Conexión de Galois

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , una conexión de Galois es una correspondencia particular (típicamente) entre dos conjuntos parcialmente ordenados (posets). Las conexiones de Galois encuentran aplicaciones en varias teorías matemáticas. Generalizan el teorema fundamental de la teoría de Galois sobre la correspondencia entre subgrupos y subcuerpos , descubierto por el matemático francés Évariste Galois .

Una conexión de Galois también puede definirse en conjuntos o clases preordenados ; este artículo presenta el caso común de los conjuntos parciales. La literatura contiene dos nociones estrechamente relacionadas de "conexión de Galois". En este artículo, nos referiremos a ellas como conexiones de Galois (monótonas) y conexiones de Galois antitónicas .

Una conexión de Galois es bastante débil en comparación con un isomorfismo de orden entre los conjuntos parciales involucrados, pero toda conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos subconjuntos parciales, como se explicará más adelante. El término correspondencia de Galois se utiliza a veces para referirse a una conexión de Galois biyectiva ; esto es simplemente un isomorfismo de orden (o isomorfismo de orden dual, dependiendo de si tomamos conexiones de Galois monótonas o antítonas).

Sean ( A , ≤) y ( B , ≤) dos conjuntos parcialmente ordenados . Una conexión de Galois monótona entre estos conjuntos parciales consiste en dos funciones monótonas ^[1] : F  : A → B y G  : B → A , tales que para todo a en A y b en B , tenemos

F ( a ) ≤ b si y sólo si a ≤ G ( b ) .

En esta situación, F se denomina adjunto inferior de G y G se denomina adjunto superior de F. Mnemotécnicamente, la terminología superior/inferior se refiere a dónde aparece la aplicación de la función en relación con ≤. ^[2] El término "adjunto" se refiere al hecho de que las conexiones de Galois monótonas son casos especiales de pares de funtores adjuntos en la teoría de categorías , como se analiza más adelante. Otra terminología que se encuentra aquí es adjunto izquierdo (respectivamente adjunto derecho ) para el adjunto inferior (respectivamente superior).

Una propiedad esencial de una conexión de Galois es que un adjunto superior/inferior de una conexión de Galois determina de manera única al otro:

F ( a ) es el elemento menor~b con un ≤ G (~b) , y

G ( b ) es el elemento más grande~acon F (~a) ≤ b .

Una consecuencia de esto es que si F o G son biyectivas entonces cada una es la inversa de la otra, es decir F = G ⁻¹ .

Dada una conexión de Galois con adjunto inferior F y adjunto superior G , podemos considerar las composiciones GF  : A → A , conocida como el operador de cierre asociado , y FG  : B → B , conocido como el operador de núcleo asociado. Ambas son monótonas e idempotentes , y tenemos a ≤ GF ( a ) para todo a en A y FG ( b ) ≤ b para todo b en B .

Una inserción de Galois de B en A es una conexión de Galois en la que el operador de núcleo FG es la identidad en B y, por lo tanto, G es un isomorfismo de orden de B sobre el conjunto de elementos cerrados GF  [ A ] de A . ^[3]

La definición anterior es común en muchas aplicaciones actuales y es destacada en la teoría de redes y dominios . Sin embargo, la noción original en la teoría de Galois es ligeramente diferente. En esta definición alternativa, una conexión de Galois es un par de funciones antitonas , es decir, de orden inverso, F  : A → B y G  : B → A entre dos conjuntos parciales A y B , de modo que

b ≤ F ( a ) si y sólo si a ≤ G ( b ) .

La simetría de F y G en esta versión borra la distinción entre superior e inferior, y las dos funciones se denominan entonces polaridades en lugar de adjuntas. ^[4] Cada polaridad determina de forma única a la otra, ya que

F ( a ) es el elemento más grande b con a ≤ G ( b ) , y

G ( b ) es el elemento más grande a con b ≤ F ( a ) .

Las composiciones GF  : A → A y FG  : B → B son los operadores de cierre asociados; son mapas idempotentes monótonos con la propiedad a ≤ GF ( a ) para todo a en A y b ≤ FG ( b ) para todo b en B .

