Función parcial

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En matemáticas , una función parcial f de un conjunto X a un conjunto Y es una función de un subconjunto S de X (posiblemente el propio X ) a Y. El subconjunto S , es decir, el dominio de f visto como una función, se denomina dominio de definición o dominio natural de f . Si S es igual a X , es decir, si f está definida en cada elemento de X , entonces se dice que f es una función total .

En términos más técnicos, una función parcial es una relación binaria sobre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto como máximo un elemento del segundo conjunto; por lo tanto, es una relación univalente . Esto generaliza el concepto de función (total) al no requerir que cada elemento del primer conjunto esté asociado a un elemento del segundo conjunto.

Una función parcial se utiliza a menudo cuando su dominio exacto de definición no se conoce o es difícil de especificar. Sin embargo, incluso cuando se conoce el dominio exacto de definición, las funciones parciales se utilizan a menudo por simplicidad o brevedad. Este es el caso del cálculo , donde, por ejemplo, el cociente de dos funciones es una función parcial cuyo dominio de definición no puede contener los ceros del denominador; en este contexto, una función parcial generalmente se denomina simplemente función .

En la teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial de números enteros a números enteros; no puede existir ningún algoritmo para decidir si una función arbitraria de este tipo es de hecho total.

Cuando se utiliza la notación de flecha para funciones, una función parcial de a a veces se escribe como o Sin embargo, no existe una convención general, y la última notación se utiliza más comúnmente para mapas de inclusión o incrustaciones . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$ ${\displaystyle f:X\nrightarrow Y,}$${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

En concreto, para una función parcial y cualquiera tiene:${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$${\displaystyle x\in X,}$

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$(es un solo elemento en Y ), o
• ${\displaystyle f(x)}$no está definido

Por ejemplo, si la función raíz cuadrada está restringida a los números enteros${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,}$definido por:

${\displaystyle f(n)=m}$Si, y sólo si,${\displaystyle m^{2}=n,}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,}$

entonces solo está definido si es un cuadrado perfecto (es decir, ). Por lo tanto, pero no está definido.${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0,1,4,9,16,\ldots }$${\displaystyle f(25)=5}$${\displaystyle f(26)}$

Una función parcial surge de la consideración de aplicaciones entre dos conjuntos X e Y que pueden no estar definidas en todo el conjunto X . Un ejemplo común es la operación de raíz cuadrada en los números reales : debido a que los números reales negativos no tienen raíces cuadradas reales, la operación puede verse como una función parcial de a El dominio de definición de una función parcial es el subconjunto S de X en el que se define la función parcial; en este caso, la función parcial también puede verse como una función de S a Y . En el ejemplo de la operación de raíz cuadrada, el conjunto S consta de los números reales no negativos${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle [0,+\infty ).}$

La noción de función parcial es particularmente conveniente cuando el dominio exacto de la definición es desconocido o incluso incognoscible. Para un ejemplo informático de esto último, véase Problema de detención .

En caso de que el dominio de definición S sea igual a todo el conjunto X , se dice que la función parcial es total . Así, las funciones parciales totales de X a Y coinciden con las funciones de X a Y .

Muchas propiedades de funciones pueden extenderse en un sentido apropiado de funciones parciales. Se dice que una función parcial es inyectiva , sobreyectiva o biyectiva cuando la función dada por la restricción de la función parcial a su dominio de definición es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva respectivamente.

Dado que una función es trivialmente sobreyectiva cuando se restringe a su imagen, el término biyección parcial denota una función parcial que es inyectiva. ^[1]

Una función parcial inyectiva puede invertirse en una función parcial inyectiva, y una función parcial que es a la vez inyectiva y sobreyectiva tiene una función inyectiva como inversa. Además, una función que es inyectiva puede invertirse en una función parcial biyectiva.

El concepto de transformación también se puede generalizar a funciones parciales. Una transformación parcial es una función en la que tanto y como son subconjuntos de algún conjunto ^[1]${\displaystyle f:A\rightharpoonup B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$

Para mayor comodidad, denotemos el conjunto de todas las funciones parciales de un conjunto a un conjunto por Este conjunto es la unión de los conjuntos de funciones definidas en subconjuntos de con el mismo codominio :${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [X\rightharpoonup Y].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],}$

Este último también escrito como En caso finito, su cardinalidad es${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$

${\displaystyle |[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},}$

porque cualquier función parcial puede extenderse a una función por cualquier valor fijo no contenido en ella , de modo que el codominio es una operación que es inyectiva (única e invertible por restricción).${\displaystyle c}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y\cup \{c\},}$

El primer diagrama que aparece en la parte superior del artículo representa una función parcial que no es una función, ya que el elemento 1 del conjunto de la izquierda no está asociado con nada del conjunto de la derecha. En cambio, el segundo diagrama representa una función, ya que cada elemento del conjunto de la izquierda está asociado con exactamente un elemento del conjunto de la derecha.

