Valoración (álgebra)

En álgebra (en particular en geometría algebraica o teoría algebraica de números ), una valoración es una función sobre un cuerpo que proporciona una medida del tamaño o multiplicidad de elementos del cuerpo. Generaliza al álgebra conmutativa la noción de tamaño inherente a la consideración del grado de un polo o la multiplicidad de un cero en el análisis complejo , el grado de divisibilidad de un número por un número primo en la teoría de números y el concepto geométrico de contacto entre dos variedades algebraicas o analíticas en la geometría algebraica. Un cuerpo con una valoración sobre él se denomina cuerpo valorado .

Se comienza con los siguientes objetos:

• un campo K y su grupo multiplicativo K ^× ,
• un grupo abeliano totalmente ordenado (Γ, +, ≥) .

La ley de ordenación y de grupo sobre Γ se extienden al conjunto Γ ∪ {∞ } ^[a] por las reglas

• ∞ ≥ α para todo α ∈ Γ ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ para todo α ∈ Γ .

Entonces una valoración de K es cualquier mapa

v  : K → Γ ∪ {∞}

que satisface las siguientes propiedades para todos los a , b en K :

• v ( a ) = ∞ si y sólo si a = 0 ,
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b )) , con igualdad si v ( a ) ≠ v ( b ).

Una valoración v es trivial si v ( a ) = 0 para todo a en K ^× , de lo contrario no es trivial .

La segunda propiedad afirma que cualquier valoración es un homomorfismo de grupo en K ^× . La tercera propiedad es una versión de la desigualdad triangular en espacios métricos adaptada a un Γ arbitrario (ver la notación multiplicativa a continuación). Para las valoraciones utilizadas en aplicaciones geométricas , la primera propiedad implica que cualquier germen no vacío de una variedad analítica cerca de un punto contiene ese punto.

La valoración puede interpretarse como el orden del término de orden superior . ^[b] La tercera propiedad corresponde entonces a que el orden de una suma es el orden del término mayor, ^[c] a menos que los dos términos tengan el mismo orden, en cuyo caso pueden cancelarse y la suma puede tener un orden mayor.

Para muchas aplicaciones, Γ es un subgrupo aditivo de los números reales ^[d] en cuyo caso ∞ puede interpretarse como +∞ en los números reales extendidos ; nótese que para cualquier número real a , y por tanto +∞ es la unidad bajo la operación binaria de mínimo. Los números reales (extendidos por +∞) con las operaciones de mínimo y adición forman un semianillo , llamado semianillo tropical min , ^[e] y una valoración v es casi un homomorfismo de semianillo desde K hasta el semianillo tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a}$

El concepto fue desarrollado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica escribiendo el grupo en notación multiplicativa como (Γ, ·, ≥) : ^[1]

En lugar de ∞, agregamos un símbolo formal O a Γ, con la ley de ordenamiento y grupo extendida por las reglas

• O ≤ α para todo α ∈ Γ ,
• O · α = α · O = O para todo α ∈ Γ .

Entonces una valoración de K es cualquier mapa

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

satisfaciendo las siguientes propiedades para todos a , b ∈ K :

• |a| _v = O si y sólo si a = 0 ,
• |ab| _v = |a| _v · |b| _v ,
• |a+b| _v ≤ max( |a| _v , |b| _v ) , con igualdad si |a| _v ≠ |b| _v .

(Tenga en cuenta que las direcciones de las desigualdades son invertidas respecto de las de la notación aditiva).

Si Γ es un subgrupo de los números reales positivos bajo multiplicación, la última condición es la desigualdad ultramétrica , una forma más fuerte de la desigualdad triangular |a+b| _v ≤ |a| _v + |b| _v , y | ⋅ | _v es un valor absoluto . En este caso, podemos pasar a la notación aditiva con grupo de valores tomando v ₊ ( a ) = −log |a| _v .${\displaystyle \Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$

Cada valoración en K define un preorden lineal correspondiente : a ≼ b ⇔ |a| _v ≤ |b| _v . Por el contrario, dado un " ≼ " que satisface las propiedades requeridas, podemos definir la valoración |a| _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, con multiplicación y ordenamiento basados ​​en K y ≼ .