Las implicaciones de las dos definiciones de conexiones de Galois son muy similares, ya que una conexión de Galois antitónica entre A y B es simplemente una conexión de Galois monótona entre A y el dual de orden B ^op de B. Todas las afirmaciones siguientes sobre las conexiones de Galois se pueden convertir fácilmente en afirmaciones sobre las conexiones de Galois antitónicas.

La biyección de un par de funciones y la inversa de cada una de ellas forma una conexión de Galois (trivial), como sigue. Como la relación de igualdad es reflexiva, transitiva y antisimétrica, es, trivialmente, un orden parcial , lo que hace que los conjuntos sean parcialmente ordenados. Ya que si y solo si tenemos una conexión de Galois.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\estilo de visualización (X,=)}$${\displaystyle (Y,=)}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle x=g(y),}$

Una conexión de Galois monótona entre el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números reales , cada uno con su orden habitual, se da mediante la función de incrustación habitual de los números enteros en los reales y la función base que trunca un número real al mayor entero menor o igual que él. La incrustación de números enteros se realiza habitualmente de forma implícita, pero para mostrar la conexión de Galois la hacemos explícita. Así que denotemos la función de incrustación, con mientras que denota la función base, por lo que la equivalencia se traduce entonces en${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle F:\mathbb {Z} \a \mathbb {R} }$${\displaystyle F(n)=n\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle G:\mathbb {R} \a \mathbb {Z} }$${\displaystyle G(x)=\lpiso x\rpiso .}$${\displaystyle F(n)\leq x~\Flecha izquierda derecha ~n\leq G(x)}$

${\displaystyle n\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq \lfloor x\rfloor .}$

Esto es válido porque la variable está restringida a los números enteros. Las propiedades bien conocidas de la función suelo, como las que se pueden derivar mediante razonamiento elemental de esta conexión de Galois.${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \lpiso x+n\rpiso =\lpiso x\rpiso +n,}$

Los órdenes duales dan otra conexión de Galois monótona, ahora con la función de techo :

${\displaystyle x\leq n~\flecha izquierda y derecha ~\leq n.}$

Para un ejemplo de teoría del orden, sea U un conjunto y sean A y B ambos el conjunto potencia de U , ordenado por inclusión . Elija un subconjunto fijo L de U. Entonces las aplicaciones F y G , donde F ( M  ) = L ∩ M , y G ( N  ) = N ∪ ( U  \  L ) , forman una conexión de Galois monótona, con F siendo el adjunto inferior. Una conexión de Galois similar cuyo adjunto inferior está dado por la operación de encuentro ( ínfimo ) se puede encontrar en cualquier álgebra de Heyting . Especialmente, está presente en cualquier álgebra de Boole , donde las dos aplicaciones se pueden describir por F ( x ) = ( a ∧ x ) y G (  y ) = (  y ∨ ¬ a ) = ( a ⇒ y ) . En términos lógicos : "implicación de a " es el adjunto superior de "conjunción con a ".

En el artículo sobre propiedades de completitud se describen otros ejemplos interesantes de conexiones de Galois . En términos generales, resulta que las funciones habituales ∨ y ∧ son adjuntas inferiores y superiores a la función diagonal X → X × X . Los elementos mínimo y máximo de un orden parcial están dados por adjuntos inferiores y superiores a la función única X → {1}. Yendo más allá, incluso las redes completas se pueden caracterizar por la existencia de adjuntos adecuados. Estas consideraciones dan una idea de la ubicuidad de las conexiones de Galois en la teoría del orden.

Sea G transitivamente sobre X y elija un punto x en X. Considere

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\en B;\para todo g\en G,gB=B\ \mathrm {o} \ gB\cap B=\conjunto vacío \},}$

el conjunto de bloques que contienen x . Además, sea formado por los subgrupos de G que contienen el estabilizador de x .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Luego, la correspondencia :${\displaystyle {\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle B\mapsto H_{B}=\{g\en G:gx\en B\}}$

es una conexión de Galois monótona y biunívoca . ^[5] Como corolario , se puede establecer que las acciones doblemente transitivas no tienen bloques distintos de los triviales (singletons o la totalidad de X ): esto se deduce de que los estabilizadores son máximos en G en ese caso. Véase Grupo doblemente transitivo para una discusión más detallada.