Consideremos la función logaritmo natural que asigna los números reales a sí mismos. El logaritmo de un real no positivo no es un número real, por lo que la función logaritmo natural no asocia ningún número real en el codominio con ningún número real no positivo en el dominio. Por lo tanto, la función logaritmo natural no es una función cuando se la ve como una función de los números reales a sí mismos, sino que es una función parcial. Si el dominio está restringido para incluir solo los números reales positivos (es decir, si la función logaritmo natural se considera como una función de los números reales positivos a los números reales), entonces el logaritmo natural es una función.

La resta de números naturales (en los que son los enteros no negativos ) es una función parcial:${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N} }$

${\displaystyle f(x,y)=x-y.}$

Se define únicamente cuando${\displaystyle x\geq y.}$

En la semántica denotacional, se considera que una función parcial devuelve el elemento inferior cuando no está definido.

En informática, una función parcial corresponde a una subrutina que genera una excepción o se repite indefinidamente. El estándar IEEE de punto flotante define un valor que no es un número y que se devuelve cuando una operación de punto flotante no está definida y se suprimen las excepciones, por ejemplo, cuando se solicita la raíz cuadrada de un número negativo.

En un lenguaje de programación donde los parámetros de función están tipados estáticamente , una función puede definirse como una función parcial porque el sistema de tipos del lenguaje no puede expresar el dominio exacto de la función, por lo que el programador le da el dominio más pequeño que se puede expresar como un tipo y contiene el dominio de definición de la función.

En la teoría de categorías , al considerar la operación de composición de morfismos en categorías concretas , la operación de composición es una función total si y solo si tiene un elemento. La razón de esto es que dos morfismos y solo pueden estar compuestos como si es decir, el codominio de debe ser igual al dominio de${\displaystyle \circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)}$${\displaystyle \operatorname {ob} (C)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:U\to V}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle Y=U,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente , pero no isomorfa, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que preservan puntos. ^[2] Un libro de texto señala que "Esta terminación formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos "impropios" e "infinitos" se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactación de un punto ) y en informática teórica ". ^[3]

La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es equivalente a su dual . ^[4] Es la categoría inversa prototípica . ^[5]

El álgebra parcial generaliza la noción de álgebra universal a las operaciones parciales . Un ejemplo sería un cuerpo en el que la inversión multiplicativa es la única operación parcial propia (porque la división por cero no está definida). ^[6]

El conjunto de todas las funciones parciales ( transformaciones parciales ) sobre un conjunto base dado, forma un semigrupo regular llamado semigrupo de todas las transformaciones parciales (o semigrupo de transformación parcial sobre ), típicamente denotado por ^{[7] [8] [9]} El conjunto de todas las biyecciones parciales sobre forma el semigrupo inverso simétrico . ^{[7] [8]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}.}$${\displaystyle X}$

Los gráficos de los atlas que especifican la estructura de las variedades y los haces de fibras son funciones parciales. En el caso de las variedades, el dominio es el conjunto de puntos de la variedad. En el caso de los haces de fibras, el dominio es el espacio del haz de fibras. En estas aplicaciones, la construcción más importante es el mapa de transición , que es la composición de un gráfico con el inverso de otro. La clasificación inicial de las variedades y los haces de fibras se expresa en gran medida en términos de restricciones sobre estos mapas de transición.

El motivo del uso de funciones parciales en lugar de funciones es permitir que las topologías globales generales se representen mediante la unión de parches locales para describir la estructura global. Los "parches" son los dominios en los que se definen los gráficos.

• Continuación analítica  – Extensión del dominio de una función analítica (matemáticas)
• Función multivaluada  – Función matemática generalizada
• Operador densamente definido  : función que está definida casi en todas partes (matemáticas)

• Martin Davis (1958), Computabilidad e insolubilidad , McGraw–Hill Book Company, Inc, Nueva York. Reeditado por Dover en 1982. ISBN  0-486-61471-9 .
• Stephen Kleene (1952), Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, Países Bajos, décima edición con correcciones añadidas en la séptima edición (1974). ISBN 0-7204-2103-9 . 
• Harold S. Stone (1972), Introducción a la organización de computadoras y estructuras de datos , McGraw–Hill Book Company, Nueva York.