*-álgebra

En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , una *-álgebra (o álgebra involutiva ; leída como "álgebra en estrella") es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos R y A , donde R es conmutativo y A tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre R. Las álgebras involutivas generalizan la idea de un sistema numérico dotado de conjugación, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja , matrices sobre los números complejos y transpuesta conjugada , y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y adjuntos hermíticos . Sin embargo, puede suceder que un álgebra no admita involución . ^[a]

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En matemáticas , un *-anillo es un anillo con una función *: A → A que es un antiautomorfismo y una involución .

Más precisamente, se requiere que * satisfaga las siguientes propiedades: ^[1]

• ( x + y )* = x * + y *
• ( x y )* = y *  x *
• 1* = 1
• ( x *)* = x

para todo x ,  y en A .

También se denomina anillo involutivo , anillo involutivo y anillo con involución . El tercer axioma está implícito en el segundo y cuarto axiomas, lo que lo hace redundante.

Los elementos tales que x * = x se denominan autoadjuntos . ^[2]

Ejemplos arquetípicos de un *-anillo son los cuerpos de números complejos y números algebraicos con conjugación compleja como involución. Se puede definir una forma sesquilínea sobre cualquier *-anillo.

Además, se pueden definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos , con el requisito de que sean * -invariantes : x ∈ I ⇒ x * ∈ I y así sucesivamente.

Los *-anillos no están relacionados con los semianillos estelares en la teoría de la computación.

Un *-álgebra A es un *-anillo, ^[b] con involución * que es un álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo R con involución ′ , tal que ( r x )* = r ′  x * ∀ r ∈ R , x ∈ A . ^[3]

El anillo base * R es a menudo el de los números complejos (con ′ actuando como conjugación compleja).

De los axiomas se deduce que * en A es conjugado-lineal en R , lo que significa

( λ x + μ  y )* = λ ′  x * + μ ′  y *

para λ ,  μ ∈ R , x ,  y ∈ A .

Un *-homomorfismo f  : A → B es un homomorfismo algebraico que es compatible con las involuciones de A y B , es decir,

• f ( a *) = f ( a )* para todo a en A . ^[2]

La operación * en un *-anillo es análoga a la conjugación compleja en los números complejos. La operación * en un *-álgebra es análoga a tomar adjuntos en álgebras de matrices complejas .

La involución * es una operación unaria escrita con un glifo de estrella posfijo centrado encima o cerca de la línea media :

x ↦ x * , o

x ↦ x ^∗ ( TeX :x^*),

pero no como " x ∗ "; consulte el artículo sobre el asterisco para obtener más detalles.