Si f  : X → Y es una función , entonces para cualquier subconjunto M de X podemos formar la imagen F ( M  ) =   f M = {  f  ( m ) | m ∈ M } y para cualquier subconjunto N de Y podemos formar la imagen inversa G ( N  ) =   f ⁻¹ N = { x ∈ X |   f  ( x ) ∈ N }. Entonces F y G forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto potencia de X y el conjunto potencia de Y , ambos ordenados por inclusión ⊆. Hay otro par adjunto en esta situación: para un subconjunto M de X , definamos H ( M ) = { y ∈ Y |   f ⁻¹ { y } ⊆ M }. Entonces G y H forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto potencia de Y y el conjunto potencia de X . En la primera conexión de Galois, G es el adjunto superior, mientras que en la segunda conexión de Galois sirve como adjunto inferior.      

En el caso de un mapa cociente entre objetos algebraicos (como grupos ), esta conexión se llama teorema de red : los subgrupos de G se conectan a subgrupos de G / N , y el operador de cierre en subgrupos de G está dado por H = HN .

Elija un objeto matemático X que tenga un conjunto subyacente , por ejemplo, un grupo, anillo , espacio vectorial , etc. Para cualquier subconjunto S de X , sea F ( S  ) el subobjeto más pequeño de X que contiene a S , es decir, el subgrupo , subanillo o subespacio generado por S. Para cualquier subobjeto U de X , sea G ( U  ) el conjunto subyacente de U. (Incluso podemos tomar X como un espacio topológico , sea F ( S  ) la clausura de S y tome como "subobjetos de X " los subconjuntos cerrados de X. ) Ahora F y G forman una conexión de Galois monótona entre subconjuntos de X y subobjetos de X , si ambos están ordenados por inclusión. F es el adjunto inferior.

Un comentario muy general de William Lawvere ^[6] es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tomemos A como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones) ordenadas inversamente por fuerza, y B como el conjunto potencia del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T ∈ A , sea Mod( T  ) el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T  ; para un conjunto de estructuras matemáticas S ∈ B , sea Th( S  ) el mínimo de las axiomatizaciones que se aproximan a S (en lógica de primer orden , este es el conjunto de oraciones que son verdaderas en todas las estructuras en S ). Podemos decir entonces que S es un subconjunto de Mod( T  ) si y solo si Th( S  ) implica lógicamente T : el "funtor semántico" Mod y el "funtor sintáctico" Th forman una conexión de Galois monótona, siendo la semántica el adjunto superior.

El ejemplo motivador proviene de la teoría de Galois: supongamos que L / K es una extensión de cuerpo . Sea A el conjunto de todos los subcuerpos de L que contienen a K , ordenados por inclusión ⊆. Si E es un subcuerpo de este tipo, escriba Gal( L / E ) para el grupo de automorfismos de cuerpo de L que mantienen fijo a E. Sea B el conjunto de subgrupos de Gal( L / K ) , ordenados por inclusión ⊆. Para un subgrupo de este tipo G , defina Fix( G ) como el cuerpo que consiste en todos los elementos de L que se mantienen fijos por todos los elementos de G . Entonces las funciones E ↦ Gal( L / E ) y G ↦ Fix( G ) forman una conexión de Galois antitónica.

Análogamente, dado un espacio topológico conexo por trayectorias X , existe una conexión de Galois antitónica entre subgrupos del grupo fundamental π ₁ ( X ) y espacios de recubrimiento conexos por trayectorias de X . En particular, si X es semilocalmente simplemente conexo , entonces para cada subgrupo G de π ₁ ( X ) , existe un espacio de recubrimiento con G como su grupo fundamental.

Dado un espacio de producto interno V , podemos formar el complemento ortogonal F ( X  ) de cualquier subespacio X de V . Esto produce una conexión de Galois antitónica entre el conjunto de subespacios de V y él mismo, ordenados por inclusión; ambas polaridades son iguales a F .

