Teoría de la perturbación

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En matemáticas y matemáticas aplicadas , la teoría de perturbaciones comprende métodos para encontrar una solución aproximada a un problema, comenzando desde la solución exacta de un problema relacionado, más simple. ^{[1] [2]} Una característica crítica de la técnica es un paso intermedio que divide el problema en partes "solucionables" y "perturbativas". ^[3] En la teoría de perturbaciones regular , la solución se expresa como una serie de potencias en un parámetro pequeño . ^{[1] [2]} El primer término es la solución conocida al problema solucionable. Los términos sucesivos en la serie a potencias más altas de generalmente se vuelven más pequeños. Una 'solución de perturbación' aproximada se obtiene truncando la serie, a menudo manteniendo solo los dos primeros términos, la solución al problema conocido y la corrección de perturbación de 'primer orden'.${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

La teoría de perturbaciones se utiliza en una amplia gama de campos y alcanza sus formas más sofisticadas y avanzadas en la teoría cuántica de campos . La teoría de perturbaciones (mecánica cuántica) describe el uso de este método en la mecánica cuántica . El campo en general sigue siendo objeto de investigaciones activas y exhaustivas en múltiples disciplinas.

La teoría de perturbaciones desarrolla una expresión para la solución deseada en términos de una serie de potencias formal conocida como serie de perturbaciones en algún parámetro "pequeño", que cuantifica la desviación del problema exactamente solucionable. El término principal de esta serie de potencias es la solución del problema exactamente solucionable, mientras que los términos posteriores describen la desviación en la solución, debido a la desviación del problema inicial. Formalmente, tenemos para la aproximación a la solución completa una serie en el parámetro pequeño (aquí llamado ε ), como la siguiente:${\displaystyle \ A\ ,}$

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

En este ejemplo, sería la solución conocida al problema inicial exactamente solucionable, y los términos representan los términos de primer orden , segundo orden , tercer orden y de orden superior , que pueden encontrarse iterativamente mediante un procedimiento mecánico pero cada vez más difícil. Para valores pequeños, estos términos de orden superior en la serie generalmente (pero no siempre) se vuelven sucesivamente más pequeños. Una "solución perturbativa" aproximada se obtiene truncando la serie, a menudo manteniendo solo los dos primeros términos, expresando la solución final como una suma de la solución inicial (exacta) y la corrección perturbativa de "primer orden". ${\displaystyle \ A_{0}\ }$${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$${\displaystyle \ \varepsilon \ }$

${\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}$

Algunos autores utilizan la notación O grande para indicar el orden del error en la solución aproximada: ^[2]${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$

Si la serie de potencias en converge con un radio de convergencia distinto de cero, el problema de perturbación se denomina problema de perturbación regular . ^[1] En los problemas de perturbación regulares, la solución asintótica se aproxima suavemente a la solución exacta. ^[1] Sin embargo, la serie de perturbación también puede divergir, y la serie truncada todavía puede ser una buena aproximación a la solución verdadera si se trunca en un punto en el que sus elementos son mínimos. Esto se llama serie asintótica . Si la serie de perturbación es divergente o no es una serie de potencias (por ejemplo, si la expansión asintótica debe incluir potencias no enteras o potencias negativas ), entonces el problema de perturbación se denomina problema de perturbación singular . ^[1] Se han desarrollado muchas técnicas especiales en la teoría de perturbaciones para analizar problemas de perturbación singular. ^{[1] [2]}${\displaystyle \ \varepsilon \ }$${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$

El primer uso de lo que ahora se llamaría teoría de perturbaciones fue para abordar problemas matemáticos de la mecánica celeste que de otro modo serían irresolubles : por ejemplo, la órbita de la Luna , que se mueve notablemente diferente de una simple elipse kepleriana debido a la gravitación competitiva de la Tierra y el Sol . ^[4]

Los métodos de perturbación comienzan con una forma simplificada del problema original, que es lo suficientemente simple como para ser resuelta con exactitud. En mecánica celeste , esto suele ser una elipse kepleriana . Bajo la gravedad newtoniana , una elipse es exactamente correcta cuando solo hay dos cuerpos gravitando (por ejemplo, la Tierra y la Luna ), pero no del todo correcta cuando hay tres o más objetos (por ejemplo, la Tierra, la Luna , el Sol y el resto del Sistema Solar ) y no del todo correcta cuando la interacción gravitatoria se enuncia utilizando formulaciones de la relatividad general .