En este artículo, utilizamos los términos definidos anteriormente, en notación aditiva. Sin embargo, algunos autores utilizan términos alternativos:

• nuestra "valoración" (que satisface la desigualdad ultramétrica) se llama "valoración exponencial" o "valor absoluto no arquimediano" o "valor absoluto ultramétrico";
• Nuestro "valor absoluto" (que satisface la desigualdad triangular) se llama "valoración" o "valor absoluto de Arquímedes".

Hay varios objetos definidos a partir de una valoración dada v  : K → Γ ∪ {∞} ;

• el grupo de valores o grupo de valoración Γ _v = v ( K ^× ), un subgrupo de Γ (aunque v suele ser sobreyectivo, de modo que Γ _v = Γ );
• el anillo de valoración R _v es el conjunto de a ∈ K con v ( a ) ≥ 0,
• el ideal primo m _v es el conjunto de a ∈ K con v ( a ) > 0 (de hecho es un ideal maximal de R _v ),
• el campo de residuos k _v = R _v / m _v ,
• el lugar de K asociado a v , la clase de v bajo la equivalencia definida a continuación.

Se dice que dos valoraciones v ₁ y v ₂ de K con grupo de valoración Γ ₁ y Γ ₂ , respectivamente, son equivalentes si existe un isomorfismo de grupo que preserva el orden φ  : Γ ₁ → Γ ₂ tal que v ₂ ( a ) = φ( v ₁ ( a )) para todo a en K ^× . Esta es una relación de equivalencia .

Dos valoraciones de K son equivalentes si y sólo si tienen el mismo anillo de valoración.

Una clase de equivalencia de valoraciones de un cuerpo se llama lugar . El teorema de Ostrowski da una clasificación completa de los lugares del cuerpo de los números racionales , estas son precisamente las clases de equivalencia de valoraciones para las compleciones p -ádicas de${\displaystyle \mathbb {Q} :}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Sea v una valoración de K y sea L una extensión de campo de K. Una extensión de v (a L ) es una valoración w de L tal que la restricción de w a K es v . El conjunto de todas esas extensiones se estudia en la teoría de ramificación de valoraciones .

Sea L / K una extensión finita y sea w una extensión de v a L . El índice de Γ _v en Γ _w , e( w / v ) = [Γ _w  : Γ _v ], se llama índice de ramificación reducido de w sobre v . Satisface e( w / v ) ≤ [ L  :  K ] (el grado de la extensión L / K ). El grado relativo de w sobre v se define como f ( w / v ) = [ R _w / m _w  :  R _v / m _v ] (el grado de la extensión de los campos de residuos). También es menor o igual que el grado de L / K . Cuando L / K es separable , el índice de ramificación de w sobre v se define como e( w / v ) p ⁱ , donde p ⁱ es el grado inseparable de la extensión R _w / m _w sobre R _v / m _v .

Cuando el grupo abeliano ordenado Γ es el grupo aditivo de los números enteros , la valoración asociada es equivalente a un valor absoluto y, por lo tanto, induce una métrica en el cuerpo K . Si K es completo con respecto a esta métrica, entonces se denomina cuerpo con valor completo . Si K no es completo, se puede utilizar la valoración para construir su completitud , como en los ejemplos siguientes, y diferentes valoraciones pueden definir diferentes cuerpos de completitud.

En general, una valoración induce una estructura uniforme en K , y K se denomina cuerpo valorado completo si es completo como espacio uniforme. Existe una propiedad relacionada conocida como completitud esférica : es equivalente a la completitud si , pero más fuerte en general.${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z},}$

El ejemplo más básico es la valoración p- ádica ν _p asociada a un entero primo p , en los números racionales con anillo de valoración donde es la localización de en el ideal primo . El grupo de valoración son los enteros aditivos Para un entero la valoración ν _p ( a ) mide la divisibilidad de a por potencias de p :${\displaystyle K=\mathbb {Q},}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} _ {(p)},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(p)}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización (p)}$${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z}.}$${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divide }}a\};}$

y para una fracción, ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) − ν _p ( b ).