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto X de V podemos definir su aniquilador F ( X  ) , que consiste en todos los elementos del espacio dual V  ^∗ de V que se anulan en X . De manera similar, dado un subconjunto Y de V  ^∗ , definimos su aniquilador G ( Y  ) = {  x ∈ V | φ ( x ) = 0 ∀ φ ∈ Y  }. Esto da una conexión de Galois antitónica entre los subconjuntos de V y los subconjuntos de V  ^∗ .

En geometría algebraica , la relación entre conjuntos de polinomios y sus conjuntos cero es una conexión de Galois antitónica.

Fijemos un número natural n y un cuerpo K y sea A el conjunto de todos los subconjuntos del anillo polinómico K [ X ₁ , ..., X _n ] ordenados por inclusión ⊆, y sea B el conjunto de todos los subconjuntos de K ⁿ ordenados por inclusión ⊆. Si S es un conjunto de polinomios, definamos la variedad de ceros como

${\displaystyle V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ para todo }}f\in S\},}$

el conjunto de ceros comunes de los polinomios en S . Si U es un subconjunto de K ⁿ , defina I ( U  ) como el ideal de polinomios que se desvanecen en U , es decir

${\displaystyle I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ para todo }}x\in U\}.}$

Entonces V e I forman una conexión de Galois antitónica.

El cierre en K n ^es el cierre en la topología de Zariski , y si el campo K está algebraicamente cerrado , entonces el cierre en el anillo de polinomios es el radical del ideal generado por S.

De manera más general, dado un anillo conmutativo R (no necesariamente un anillo polinomial), existe una conexión de Galois antitónica entre los ideales radicales en el anillo y los subconjuntos cerrados de Zariski de la variedad afín Spec ( R ) .

De manera más general, existe una conexión de Galois antítona entre los ideales en el anillo y los subesquemas de la variedad afín correspondiente .

Supongamos que X e Y son conjuntos arbitrarios y que se da una relación binaria R sobre X e Y. Para cualquier subconjunto M de X , definimos F ( M  ) = {  y ∈ Y | mRy ∀ m ∈ M  }. De manera similar, para cualquier subconjunto N de Y , definimos G ( N  ) = {  x ∈ X | xRn ∀ n ∈ N  }. Entonces F y G producen una conexión de Galois antitónica entre los conjuntos de potencias de X e Y , ambos ordenados por inclusión ⊆. ^[7]

Hasta el isomorfismo, todas las conexiones de Galois antitónicas entre conjuntos de potencia surgen de esta manera. Esto se desprende del "Teorema básico sobre redes de conceptos". ^[8] La teoría y las aplicaciones de las conexiones de Galois que surgen de relaciones binarias se estudian en el análisis formal de conceptos . Ese campo utiliza conexiones de Galois para el análisis matemático de datos. Se pueden encontrar muchos algoritmos para conexiones de Galois en la literatura respectiva, por ejemplo, en. ^[9]

El concepto general de red en su versión primitiva incorpora las conexiones de Galois monótonas y antitónicas para proporcionar sus límites superior e inferior de nodos para la red de conceptos, respectivamente. ^[10]

A continuación, consideramos una conexión de Galois (monótona) f = (  f ^∗ ,   f _∗ ) , donde f ^∗  : A → B es el adjunto inferior como se introdujo anteriormente. Se pueden obtener inmediatamente algunas propiedades básicas útiles e instructivas. Por la propiedad definitoria de las conexiones de Galois, f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( x ) es equivalente a x ≤   f _∗ (  f ^∗ ( x )) , para todo x en A . Por un razonamiento similar (o simplemente aplicando el principio de dualidad para la teoría del orden ), se encuentra que f ^∗ (  f _∗ ( y )) ≤ y , para todo y en B . Estas propiedades se pueden describir diciendo que la compuesta f ^∗ ∘  f _∗ es deflacionaria , mientras que f _∗ ∘  f ^∗ es inflacionaria (o extensiva ).              

