Representación regular

En matemáticas , y en particular en la teoría de representaciones de grupos , la representación regular de un grupo G es la representación lineal proporcionada por la acción del grupo G sobre sí mismo por traslación .

Se distingue la representación regular izquierda λ dada por la traslación izquierda y la representación regular derecha ρ dada por la inversa de la traslación derecha.

Para un grupo finito G , la representación regular izquierda λ (sobre un cuerpo K ) es una representación lineal sobre el espacio vectorial K V generada libremente por los elementos de G , es decir, los elementos de G pueden identificarse con una base de V . Dado g  ∈  G , λ _g es la función lineal determinada por su acción sobre la base por traslación izquierda por g , es decir

${\displaystyle \lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ para todos }}h\in G.}$

Para la representación regular derecha ρ, debe ocurrir una inversión para satisfacer los axiomas de una representación. Específicamente, dado g  ∈  G , ρ _g es la función lineal en V determinada por su acción sobre la base de la traslación derecha por g ⁻¹ , es decir

${\displaystyle \rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ para todos }}h\in G.\ }$

Alternativamente, estas representaciones pueden definirse en el espacio vectorial K W de todas las funciones G → K . Es en esta forma que la representación regular se generaliza a grupos topológicos como los grupos de Lie .

La definición específica en términos de W es la siguiente. Dada una función f  : G → K y un elemento g  ∈  G ,

${\displaystyle (\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)}$

y

${\displaystyle (\rho_{g}f)(x)=f(\rho_{g}^{-1}(x))=f(xg).}$

Todo grupo G actúa sobre sí mismo por traslaciones. Si consideramos esta acción como una representación de permutación se caracteriza por tener una única órbita y estabilizador el subgrupo identidad { e } de G . La representación regular de G , para un cuerpo dado K , es la representación lineal que se hace tomando esta representación de permutación como un conjunto de vectores base de un espacio vectorial sobre K . La importancia es que mientras que la representación de permutación no se descompone - es transitiva - la representación regular en general se descompone en representaciones más pequeñas. Por ejemplo, si G es un grupo finito y K es el cuerpo de números complejos , la representación regular se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles , con cada representación irreducible apareciendo en la descomposición con multiplicidad su dimensión. El número de estos irreducibles es igual al número de clases de conjugación de G .

El hecho anterior puede explicarse mediante la teoría de caracteres . Recordemos que el carácter de la representación regular χ (g) es el número de puntos fijos de g que actúan sobre la representación regular V. Esto significa que el número de puntos fijos χ (g) es cero cuando g no es id y | G | en caso contrario. Sea V la descomposición ⊕ a _i V _i donde las V _i son representaciones irreducibles de G y las a _i son las multiplicidades correspondientes. Mediante la teoría de caracteres , la multiplicidad a _i puede calcularse como

${\displaystyle a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _ {i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},}$lo que significa que la multiplicidad de cada representación irreducible es su dimensión.

El artículo sobre anillos de grupo articula la representación regular para grupos finitos , además de mostrar cómo la representación regular puede tomarse como un módulo .

Para poner la construcción de manera más abstracta, el anillo de grupo K [ G ] se considera como un módulo sobre sí mismo. (Aquí se puede elegir entre acción izquierda o acción derecha, pero eso no tiene importancia excepto para la notación). Si G es finito y la característica de K no divide a | G |, este es un anillo semisimple y estamos viendo sus ideales de anillo izquierdo (derecho) . Esta teoría se ha estudiado en gran profundidad. Se sabe en particular que la descomposición en suma directa de la representación regular contiene un representante de cada clase de isomorfismo de representaciones lineales irreducibles de G sobre K . Se puede decir que la representación regular es completa para la teoría de la representación, en este caso. El caso modular, cuando la característica de K divide a | G |, es más difícil principalmente porque con K [ G ] no semisimple, una representación puede dejar de ser irreducible sin dividirse como una suma directa.

Para un grupo cíclico C generado por g de orden n , la forma matricial de un elemento de K [ C ] que actúa sobre K [ C ] por multiplicación toma una forma distintiva conocida como matriz circulante , en la que cada fila es un desplazamiento a la derecha de la anterior (en orden cíclico , es decir, con el elemento más a la derecha apareciendo a la izquierda), cuando se hace referencia a la base natural.

