Cálculo de Ricci

El cálculo tensorial está en proceso de ser fusionado con este artículo. Si es posible, edite solo este artículo, ya que el artículo mencionado anteriormente puede convertirse en unaredirección. Puede encontrar discusiones relevantesaquí. ( Febrero de 2024 )

En matemáticas , el cálculo de Ricci constituye las reglas de notación de índices y manipulación para tensores y campos tensoriales en una variedad diferenciable , con o sin un tensor métrico o conexión . ^{[a] [1] [2] [3]} También es el nombre moderno para lo que solía llamarse el cálculo diferencial absoluto (la base del cálculo tensorial ), desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro en 1887-1896, y posteriormente popularizado en un artículo escrito con su alumno Tullio Levi-Civita en 1900. ^[4] Jan Arnoldus Schouten desarrolló la notación y el formalismo modernos para este marco matemático e hizo contribuciones a la teoría, durante sus aplicaciones a la relatividad general y la geometría diferencial a principios del siglo XX. ^[5]

Un componente de un tensor es un número real que se utiliza como coeficiente de un elemento base para el espacio tensorial. El tensor es la suma de sus componentes multiplicada por sus elementos base correspondientes. Los tensores y los campos tensoriales se pueden expresar en términos de sus componentes, y las operaciones sobre tensores y campos tensoriales se pueden expresar en términos de operaciones sobre sus componentes. La descripción de los campos tensoriales y las operaciones sobre ellos en términos de sus componentes es el foco del cálculo de Ricci. Esta notación permite una expresión eficiente de dichos campos tensoriales y operaciones. Si bien gran parte de la notación se puede aplicar con cualquier tensor, las operaciones relacionadas con una estructura diferencial solo son aplicables a los campos tensoriales. Cuando es necesario, la notación se extiende a los componentes de los no tensores, en particular las matrices multidimensionales .

Un tensor puede expresarse como una suma lineal del producto tensorial de los elementos de la base del vector y del covector . Los componentes tensoriales resultantes se etiquetan mediante índices de la base. Cada índice tiene un valor posible por dimensión del espacio vectorial subyacente . La cantidad de índices es igual al grado (u orden) del tensor.

Para simplificar y facilitar su lectura, el cálculo de Ricci incorpora la notación de Einstein , que implica la suma sobre índices repetidos dentro de un término y la cuantificación universal sobre índices libres. Las expresiones en la notación del cálculo de Ricci pueden interpretarse generalmente como un conjunto de ecuaciones simultáneas que relacionan los componentes como funciones sobre una variedad, normalmente más específicamente como funciones de las coordenadas en la variedad. Esto permite la manipulación intuitiva de expresiones con la familiaridad de solo un conjunto limitado de reglas.

Cuando se debe hacer una distinción entre los elementos básicos similares al espacio y un elemento similar al tiempo en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la física clásica, esto se hace convencionalmente a través de índices como sigue: ^[6]

• El alfabeto latino en minúsculas a , b , c , ... se utiliza para indicar la restricción al espacio euclidiano tridimensional , que toma los valores 1, 2, 3 para los componentes espaciales; y el elemento temporal, indicado por 0, se muestra por separado.
• El alfabeto griego minúscula α , β , γ , ... se utiliza para el espacio-tiempo de 4 dimensiones , que normalmente toma valores 0 para los componentes temporales y 1, 2, 3 para los componentes espaciales.

Algunas fuentes utilizan 4 en lugar de 0 como valor de índice correspondiente al tiempo; en este artículo, se utiliza 0. De lo contrario, en contextos matemáticos generales, se puede utilizar cualquier símbolo para los índices, generalmente en todas las dimensiones del espacio vectorial.

Los autores generalmente dejarán claro si un subíndice sirve como índice o como etiqueta.

Por ejemplo, en el espacio euclidiano 3-D y utilizando coordenadas cartesianas ; el vector de coordenadas A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) muestra una correspondencia directa entre los subíndices 1, 2, 3 y las etiquetas x , y , z . En la expresión A _i , i se interpreta como un índice que abarca los valores 1, 2, 3, mientras que los subíndices x , y , z son solo etiquetas, no variables. En el contexto del espacio-tiempo, el valor del índice 0 corresponde convencionalmente a la etiqueta t .