• Cualquier anillo conmutativo se convierte en un *-anillo con la involución trivial ( idéntica ).
• El ejemplo más familiar de un *-anillo y un *-álgebra sobre números reales es el cuerpo de números complejos C, donde * es simplemente la conjugación compleja .
• En términos más generales, una extensión de campo hecha por la adjunción de una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria √ −1 ) es un *-álgebra sobre el campo original, considerado como un anillo trivialmente *. El * invierte el signo de esa raíz cuadrada.
• Un anillo de enteros cuadráticos (para algún D ) es un *-anillo conmutativo con el * definido de manera similar; los campos cuadráticos son *-álgebras sobre anillos de enteros cuadráticos apropiados.
• Los cuaterniones , los números complejos divididos , los números duales y posiblemente otros sistemas numéricos hipercomplejos forman *-anillos (con su operación de conjugación incorporada) y *-álgebras sobre números reales (donde * es trivial). Ninguno de los tres es un álgebra compleja.
• Los cuaterniones de Hurwitz forman un anillo * no conmutativo con la conjugación del cuaternión.
• El álgebra matricial de matrices n  ×  n sobre R con * dada por la transposición .
• El álgebra matricial de matrices n  ×  n sobre C con * dada por la transpuesta conjugada .
• Su generalización, el adjunto hermítico en el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert, también define un *-álgebra.
• El anillo polinomial R [ x ] sobre un anillo trivialmente* conmutativo R es una *-álgebra sobre R con P  *( x ) = P  (− x ) .
• Si ( A , +, ×, *) es simultáneamente un *-anillo, un álgebra sobre un anillo R (conmutativo), y ( r x )* = r  ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , entonces A es un *-álgebra sobre R (donde * es trivial).
  • Como caso parcial, cualquier *-anillo es un *-álgebra sobre números enteros .
• Cualquier *-anillo conmutativo es un *-álgebra sobre sí mismo y, más generalmente, sobre cualquiera de sus *-subanillos.
• Para un *-anillo conmutativo R , su cociente por cualquier *-ideal es una *-álgebra sobre R .
  • Por ejemplo, cualquier anillo trivialmente-* conmutativo es un *-álgebra sobre su anillo de números duales , un *-anillo con * no trivial , porque el cociente por ε = 0 forma el anillo original.
  • Lo mismo ocurre con un anillo conmutativo K y su anillo polinomial K [ x ] : el cociente por x = 0 restablece K .
• En álgebra de Hecke , una involución es importante para el polinomio de Kazhdan-Lusztig .
• El anillo de endomorfismo de una curva elíptica se convierte en un *-álgebra sobre los números enteros, donde la involución se obtiene tomando la isogenia dual . Una construcción similar funciona para variedades abelianas con una polarización , en cuyo caso se denomina involución de Rosati (consulte las notas de la clase de Milne sobre variedades abelianas).

Las álgebras de Hopf involutivas son ejemplos importantes de *-álgebras (con la estructura adicional de una comultiplicación compatible ); el ejemplo más conocido es:

• El álgebra de Hopf de grupo : un anillo de grupo , con involución dada por g ↦ g ⁻¹ .

No todas las álgebras admiten una involución:

Consideremos las matrices 2×2 sobre los números complejos. Consideremos la siguiente subálgebra:$${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}}$$

Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma: ^[4] para cualquier número complejo .$${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

De ello se deduce que cualquier antiautomorfismo no trivial no es involutivo:$${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Concluyendo que el subálgebra no admite involución.

Muchas propiedades de la transpuesta son válidas para las *-álgebras generales:

• Los elementos hermíticos forman un álgebra de Jordan ;
• Los elementos hermíticos sesgados forman un álgebra de Lie ;
• Si 2 es invertible en el *-anillo, entonces los operadores ⁠1/2⁠ (1 + *) y ⁠1/2⁠ (1 − *) son idempotentes ortogonales , ^[2] llamados simetrizantes y antisimetrizantes , por lo que el álgebra se descompone como una suma directa de módulos ( espacios vectoriales si el *-anillo es un cuerpo) de elementos simétricos y antisimétricos (hermíticos y hermíticos antihormigueros). Estos espacios no forman, por lo general, álgebras asociativas, porque los idempotentes son operadores , no elementos del álgebra.

Dado un *-anillo, también existe la función −* : x ↦ − x * . No define una estructura de *-anillo (a menos que la característica sea 2, en cuyo caso −* es idéntico al * original), ya que 1 ↦ −1 , ni es antimultiplicativo, pero satisface los otros axiomas (lineal, involución) y, por lo tanto, es bastante similar al *-álgebra donde x ↦ x * .

Los elementos fijados por este mapa (es decir, tales que a = − a * ) se denominan hermíticos sesgados .

Para los números complejos con conjugación compleja, los números reales son los elementos hermíticos y los números imaginarios son los hermíticos antihorarios.

• Semigrupo con involución
• Álgebra B*
• Álgebra C*
• Categoría de daga
• Álgebra de von Neumann
• Anillo de Baer
• Álgebra de operadores
• Conjugado (álgebra)
• Construcción Cayley-Dickson
• Álgebra de composición