Espacio-tiempo estacionario

Espacio-tiempo que admite un vector de Asesinato que es asintóticamente temporal

En la relatividad general , específicamente en las ecuaciones de campo de Einstein , se dice que un espacio-tiempo es estacionario si admite un vector de Killing que es asintóticamente temporal . [1]

Descripción y análisis

En un espacio-tiempo estacionario, los componentes del tensor métrico, , pueden elegirse de modo que sean todos independientes de la coordenada temporal. El elemento de línea de un espacio-tiempo estacionario tiene la forma gramo micras no {\displaystyle g_{\mu \nu}} ( i , yo = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (i,j=1,2,3)}

d s 2 = la ( d a ω i d y i ) 2 la 1 yo i yo d y i d y yo , {\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}

donde es la coordenada temporal, son las tres coordenadas espaciales y es el tensor métrico del espacio tridimensional. En este sistema de coordenadas, el campo vectorial de Killing tiene las componentes . es un escalar positivo que representa la norma del vector de Killing, es decir, , y es un 3-vector, llamado vector de torsión, que se desvanece cuando el vector de Killing es ortogonal a la hipersuperficie. Este último surge como los componentes espaciales del 4-vector de torsión (véase, por ejemplo, [2] p. 163) que es ortogonal al vector de Killing , es decir, satisface . El vector de torsión mide el grado en el que el vector de Killing no es ortogonal a una familia de 3-superficies. Una torsión distinta de cero indica la presencia de rotación en la geometría del espacio-tiempo. a {\estilo de visualización t} y i {\displaystyle y^{i}} yo i yo estilo de visualización h_ {ij}} o micras {\displaystyle \xi ^{\mu }} o micras = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)} la {\estilo de visualización \lambda} la = gramo micras no o micras o no {\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }} ω i {\displaystyle \omega _{i}} ω micras = mi micras no ρ σ o no ρ o σ {\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }} o micras {\displaystyle \xi ^{\mu }} ω micras o micras = 0 {\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}

La representación de coordenadas descrita anteriormente tiene una interpretación geométrica interesante. [3] El vector de Killing de traslación temporal genera un grupo de un parámetro de movimiento en el espacio-tiempo . Al identificar los puntos del espacio-tiempo que se encuentran en una trayectoria particular (también llamada órbita) se obtiene un espacio tridimensional (la variedad de trayectorias de Killing) , el espacio cociente. Cada punto de representa una trayectoria en el espacio-tiempo . Esta identificación, llamada proyección canónica, es una aplicación que envía cada trayectoria en sobre un punto en e induce una métrica en a través del pullback. Las cantidades , y son todas campos en y son, en consecuencia, independientes del tiempo. Por lo tanto, la geometría de un espacio-tiempo estacionario no cambia en el tiempo. En el caso especial , se dice que el espacio-tiempo es estático . Por definición, todo espacio-tiempo estático es estacionario, pero lo inverso no es generalmente cierto, ya que la métrica de Kerr proporciona un contraejemplo. GRAMO {\estilo de visualización G} METRO {\estilo de visualización M} V = METRO / GRAMO {\displaystyle V=M/G} V {\estilo de visualización V} METRO {\estilo de visualización M} π : METRO V {\displaystyle \pi :M\rightarrow V} METRO {\estilo de visualización M} V {\estilo de visualización V} yo = la π gramo {\displaystyle h=-\lambda \pi *g} V {\estilo de visualización V} la {\estilo de visualización \lambda} ω i {\displaystyle \omega _{i}} yo i yo estilo de visualización h_ {ij}} V {\estilo de visualización V} ω i = 0 {\displaystyle \omega _{i}=0}

Utilizar como punto de partida para ecuaciones de campo de vacío

En un espacio-tiempo estacionario que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío fuera de las fuentes, el 4-vector de torsión no tiene rizos, R micras no = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} ω micras {\displaystyle \omega _ {\mu }}

micras ω no no ω micras = 0 , {\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}

y por lo tanto es localmente el gradiente de un escalar (llamado escalar de torsión): ω {\estilo de visualización \omega}

ω micras = micras ω . {\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}

En lugar de los escalares , es más conveniente utilizar los dos potenciales de Hansen, los potenciales de masa y momento angular, y , definidos como [4] la {\estilo de visualización \lambda} ω {\estilo de visualización \omega} Φ METRO {\displaystyle \Phi _{M}} Φ Yo {\displaystyle \Phi _{J}}

Φ METRO = 1 4 la 1 ( la 2 + ω 2 1 ) , {\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}
Φ Yo = 1 2 la 1 ω . {\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}

En la relatividad general, el potencial de masa desempeña el papel del potencial gravitatorio newtoniano. Un potencial de momento angular no trivial surge para fuentes rotatorias debido a la energía cinética rotacional que, debido a la equivalencia masa-energía, también puede actuar como fuente de un campo gravitatorio. La situación es análoga a un campo electromagnético estático donde uno tiene dos conjuntos de potenciales, eléctrico y magnético. En la relatividad general, las fuentes rotatorias producen un campo gravitomagnético que no tiene análogo newtoniano. Φ METRO {\displaystyle \Phi _{M}} Φ Yo {\displaystyle \Phi _{J}}

Por lo tanto, una métrica de vacío estacionaria se puede expresar en términos de los potenciales de Hansen ( , ) y la métrica 3. En términos de estas cantidades, las ecuaciones de campo de vacío de Einstein se pueden expresar en la forma [4] Φ A {\displaystyle \Phi_{A}} A = METRO {\estilo de visualización A=M} Yo {\estilo de visualización J} yo i yo estilo de visualización h_ {ij}}

( yo i yo i yo 2 R ( 3 ) ) Φ A = 0 , {\displaystyle (h^{ij}\nabla _ {i}\nabla _ {j}-2R^{(3)})\Phi _ {A}=0,\,}
R i yo ( 3 ) = 2 [ i Φ A yo Φ A ( 1 + 4 Φ 2 ) 1 i Φ 2 yo Φ 2 ] , {\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2 })^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}

donde , y es el tensor de Ricci de la métrica espacial y el escalar de Ricci correspondiente. Estas ecuaciones forman el punto de partida para investigar métricas de vacío estacionarias exactas. Φ 2 = Φ A Φ A = ( Φ METRO 2 + Φ Yo 2 ) {\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})} R i yo ( 3 ) {\displaystyle R_{ij}^{(3)}} R ( 3 ) = yo i yo R i yo ( 3 ) {\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}

Véase también

Referencias

  1. ^ Ludvigsen, M., Relatividad general: un enfoque geométrico, Cambridge University Press, 1999 ISBN  052163976X
  2. ^ Wald, RM, (1984). Relatividad general, (U. Chicago Press)
  3. ^ Geroch, R., (1971). J. Matemáticas. Física. 12, 918
  4. ^ de Hansen, RO (1974). J. Math. Phys. 15, 46.
Obtenido de "https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio-tiempo_estacionario&oldid=1082915559"