyle R}$

todos los cuales son útiles para calcular soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein.

Las fuentes de cualquier campo gravitatorio (materia y energía) se representan en relatividad mediante un tensor simétrico de tipo (0, 2) llamado tensor de energía-momento . Está estrechamente relacionado con el tensor de Ricci . Al ser un tensor de segundo rango en cuatro dimensiones, el tensor de energía-momento puede verse como una matriz de 4 por 4. Los diversos tipos de matrices admisibles, llamadas formas de Jordan , no pueden darse todos, ya que las condiciones de energía que el tensor de energía-momento se ve obligado a satisfacer descartan ciertas formas.

En relatividad especial y general, existe una ley local para la conservación de la energía y el momento. Puede expresarse sucintamente mediante la ecuación tensorial:$${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$$

Esto ilustra la regla general de que "las derivadas parciales se convierten en derivadas covariantes".

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) son el núcleo de la teoría de la relatividad general. Las EFE describen cómo la masa y la energía (como se representan en el tensor de tensión-energía ) se relacionan con la curvatura del espacio-tiempo (como se representa en el tensor de Einstein ). En notación de índice abstracto , las EFE se leen de la siguiente manera: donde es el tensor de Einstein , es la constante cosmológica , es el tensor métrico , es la velocidad de la luz en el vacío y es la constante gravitacional , que proviene de la ley de gravitación universal de Newton .$${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}$$${\displaystyle G_{ab}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales de potencia son tensores métricos. Las ecuaciones diferenciales de potencia, al ser ecuaciones diferenciales no lineales para la métrica, suelen ser difíciles de resolver. Existen varias estrategias que se utilizan para resolverlas. Por ejemplo, una estrategia es comenzar con un ansatz (o una suposición fundamentada) de la métrica final y refinarla hasta que sea lo suficientemente específica como para admitir un sistema de coordenadas, pero lo suficientemente general como para producir un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas con incógnitas que se puedan resolver. Los tensores métricos resultantes de casos en los que las ecuaciones diferenciales resultantes se pueden resolver con exactitud para una distribución físicamente razonable de energía-momento se denominan soluciones exactas . Algunos ejemplos de soluciones exactas importantes son la solución de Schwarzschild y la solución de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker .

La aproximación EIH más otras referencias (por ejemplo, Geroch y Jang, 1975 - 'Movimiento de un cuerpo en relatividad general', JMP, Vol. 16, número 1).

Una vez que se resuelven los EFE para obtener una métrica, queda determinar el movimiento de los objetos inerciales en el espacio-tiempo. En la relatividad general, se supone que el movimiento inercial ocurre a lo largo de geodésicas temporales y nulas del espacio-tiempo parametrizadas por el tiempo propio . Las geodésicas son curvas que transportan en paralelo su propio vector tangente ; es decir, . Esta condición, la ecuación geodésica , se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas con el vector tangente : donde denota la derivada por el tiempo propio, , con τ parametrizando el tiempo propio a lo largo de la curva y haciendo manifiesta la presencia de los símbolos de Christoffel .${\displaystyle {\vec {U}}}$${\displaystyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0}$${\displaystyle x^{a}}$${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}}$$${\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}$$${\displaystyle {\dot {}}}$${\displaystyle d/d\tau }$

Una característica principal de la relatividad general es determinar las trayectorias de las partículas y la radiación en los campos gravitatorios. Esto se logra mediante la solución de las ecuaciones geodésicas .

Las ecuaciones de campo relacionan la distribución total de materia (energía) con la curvatura del espacio-tiempo . Su no linealidad conduce a un problema a la hora de determinar el movimiento preciso de la materia en el espacio-tiempo resultante. Por ejemplo, en un sistema compuesto por un planeta que orbita alrededor de una estrella , el movimiento del planeta se determina resolviendo las ecuaciones de campo con el tensor de energía-momento, la suma de los del planeta y la estrella. El campo gravitacional del planeta afecta a la geometría total del espacio-tiempo y, por lo tanto, al movimiento de los objetos. Por lo tanto, es razonable suponer que las ecuaciones de campo se pueden utilizar para derivar las ecuaciones geodésicas.

Cuando el tensor de energía-momento de un sistema es el del polvo , se puede demostrar mediante el uso de la ley de conservación local para el tensor de energía-momento que las ecuaciones geodésicas se satisfacen exactamente.

Muchos investigadores consideran que la cuestión de derivar las ecuaciones de movimiento o las ecuaciones de campo en cualquier teoría física es atractiva. Una forma bastante universal de realizar estas derivaciones es mediante el uso de las técnicas del cálculo variacional , cuyos principales objetos son los lagrangianos .

Muchos consideran que este enfoque es una forma elegante de construir una teoría, otros simplemente como una forma formal de expresar una teoría (normalmente, la construcción lagrangiana se realiza después de que se ha desarrollado la teoría).