Teniendo en mente el ejemplo anterior, se sigue una receta general para obtener la serie de perturbaciones. La expansión perturbativa se crea añadiendo correcciones sucesivas al problema simplificado. Las correcciones se obtienen forzando la coherencia entre la solución no perturbada y las ecuaciones que describen el sistema en su totalidad. Escriba para esta colección de ecuaciones; es decir, deje que el símbolo represente el problema que se va a resolver. Muy a menudo, se trata de ecuaciones diferenciales, de ahí la letra "D".${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ D\ }$

El proceso es generalmente mecánico, aunque laborioso. Se comienza escribiendo las ecuaciones de modo que se dividan en dos partes: una colección de ecuaciones que se pueden resolver con exactitud y una parte restante adicional para algunas ecuaciones pequeñas. Se conoce la solución (a ) y se busca la solución general a${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ D_{0}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon \ll 1~.}$${\displaystyle \ A_{0}\ }$${\displaystyle \ D_{0}\ }$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}$

A continuación, se inserta la aproximación en . Esto da como resultado una ecuación que, en el caso general, se puede escribir en forma cerrada como una suma sobre integrales sobre Por lo tanto, se ha obtenido la corrección de primer orden y, por lo tanto, es una buena aproximación a Es una buena aproximación, precisamente porque las partes que se ignoraron eran de tamaño El proceso se puede repetir luego para obtener correcciones, y así sucesivamente.${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}}$${\displaystyle \ A_{1}\ ,}$${\displaystyle \ A_{0}~.}$ ${\displaystyle \ A_{1}\ }$${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$${\displaystyle \ A~.}$${\displaystyle \ \varepsilon ^{2}~.}$${\displaystyle \ A_{2}\ ,}$

En la práctica, este proceso explota rápidamente en una profusión de términos, que se vuelven extremadamente difíciles de manejar a mano. Se dice que Isaac Newton dijo, con respecto al problema de la órbita de la Luna , que "me causa dolor de cabeza". ^[5] Esta inmanejabilidad ha obligado a la teoría de perturbaciones a convertirse en un arte superior de manejo y escritura de estos términos de orden superior. Uno de los avances fundamentales en mecánica cuántica para controlar la expansión son los diagramas de Feynman , que permiten representar las series de perturbaciones de la mecánica cuántica mediante un boceto.

La teoría de perturbaciones se ha utilizado en una gran cantidad de entornos diferentes en física y matemáticas aplicadas. Algunos ejemplos de la "colección de ecuaciones" incluyen ecuaciones algebraicas , ^[6] ecuaciones diferenciales ^[7] (por ejemplo, las ecuaciones de movimiento ^[8] y, comúnmente, ecuaciones de onda ), energía libre termodinámica en mecánica estadística , transferencia radiativa ^[9] y operadores hamiltonianos en mecánica cuántica .${\displaystyle D}$

Algunos ejemplos de los tipos de soluciones que se encuentran de forma perturbativa incluyen la solución de la ecuación de movimiento ( por ejemplo , la trayectoria de una partícula), el promedio estadístico de alguna cantidad física ( por ejemplo , la magnetización promedio) y la energía del estado fundamental de un problema mecánico cuántico.

Entre los ejemplos de problemas exactamente solucionables que pueden usarse como puntos de partida se incluyen las ecuaciones lineales , incluidas las ecuaciones lineales de movimiento ( oscilador armónico , ecuación de onda lineal ), los sistemas estadísticos o mecánico-cuánticos de partículas no interactuantes (o en general, los hamiltonianos o las energías libres que contienen solo términos cuadráticos en todos los grados de libertad).

Los ejemplos de sistemas que pueden resolverse con perturbaciones incluyen sistemas con contribuciones no lineales a las ecuaciones de movimiento, interacciones entre partículas y términos de potencias superiores en la energía libre/hamiltoniana.

Para problemas físicos que involucran interacciones entre partículas, los términos de la serie de perturbaciones pueden mostrarse (y manipularse) utilizando diagramas de Feynman .