Los índices en sí pueden etiquetarse utilizando símbolos similares a diacríticos , como un sombrero (ˆ), una barra (¯), una tilde (˜) o una prima (′) como en:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

para indicar una base posiblemente diferente para ese índice. Un ejemplo son las transformaciones de Lorentz de un marco de referencia a otro, donde un marco podría no tener prima y el otro tener prima, como en:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Esto no debe confundirse con la notación de van der Waerden para espinores , que utiliza sombreros y puntos sobre los índices para reflejar la quiralidad de un espinor.

El cálculo de Ricci, y la notación de índices en general, distingue entre índices inferiores (subíndices) e índices superiores (superíndices); estos últimos no son exponentes, aunque puedan parecerlo para el lector familiarizado sólo con otras partes de las matemáticas.

En el caso especial de que el tensor métrico sea en todas partes igual a la matriz identidad, es posible prescindir de la distinción entre índices superiores e inferiores, y entonces todos los índices podrían escribirse en la posición inferior. Las fórmulas de coordenadas en álgebra lineal, como las del producto de matrices, pueden ser ejemplos de esto. Pero, en general, se debe mantener la distinción entre índices superiores e inferiores.$Estilo de visualización a_ {ij}b_ {jk}}$

Un índice más bajo (subíndice) indica covarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A_{\alpha\beta\gamma\cdots}}$

Un índice superior (superíndice) indica contravarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A^{\alpha\beta\gamma\cdots}}$

Un tensor puede tener índices superiores e inferiores:

${\displaystyle A_{\alpha}^{\beta}^{\gamma}^{\delta \cdots}.}$

El orden de los índices es importante, incluso cuando tienen varianzas diferentes. Sin embargo, cuando se entiende que no se aumentará ni disminuirá ningún índice mientras se mantenga el símbolo base, los índices covariantes a veces se colocan debajo de los índices contravariantes por conveniencia de notación (por ejemplo, con el delta de Kronecker generalizado ).

El número de cada índice superior e inferior de un tensor da su tipo : se dice que un tensor con p índices superiores y q índices inferiores es de tipo ( p , q ) , o que es un tensor de tipo ( p , q ) .

El número de índices de un tensor, independientemente de la varianza, se denomina grado del tensor (alternativamente, su valencia , orden o rango , aunque el rango es ambiguo). Por lo tanto, un tensor de tipo ( p , q ) tiene grado p + q .

El mismo símbolo que aparece dos veces (uno superior y otro inferior) dentro de un término indica un par de índices que se suman:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{o}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

La operación implicada en dicha suma se llama contracción tensorial :

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,. }$

Esta suma puede ocurrir más de una vez dentro de un término con un símbolo distinto por par de índices, por ejemplo:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_ {\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Otras combinaciones de índices repetidos dentro de un término se consideran mal formadas, como

${\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }$	(ambas ocurrencias de son más bajas; estaría bien)${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }}$
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$	( aparece dos veces como índice inferior; o estaría bien).${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$

La razón para excluir tales fórmulas es que, aunque estas cantidades podrían calcularse como matrices de números, en general no se transformarían en tensores ante un cambio de base.

Si un tensor tiene una lista de todos los índices superiores o inferiores, una forma abreviada es utilizar una letra mayúscula para la lista: ^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}$

donde I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n y J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Un par de barras verticales | ⋅ | alrededor de un conjunto de índices todos superiores o todos inferiores (pero no ambos), asociadas con la contracción con otro conjunto de índices cuando la expresión es completamente antisimétrica en cada uno de los dos conjuntos de índices: ^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

significa una suma restringida de valores de índice, donde cada índice está restringido a ser estrictamente menor que el siguiente. Se puede sumar más de un grupo de esta manera, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

Cuando se utiliza la notación de múltiples índices, se coloca una flecha debajo del bloque de índices: ^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

dónde

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Al contraer un índice con un tensor métrico no singular , se puede cambiar el tipo de un tensor, convirtiendo un índice inferior en un índice superior o viceversa:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

En muchos casos se conserva el símbolo base (por ejemplo, se utiliza A donde aquí aparece B ) y, cuando no hay ninguna ambigüedad, el reposicionamiento de un índice puede interpretarse como que implica esta operación.