Ahora considere x , y ∈ A tal que x ≤ y . Luego, utilizando lo anterior, se obtiene x ≤   f _∗ (  f  ^∗ ( y )) . Aplicando la propiedad básica de las conexiones de Galois, ahora se puede concluir que f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( y ) . Pero esto solo muestra que f ^∗ preserva el orden de dos elementos cualesquiera, es decir, es monótona. Nuevamente, un razonamiento similar produce la monotonía de f _∗ . Por lo tanto, la monotonía no tiene que incluirse en la definición explícitamente. Sin embargo, mencionar la monotonía ayuda a evitar la confusión sobre las dos nociones alternativas de las conexiones de Galois.      

Otra propiedad básica de las conexiones de Galois es el hecho de que f _∗ (  f ^∗ (  f _∗ ( x ))) =   f _∗ ( x ) , para todo x en B . Claramente encontramos que  

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≥   f _∗ ( x ) .

porque f _∗ ∘  f ^∗ es inflacionaria como se muestra arriba. Por otro lado, dado que f ^∗ ∘  f _∗ es deflacionaria, mientras que f _∗ es monótona, se encuentra que     

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≤   f _∗ ( x ) .

Esto demuestra la igualdad deseada. Además, podemos utilizar esta propiedad para concluir que

 f  ^∗ (  f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x )))) =   f  ^∗ (  f _∗ ( x ))

y

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ (  f  ^∗ ( x )))) =   f _∗ (  f  ^∗ ( x ))

es decir, f ^∗ ∘  f _∗ y f _∗ ∘  f ^∗ son idempotentes .    

Se puede demostrar (ver Blyth o Erné para pruebas) que una función f es adjunta inferior (respectivamente superior) si y solo si f es una función residual (respectivamente, función residual). Por lo tanto, la noción de función residual y conexión de Galois monótona son esencialmente las mismas.    

Los hallazgos anteriores se pueden resumir de la siguiente manera: para una conexión de Galois, el compuesto f _∗ ∘  f ^∗ es monótono (al ser el compuesto de funciones monótonas), inflacionario e idempotente. Esto establece que f _∗ ∘  f ^∗ es de hecho un operador de cierre en A . Dualmente, f ^∗ ∘  f _∗ es monótono, deflacionario e idempotente. Tales mapeos a veces se denominan operadores de núcleo . En el contexto de marcos y locales , el compuesto f _∗ ∘  f ^∗ se llama núcleo inducido por f . Los núcleos inducen homomorfismos de marco; un subconjunto de una configuración regional se denomina subconfiguración regional si está dado por un núcleo.          

Por el contrario , cualquier operador de clausura c en algún conjunto poset A da lugar a la conexión de Galois con el adjunto inferior f ^∗ siendo simplemente la correstricción de c a la imagen de c (es decir, como una aplicación sobreyectiva del sistema de clausura c ( A ) ). El adjunto superior f _∗ se da entonces por la inclusión de c ( A ) en A , que asigna cada elemento cerrado a sí mismo, considerado como un elemento de A . De esta manera, los operadores de clausura y las conexiones de Galois se ven como estrechamente relacionados, cada uno especificando una instancia del otro. Conclusiones similares son válidas para los operadores de kernel.   

Las consideraciones anteriores también muestran que los elementos cerrados de A (elementos x con f _∗ (  f ^∗ ( x )) = x ) se asignan a elementos dentro del rango del operador de núcleo f ^∗ ∘  f _∗ , y viceversa.    

Otra propiedad importante de las conexiones de Galois es que los adjuntos inferiores preservan todos los supremos que existen dentro de su dominio . Dualmente, los adjuntos superiores preservan todos los ínfimos existentes . A partir de estas propiedades, también se puede concluir inmediatamente la monotonía de los adjuntos. El teorema del functor adjunto para la teoría del orden establece que la implicación inversa también es válida en ciertos casos: especialmente, cualquier aplicación entre retículos completos que preserva todos los supremos es el adjunto inferior de una conexión de Galois.