La teoría de perturbaciones se ideó inicialmente para resolver problemas que de otro modo serían insolubles en el cálculo de los movimientos de los planetas del sistema solar. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton explicaba la gravitación entre dos cuerpos astronómicos, pero cuando se añade un tercer cuerpo, el problema era: "¿Cómo se atrae cada cuerpo al otro?". Las ecuaciones orbitales de Kepler solo resuelven las ecuaciones gravitacionales de Newton cuando estas últimas se limitan a solo dos cuerpos en interacción. La precisión cada vez mayor de las observaciones astronómicas condujo a demandas incrementales en la precisión de las soluciones a las ecuaciones gravitacionales de Newton, lo que llevó a muchos matemáticos eminentes de los siglos XVIII y XIX, en particular Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace , a extender y generalizar los métodos de la teoría de perturbaciones.

Estos métodos de perturbación bien desarrollados fueron adoptados y adaptados para resolver nuevos problemas que surgieron durante el desarrollo de la mecánica cuántica en la física atómica y subatómica del siglo XX. Paul Dirac desarrolló la teoría de perturbación cuántica en 1927 para evaluar cuándo se emitiría una partícula en elementos radiactivos. Esto más tarde fue llamado la regla de oro de Fermi . ^{[10] [11]} La teoría de perturbación en mecánica cuántica es bastante accesible, principalmente porque la mecánica cuántica se limita a ecuaciones de onda lineales, pero también porque la notación mecánica cuántica permite que las expresiones se escriban en forma bastante compacta, haciéndolas más fáciles de comprender. Esto resultó en una explosión de aplicaciones, que van desde el efecto Zeeman hasta la división hiperfina en el átomo de hidrógeno .

A pesar de la notación más simple, la teoría de perturbaciones aplicada a la teoría cuántica de campos todavía se descontrola fácilmente. Richard Feynman desarrolló los famosos diagramas de Feynman al observar que muchos términos se repiten de manera regular. Estos términos pueden reemplazarse por puntos, líneas, garabatos y marcas similares, cada uno representando un término, un denominador, una integral, etc.; de esta manera, las integrales complejas pueden escribirse como diagramas simples, sin ninguna ambigüedad en cuanto a lo que significan. La correspondencia uno a uno entre los diagramas y las integrales específicas es lo que les da su poder. Aunque originalmente se desarrolló para la teoría cuántica de campos, resulta que la técnica diagramática es ampliamente aplicable a muchas otras series perturbativas (aunque no siempre vale la pena).

En la segunda mitad del siglo XX, a medida que se desarrollaba la teoría del caos , se hizo evidente que los sistemas no perturbados eran, en general, sistemas completamente integrables , mientras que los sistemas perturbados no lo eran. Esto condujo rápidamente al estudio de los "sistemas casi integrables", de los cuales el toro KAM es el ejemplo canónico. Al mismo tiempo, también se descubrió que muchos sistemas no lineales (bastante especiales) , que antes solo se podían abordar mediante la teoría de perturbaciones, son de hecho completamente integrables. Este descubrimiento fue bastante dramático, ya que permitió obtener soluciones exactas. Esto, a su vez, ayudó a aclarar el significado de la serie perturbativa, ya que ahora se podían comparar los resultados de la serie con las soluciones exactas.

La mejor comprensión de los sistemas dinámicos que surge de la teoría del caos ayudó a arrojar luz sobre lo que se denominó el problema del pequeño denominador o el problema del pequeño divisor . En el siglo XIX, Poincaré observó (como tal vez lo habían hecho matemáticos anteriores) que a veces los términos de segundo orden y superiores en la serie perturbativa tienen "pequeños denominadores": es decir, tienen la forma general donde y son algunas expresiones complicadas pertinentes al problema a resolver, y y son números reales; muy a menudo son la energía de los modos normales . El problema del pequeño divisor surge cuando la diferencia es pequeña, lo que hace que la corrección perturbativa " explote ", volviéndose tan grande o tal vez más grande que el término de orden cero. Esta situación señala un colapso de la teoría de perturbaciones: deja de funcionar en este punto y no se puede expandir ni sumar más. En términos formales, la serie perturbativa es una serie asintótica : una aproximación útil para unos pocos términos, pero en algún punto se vuelve menos precisa si se agregan aún más términos. El gran avance de la teoría del caos fue una explicación de por qué sucedía esto: los pequeños divisores se producen siempre que se aplica la teoría de perturbaciones a un sistema caótico. Uno señala la presencia del otro.${\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ }$${\displaystyle \ \psi _{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ V\ ,}$${\displaystyle \ \phi _{m}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ \omega _{m}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}-\omega _{m}\ }$