Esta tabla resume cómo la manipulación de índices covariantes y contravariantes se ajusta a la invariancia bajo una transformación pasiva entre bases, con los componentes de cada base fijados en términos de la otra reflejada en la primera columna. Los índices en barra se refieren al sistema de coordenadas final después de la transformación. ^[10]

Se utiliza el delta de Kronecker , véase también a continuación.

	Transformación de base	Transformación de componentes	Invariancia
Covector, vector covariante, 1-forma	${\displaystyle \omega ^{\bar {\alpha }}=L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }}$
Vector, vector contravariante	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }}$	${\displaystyle u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }}$	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }}$

Los tensores son iguales si y solo si cada componente correspondiente es igual; por ejemplo, el tensor A es igual al tensor B si y solo si

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

para todos los α , β , γ . En consecuencia, hay facetas de la notación que son útiles para comprobar que una ecuación tiene sentido (un procedimiento análogo al análisis dimensional ).

Los índices que no intervienen en las contracciones se denominan índices libres . Los índices utilizados en las contracciones se denominan índices ficticios o índices de suma .

Los componentes de los tensores (como A ^α , B _β ^γ etc.) son simplemente números reales. Dado que los índices toman varios valores enteros para seleccionar componentes específicos de los tensores, una única ecuación tensorial representa muchas ecuaciones ordinarias. Si una igualdad tensorial tiene n índices libres, y si la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente es m , la igualdad representa m ⁿ ecuaciones: cada índice toma todos los valores de un conjunto específico de valores.

Por ejemplo, si

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

tiene cuatro dimensiones (es decir, cada índice va de 0 a 3 o de 1 a 4), entonces, como hay tres índices libres ( α , β , δ ), hay 4 ³ = 64 ecuaciones. Tres de ellas son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Esto ilustra la compacidad y eficiencia del uso de la notación de índice: muchas ecuaciones que comparten una estructura similar se pueden recopilar en una simple ecuación tensorial.

Reemplazar cualquier símbolo de índice por otro deja la ecuación tensorial sin cambios (siempre que no haya conflicto con otros símbolos ya utilizados). Esto puede ser útil al manipular índices, como al usar la notación de índices para verificar identidades de cálculo vectorial o identidades del delta de Kronecker y el símbolo de Levi-Civita (ver también a continuación). Un ejemplo de un cambio correcto es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

Mientras que un cambio erróneo es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

En el primer reemplazo, λ reemplazó a α y μ reemplazó a γ en todas partes , por lo que la expresión todavía tiene el mismo significado. En el segundo, λ no reemplazó completamente a α y μ no reemplazó completamente a γ (por cierto, la contracción en el índice γ se convirtió en un producto tensorial), lo cual es completamente inconsistente por las razones que se muestran a continuación.

Los índices libres en una expresión tensorial siempre aparecen en la misma posición (superior o inferior) a lo largo de cada término, y en una ecuación tensorial los índices libres son los mismos en ambos lados. Los índices ficticios (que implican una suma sobre ese índice) no necesitan ser los mismos, por ejemplo:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

En cuanto a una expresión errónea:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

En otras palabras, los índices no repetidos deben ser del mismo tipo en cada término de la ecuación. En la identidad anterior, α , β y δ se alinean en toda su extensión y γ aparece dos veces en un término debido a una contracción (una vez como índice superior y otra como índice inferior), y por lo tanto es una expresión válida. En la expresión no válida, mientras que β se alinea, α y δ no lo hacen, y γ aparece dos veces en un término (contracción) y una vez en otro término, lo cual es inconsistente.

Al aplicar una regla a varios índices (diferenciación, simetrización, etc., que se muestran a continuación), los corchetes o símbolos de puntuación que denotan las reglas solo se muestran en un grupo de índices a los que se aplican.