En esta situación, una característica importante de las conexiones de Galois es que un adjunto determina de forma única al otro. Por lo tanto, se puede reforzar la afirmación anterior para garantizar que cualquier mapa que preserve el supremo entre redes completas es el adjunto inferior de una conexión de Galois única. La propiedad principal para derivar esta unicidad es la siguiente: para cada x en A , f ^∗ ( x ) es el menor elemento y de B tal que x ≤   f _∗ ( y ) . Dualmente, para cada y en B , f _∗ ( y ) es el mayor x en A tal que f ^∗ ( x ) ≤ y . La existencia de una cierta conexión de Galois ahora implica la existencia de los respectivos elementos menor o mayor, sin importar si los posets correspondientes satisfacen alguna propiedad de completitud . Por lo tanto, cuando se da un adjunto superior de una conexión de Galois, el otro adjunto superior se puede definir a través de esta misma propiedad.     

Por otra parte, alguna función monótona f es un adjunto inferior si y solo si cada conjunto de la forma {  x ∈ A |   f  ( x ) ≤ b  }, para b en B , contiene un elemento mayor. Nuevamente, esto puede dualizarse para el adjunto superior.  

Las conexiones de Galois también proporcionan una clase interesante de aplicaciones entre conjuntos parciales que se pueden usar para obtener categorías de conjuntos parciales. En particular, es posible componer conexiones de Galois: dadas las conexiones de Galois (  f  ^∗ ,   f _∗ ) entre los conjuntos parciales A y B y ( g ^∗ , g _∗ ) entre B y C , la conexión compuesta ( g ^∗ ∘   f  ^∗ ,   f _∗ ∘ g _∗ ) también es una conexión de Galois. Al considerar categorías de redes completas, esto se puede simplificar para considerar solo aplicaciones que preservan todos los supremos (o, alternativamente, ínfimos). Al asignar redes completas a sus duales, estas categorías muestran autodualidad , que es bastante fundamental para obtener otros teoremas de dualidad. Los tipos más especiales de morfismos que inducen aplicaciones adjuntas en la otra dirección son los morfismos generalmente considerados para marcos (o locales).

Todo conjunto parcialmente ordenado puede ser visto como una categoría de manera natural: existe un morfismo único de x a y si y solo si x ≤ y . Una conexión de Galois monótona no es entonces nada más que un par de funtores adjuntos entre dos categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados. En este contexto, el adjunto superior es el adjunto derecho mientras que el adjunto inferior es el adjunto izquierdo . Sin embargo, esta terminología se evita para las conexiones de Galois, ya que hubo un tiempo en que los conjuntos parciales se transformaban en categorías de manera dual, es decir, con morfismos que apuntaban en la dirección opuesta. Esto condujo a una notación complementaria sobre adjuntos izquierdos y derechos, que hoy es ambigua.

Las conexiones de Galois se pueden utilizar para describir muchas formas de abstracción en la teoría de la interpretación abstracta de los lenguajes de programación . ^{[11] [12]}

Los siguientes libros y artículos de investigación incluyen conexiones de Galois que utilizan la definición monótona:

• Brian A. Davey y Hilary A. Priestley : Introducción a las redes y el orden , Cambridge University Press, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott : Redes y dominios continuos , Cambridge University Press, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on Galois connections , en: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 704, 1993, págs. 103-125. (Disponible gratuitamente en línea en varios formatos de archivo PS.GZ PS, presenta muchos ejemplos y resultados, así como notas sobre las diferentes notaciones y definiciones que surgieron en esta área).

Algunas publicaciones que utilizan la definición original (antítona):

• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático en activo (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Thomas Scott Blyth, Redes y estructuras algebraicas ordenadas , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 . 
• Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski y Hiroakira Ono (2007), Celosías residuales. Una mirada algebraica a la lógica subestructural , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 . 
• Garrett Birkhoff : Teoría de retículas , Amer. Math. Soc. Coll. Pub., vol. 25, 1940
• Ore, Øystein (1944), "Conexiones de Galois", Transacciones de la American Mathematical Society , 55 (3): 493–513, doi :10.2307/1990305, JSTOR  1990305