Como los planetas están muy alejados entre sí, y su masa es pequeña en comparación con la masa del Sol, las fuerzas gravitacionales entre los planetas pueden despreciarse, y el movimiento planetario se considera, en una primera aproximación, como si tuviera lugar a lo largo de las órbitas de Kepler, que están definidas por las ecuaciones del problema de los dos cuerpos , siendo los dos cuerpos el planeta y el Sol. ^[12]

A medida que los datos astronómicos se fueron conociendo con mucha mayor precisión, se hizo necesario considerar cómo el movimiento de un planeta alrededor del Sol se ve afectado por otros planetas. Éste fue el origen del problema de los tres cuerpos ; por ello, al estudiar el sistema Luna-Tierra-Sol, se eligió como "parámetro pequeño" la relación de masas entre la Luna y la Tierra. Lagrange y Laplace fueron los primeros en proponer la idea de que las llamadas "constantes" que describen el movimiento de un planeta alrededor del Sol cambian gradualmente: son "perturbadas", por así decirlo, por el movimiento de otros planetas y varían en función del tiempo; de ahí el nombre de "teoría de la perturbación". ^[12]

La teoría de perturbaciones fue investigada por los eruditos clásicos – Laplace, Siméon Denis Poisson , Carl Friedrich Gauss – como resultado de lo cual los cálculos pudieron ser realizados con una precisión muy alta. El descubrimiento del planeta Neptuno en 1848 por Urbain Le Verrier , basado en las desviaciones en el movimiento del planeta Urano . Envió las coordenadas a JG Galle quien observó con éxito Neptuno a través de su telescopio – un triunfo de la teoría de perturbaciones. ^[12]

La exposición estándar de la teoría de perturbaciones se da en términos del orden en que se lleva a cabo la perturbación: teoría de perturbaciones de primer orden o teoría de perturbaciones de segundo orden, y si los estados perturbados son degenerados, lo que requiere una perturbación singular . En el caso singular se debe tener un cuidado adicional y la teoría es ligeramente más elaborada.

Muchos de los métodos de química cuántica ab initio utilizan la teoría de perturbaciones directamente o son métodos estrechamente relacionados. La teoría de perturbaciones implícita ^[13] trabaja con el hamiltoniano completo desde el principio y nunca especifica un operador de perturbación como tal. La teoría de perturbaciones de Møller-Plesset utiliza la diferencia entre el hamiltoniano de Hartree-Fock y el hamiltoniano no relativista exacto como perturbación. La energía de orden cero es la suma de las energías orbitales. La energía de primer orden es la energía de Hartree-Fock y la correlación electrónica se incluye en el segundo orden o superior. Los cálculos de segundo, tercer o cuarto orden son muy comunes y el código se incluye en la mayoría de los programas de química cuántica ab initio . Un método relacionado pero más preciso es el método de agrupamiento acoplado .

En la teoría de perturbaciones, se produce un cruce de capas (sc) cuando las trayectorias de materia se intersecan y forman una singularidad . ^[14] Esto limita el poder predictivo de las simulaciones físicas a escalas pequeñas.

• van den Eijnden, Eric . "Introducción a la teoría de perturbaciones regulares" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 20 de septiembre de 2004.
• Chow, Carson C. (23 de octubre de 2007). "Método de perturbación de múltiples escalas". Scholarpedia . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• Enfoque alternativo a la teoría de perturbaciones cuánticas Martínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Análisis alternativo a la teoría de perturbaciones en mecánica cuántica". The European Physical Journal D . 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode :2012EPJD...66...22M. doi :10.1140/epjd/e2011-20654-5. S2CID  117362666.