Si los corchetes encierran índices covariantes , la regla se aplica sólo a todos los índices covariantes incluidos entre los corchetes , no a ningún índice contravariante que se encuentre ubicado intermediamente entre los corchetes.

De manera similar, si los corchetes encierran índices contravariantes , la regla se aplica solo a todos los índices contravariantes incluidos , no a los índices covariantes ubicados intermediariamente.

Los paréntesis ( ) alrededor de varios índices indican la parte simetrizada del tensor. Al simetrizar p índices utilizando σ para abarcar las permutaciones de los números 1 a p , se realiza una suma sobre las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} para i = 1, 2, 3, ..., p , y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Por ejemplo, dos índices simetrizantes significan que hay dos índices para permutar y sumar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que para tres índices simetrizantes, hay tres índices para sumar y permutar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

La simetrización es distributiva sobre la adición;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Los índices no son parte de la simetrización cuando son:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de los paréntesis y entre barras verticales (es decir, |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están simetrizados, β no.

Los corchetes, [ ] , alrededor de varios índices indican la parte antisimetrizada del tensor. Para p índices antisimetrizados, se toma la suma de las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} multiplicada por la signatura de la permutación sgn( σ ) y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

donde δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α pes el delta de Kronecker generalizado de grado 2 p , con escala como se define a continuación.

Por ejemplo, dos índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

Mientras que tres índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

En cuanto a un ejemplo más específico, si F representa el tensor electromagnético , entonces la ecuación

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

representa la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de inducción de Faraday .

Como antes, la antisimetrización es distributiva sobre la adición;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Al igual que con la simetrización, los índices no son antisimetrizados cuando son:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de los corchetes y entre barras verticales (es decir, |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ son antisimetrizados, β no lo es.

Cualquier tensor puede escribirse como la suma de sus partes simétricas y antisimétricas en dos índices:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

como se puede ver al sumar las expresiones anteriores para A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} y A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Esto no se cumple para otros dos índices.

Para mayor compacidad, las derivadas se pueden indicar añadiendo índices después de una coma o punto y coma. ^{[11] [12]}

Aunque la mayoría de las expresiones del cálculo de Ricci son válidas para bases arbitrarias, las expresiones que implican derivadas parciales de componentes tensoriales con respecto a coordenadas se aplican solo con una base de coordenadas : una base que se define a través de la diferenciación con respecto a las coordenadas. Las coordenadas se denotan típicamente por x ^μ , pero en general no forman los componentes de un vector. En el espacio-tiempo plano con coordinatización lineal, una tupla de diferencias en coordenadas, Δ x ^μ , puede tratarse como un vector contravariante. Con las mismas restricciones en el espacio y en la elección del sistema de coordenadas, las derivadas parciales con respecto a las coordenadas producen un resultado que es efectivamente covariante. Aparte del uso en este caso especial, las derivadas parciales de componentes de tensores en general no se transforman covariantemente, pero son útiles para construir expresiones que son covariantes, aunque aún con una base de coordenadas si las derivadas parciales se usan explícitamente, como con las derivadas covariantes, exteriores y de Lie a continuación.

Para indicar la diferenciación parcial de los componentes de un campo tensorial con respecto a una variable de coordenadas x ^γ , se coloca una coma antes de un índice inferior adjunto de la variable de coordenadas.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Esto puede repetirse (sin añadir más comas):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Estos componentes no se transforman covariantemente, a menos que la expresión que se está diferenciando sea un escalar. Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y las derivadas de las coordenadas

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

donde δ es el delta de Kronecker .

La derivada covariante solo se define si se define una conexión . Para cualquier cuerpo tensorial, un punto y coma (  ; ) colocado antes de un índice inferior (covariante) adjunto indica diferenciación covariante. Las alternativas menos comunes al punto y coma incluyen una barra diagonal ( / ) ^[13] o, en el espacio curvo tridimensional, una sola barra vertical (  |  ). ^[14]

La derivada covariante de una función escalar, un vector contravariante y un vector covariante son:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}$

donde Γ ^α _γβ son los coeficientes de conexión.