Escribiendo esto multiplicativamente se obtiene el valor absoluto p -ádico , que convencionalmente tiene como base , por lo que .${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _ {p}(a)}}$

La completitud de con respecto a ν _p es el campo de números p-ádicos .${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q}_{p}}$

Sea K = F (x), las funciones racionales en la línea afín X = F ¹ , y tome un punto a ∈ X. Para un polinomio con , defina v _a ( f ) = k, el orden de anulación en x = a ; y v _a ( f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ). Entonces el anillo de valuación R consiste en funciones racionales sin polo en x = a , y la compleción es el anillo formal de series de Laurent F (( x − a )). Esto se puede generalizar al cuerpo de series de Puiseux K {{ t }} (potencias fraccionarias), el cuerpo de Levi-Civita (su compleción de Cauchy) y el cuerpo de series de Hahn , con valuación en todos los casos devolviendo el exponente más pequeño de t que aparece en la serie.${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$${\displaystyle a_{k}\neq 0}$

Generalizando los ejemplos anteriores, sea R un dominio ideal principal , K su campo de fracciones y π un elemento irreducible de R. Como cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único , cada elemento a de R distinto de cero se puede escribir (esencialmente) de forma única como

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

donde los e' son números enteros no negativos y los p _i son elementos irreducibles de R que no son asociados de π . En particular, el número entero e _a está determinado de forma única por a .

La valoración π-ádica de K viene dada entonces por

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi}(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ para }}a,b\en R,a,b\neq 0.}$

Si π' es otro elemento irreducible de R tal que (π') = (π) (es decir, generan el mismo ideal en R ), entonces la valoración π-ádica y la valoración π'-ádica son iguales. Por lo tanto, la valoración π-ádica puede llamarse valoración P -ádica, donde P  = (π).

El ejemplo anterior se puede generalizar a dominios de Dedekind . Sea R un dominio de Dedekind, K su campo de fracciones y sea P un ideal primo no nulo de R. Entonces, la localización de R en P , denotada R _P , es un dominio ideal principal cuyo campo de fracciones es K. La construcción de la sección anterior aplicada al ideal primo PR _P de R _P produce la valoración P -ádica de K.

Supongamos que Γ ∪ {0} es el conjunto de números reales no negativos bajo la multiplicación. Entonces decimos que la valuación no es discreta si su rango (el grupo de valuación) es infinito (y por lo tanto tiene un punto de acumulación en 0).

Supóngase que X es un espacio vectorial sobre K y que A y B son subconjuntos de X . Entonces decimos que A absorbe a B si existe un α ∈ K tal que λ ∈ K y |λ| ≥ |α| implica que B ⊆ λ A . A se llama radial o absorbente si A absorbe cada subconjunto finito de X . Los subconjuntos radiales de X son invariantes bajo intersección finita. Además, A se llama circulado si λ en K y |λ| ≥ |α| implica λ A ⊆ A . El conjunto de subconjuntos circulados de L es invariante bajo intersecciones arbitrarias. La envoltura circulada de A es la intersección de todos los subconjuntos circulados de X que contienen a A .

Supóngase que X e Y son espacios vectoriales sobre un cuerpo de valoración no discreto K , sea A ⊆ X , B ⊆ Y , y sea f : X → Y una función lineal. Si B está rodeada por un círculo o es radial, entonces también lo está . Si A está rodeada por un círculo, entonces también lo está f(A) pero si A es radial, entonces f(A) será radial bajo la condición adicional de que f sea sobreyectiva.$Estilo de visualización f-1(B)$

• Valoración discreta
• Valoración euclidiana
• Norma de campo
• Valor absoluto (álgebra)

• Danilov, VI (2001) [1994], "Valoración", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Valoración discreta en PlanetMath .
• Valoración en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valoración". MathWorld .