1, g , g ² , ..., g ^{n −1} .

Cuando el cuerpo K contiene una raíz primitiva n -ésima de la unidad , se puede diagonalizar la representación de C escribiendo n vectores propios simultáneos linealmente independientes para todos los n × n circulantes. De hecho, si ζ es cualquier raíz n -ésima de la unidad, el elemento

1 + ζ gramo + ζ ² gramo ² + ... + ζ ^{norte −1} gramo ^{norte −1}

es un vector propio para la acción de g por multiplicación, con valor propio

ζ ⁻¹

y así también un vector propio de todas las potencias de g , y sus combinaciones lineales.

Esta es la forma explícita en este caso del resultado abstracto de que sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K (como los números complejos ) la representación regular de G es completamente reducible , siempre que la característica de K (si es un número primo p ) no divida el orden de G . Esto se llama teorema de Maschke . En este caso la condición sobre la característica está implícita por la existencia de una raíz n -ésima primitiva de la unidad, lo que no puede suceder en el caso de la característica prima p dividiendo a n .

Los determinantes circulantes se encontraron por primera vez en las matemáticas del siglo XIX, y se extrajo la consecuencia de su diagonalización. Es decir, el determinante de un circulante es el producto de los n valores propios por los n vectores propios descritos anteriormente. El trabajo básico de Frobenius sobre las representaciones de grupo comenzó con la motivación de encontrar factorizaciones análogas de los determinantes de grupo para cualquier G finito ; es decir, los determinantes de matrices arbitrarias que representan elementos de K [ G ] que actúan por multiplicación sobre los elementos base dados por g en G . A menos que G sea abeliano , la factorización debe contener factores no lineales correspondientes a representaciones irreducibles de G de grado > 1.

Para un grupo topológico G , la representación regular en el sentido anterior debe reemplazarse por un espacio adecuado de funciones en G , con G actuando por traslación. Véase el teorema de Peter-Weyl para el caso compacto . Si G es un grupo de Lie pero no compacto ni abeliano , esto es una cuestión difícil de análisis armónico . El caso abeliano localmente compacto es parte de la teoría de dualidad de Pontryagin .

En la teoría de Galois se muestra que para un cuerpo L , y un grupo finito G de automorfismos de L , el cuerpo fijo K de G tiene [ L : K ] = | G |. De hecho, podemos decir más: L visto como un K [ G ]-módulo es la representación regular. Este es el contenido del teorema de la base normal , siendo una base normal un elemento x de L tal que los g ( x ) para g en G son una base del espacio vectorial para L sobre K . Tales x existen, y cada uno da un K [ G ]-isomorfismo de L a K [ G ]. Desde el punto de vista de la teoría de números algebraicos es de interés estudiar bases integrales normales , donde tratamos de reemplazar L y K por los anillos de enteros algebraicos que contienen. Uno puede ver ya en el caso de los enteros gaussianos que tales bases pueden no existir: a + bi y a − bi nunca pueden formar una base Z -módulo de Z [ i ] porque 1 no puede ser una combinación entera. Las razones se estudian en profundidad en la teoría de módulos de Galois .

La representación regular de un anillo de grupo es tal que las representaciones regulares de la izquierda y de la derecha dan módulos isomorfos (y a menudo no necesitamos distinguir los casos). Dada un álgebra sobre un cuerpo A , no tiene sentido inmediatamente preguntar sobre la relación entre A como módulo izquierdo sobre sí mismo y como módulo derecho. En el caso del grupo, la aplicación sobre elementos base g de K [ G ] definida tomando el elemento inverso da un isomorfismo de K [ G ] a su anillo opuesto . Para A en general, dicha estructura se llama álgebra de Frobenius . Como su nombre lo indica, fueron introducidas por Frobenius en el siglo XIX. Se ha demostrado que están relacionadas con la teoría cuántica de campos topológicos en 1 + 1 dimensiones mediante una instancia particular de la hipótesis del cobordismo .

• Representación fundamental
• Representación de permutación
• Representación cuasirregular

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.