Para un tensor arbitrario: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Una notación alternativa para la derivada covariante de cualquier tensor es el símbolo nabla subscrito ∇ _β . Para el caso de un campo vectorial A ^α : ^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

La formulación covariante de la derivada direccional de cualquier campo tensorial a lo largo de un vector v ^γ puede expresarse como su contracción con la derivada covariante, por ejemplo:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Los componentes de esta derivada de un campo tensorial se transforman covariantemente y, por lo tanto, forman otro campo tensorial, a pesar de que las subexpresiones (la derivada parcial y los coeficientes de conexión) por separado no se transforman covariantemente.

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}$

Una conexión de Koszul en el fibrado tangente de una variedad diferenciable se denomina conexión afín .

Una conexión es una conexión métrica cuando la derivada covariante del tensor métrico se desvanece:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.}$

Una conexión afín que también es una conexión métrica se denomina conexión de Riemann . Una conexión de Riemann que no presenta torsión (es decir, en la que el tensor de torsión se anula: T ^α _βγ = 0 ) es una conexión de Levi-Civita .

Los Γ ^α _βγ para una conexión de Levi-Civita en una base de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel del segundo tipo.

La derivada exterior de un campo tensorial de tipo totalmente antisimétrico (0, s ) con componentes A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (también llamada forma diferencial ) es una derivada que es covariante bajo transformaciones de base. No depende ni de un tensor métrico ni de una conexión: requiere únicamente la estructura de una variedad diferenciable. En una base de coordenadas, puede expresarse como la antisimetrización de las derivadas parciales de los componentes del tensor: ^{[17] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

Esta derivada no está definida en ningún cuerpo tensorial con índices contravariantes o que no sea totalmente antisimétrico. Se caracteriza por una regla de producto graduado.

La derivada de Lie es otra derivada que es covariante bajo transformaciones de base. Al igual que la derivada exterior, no depende ni de un tensor métrico ni de una conexión. La derivada de Lie de un campo tensorial de tipo ( r , s ) T a lo largo de (el flujo de) un campo vectorial contravariante X ^ρ puede expresarse utilizando una base de coordenadas como ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y el hecho de que la derivada de Lie de un campo vectorial contravariante a lo largo de sí mismo es cero:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

El delta de Kronecker es como la matriz identidad cuando se multiplica y se contrae:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

Los componentes δ^alfa
_​son iguales en cualquier base y forman un tensor invariante de tipo (1, 1) , es decir, la identidad del fibrado tangente sobre la aplicación identidad de la variedad base , y por lo tanto su traza es un invariante. ^[19] Su traza es la dimensionalidad del espacio; por ejemplo, en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

El delta de Kronecker pertenece a la familia de deltas de Kronecker generalizados. El delta de Kronecker generalizado de grado 2 p se puede definir en términos del delta de Kronecker mediante (una definición común incluye un multiplicador adicional de p ! a la derecha):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

y actúa como un antisimetrizador en los índices p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Una conexión afín tiene un tensor de torsión T ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

donde γ ^α _βγ están dados por los componentes del corchete de Lie de la base local, que se desvanecen cuando se trata de una base coordenada.

Para una conexión de Levi-Civita, este tensor se define como cero, lo que para una base de coordenadas da las ecuaciones

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

Si este tensor se define como

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

entonces es el conmutador de la derivada covariante consigo misma: ^{[20] [21]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

ya que la conexión no tiene torsión, lo que significa que el tensor de torsión desaparece.

Esto se puede generalizar para obtener el conmutador para dos derivadas covariantes de un tensor arbitrario de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

que a menudo se denominan identidades de Ricci . ^[22]

El tensor métrico g _αβ se utiliza para reducir los índices y proporciona la longitud de cualquier curva espacial .

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave y estrictamente monótona de la trayectoria. También proporciona la duración de cualquier curva temporal

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave y estrictamente monótona de la trayectoria. Véase también Elemento de línea .

La matriz inversa g ^αβ del tensor métrico es otro tensor importante, utilizado para elevar índices:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2.ª ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
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