Después de haber esbozado las estructuras matemáticas básicas utilizadas en la formulación de la teoría, ahora se discutirán algunas técnicas matemáticas importantes que se emplean en la investigación del espacio-tiempo.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

Un campo de marco es un conjunto ortonormal de 4 campos vectoriales (1 temporal, 3 espaciales) definidos en un espacio-tiempo . Cada campo de marco puede considerarse como la representación de un observador en el espacio-tiempo que se mueve a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial temporal. Cada cantidad tensorial puede expresarse en términos de un campo de marco; en particular, el tensor métrico adopta una forma particularmente conveniente. Cuando se combinan con campos co-marcos , los campos de marco proporcionan una herramienta poderosa para analizar los espacio-tiempos e interpretar físicamente los resultados matemáticos.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

Algunas técnicas modernas de análisis de los espaciotiempos se basan en gran medida en el uso de simetrías espaciotemporales, que se generan infinitesimalmente mediante campos vectoriales (normalmente definidos localmente) en un espaciotiempo que preservan alguna característica del espaciotiempo. El tipo más común de estos campos vectoriales simétricos incluyen los campos vectoriales de Killing (que preservan la estructura métrica) y sus generalizaciones denominadas campos vectoriales de Killing generalizados . Los campos vectoriales simétricos encuentran una amplia aplicación en el estudio de soluciones exactas en relatividad general y el conjunto de todos estos campos vectoriales suele formar un álgebra de Lie de dimensión finita .

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

El problema de Cauchy (a veces llamado el problema del valor inicial) es el intento de encontrar una solución a una ecuación diferencial dadas las condiciones iniciales. En el contexto de la relatividad general , significa el problema de encontrar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein - un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas - dados algunos datos iniciales sobre una hipersuperficie. Estudiar el problema de Cauchy permite formular el concepto de causalidad en la relatividad general, así como "parametrizar" las soluciones de las ecuaciones de campo. Idealmente, uno desea soluciones globales , pero por lo general las soluciones locales son lo mejor que se puede esperar. Por lo general, resolver este problema de valor inicial requiere la selección de condiciones de coordenadas particulares .

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

Los espinores tienen varias aplicaciones importantes en la relatividad. Su uso como método de análisis de espacio-tiempos mediante tétradas , en particular en el formalismo de Newman-Penrose , es importante.

Otra característica atractiva de los espinores en la relatividad general es la forma condensada en que se pueden escribir algunas ecuaciones tensoriales utilizando el formalismo espinorial. Por ejemplo, al clasificar el tensor de Weyl, determinar los diversos tipos de Petrov resulta mucho más fácil en comparación con su contraparte tensorial.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

El cálculo de Regge es un formalismo que divide una variedad lorentziana en "fragmentos" discretos (bloques simpliciales de cuatro dimensiones) y las longitudes de las aristas de los bloques se toman como variables básicas. Se obtiene una versión discreta de la acción de Einstein-Hilbert considerando los llamados ángulos de déficit de estos bloques, correspondiendo un ángulo de déficit cero a la ausencia de curvatura. Esta novedosa idea encuentra aplicación en métodos de aproximación en relatividad numérica y gravedad cuántica , esta última utilizando una generalización del cálculo de Regge.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2008)

En relatividad general, se observó que, en condiciones bastante genéricas, el colapso gravitacional inevitablemente dará lugar a una denominada singularidad . Una singularidad es un punto en el que las soluciones de las ecuaciones se vuelven infinitas, lo que indica que la teoría ha sido probada en rangos inadecuados.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (August 2011)

La relatividad numérica es el subcampo de la relatividad general que busca resolver las ecuaciones de Einstein mediante el uso de métodos numéricos. Se utilizan métodos de diferencias finitas , elementos finitos y pseudoespectrales para aproximar la solución de las ecuaciones diferenciales parciales que surgen. Las técnicas novedosas desarrolladas por la relatividad numérica incluyen el método de escisión y el método de punción para abordar las singularidades que surgen en los espacio-tiempos de los agujeros negros. Los temas de investigación comunes incluyen los agujeros negros y las estrellas de neutrones.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2008)

La no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein a menudo lleva a considerar métodos de aproximación para resolverlas. Por ejemplo, un enfoque importante es linealizar las ecuaciones de campo . Las técnicas de la teoría de perturbaciones encuentran amplia aplicación en dichas áreas.

• Cálculo de Ricci  : notación de índice tensorial para cálculos basados ​​en tensores

[1] La característica definitoria (idea física central) de la relatividad general es que la materia y la energía hacen que la geometría del espacio-tiempo circundante sea curva.

• Einstein, A. (1961). Relatividad: teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• Petrov, AN; Kopeikin, SM; Tekin, B. y Lompay, R. (2017). Teorías métricas de la gravedad: perturbaciones y leyes de conservación . Berlín: De Gruyter. doi :10.1515/9783110351781. ISBN. 978-3-11-035173-6.