Forma lineal

En matemáticas , una forma lineal (también conocida como funcional lineal , ^[1] una forma uno o un covector ) es una aplicación lineal ^{[nb 1]} de un espacio vectorial a su campo de escalares (a menudo, los números reales o los números complejos ).

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo k , el conjunto de todos los funcionales lineales desde V hasta k es en sí mismo un espacio vectorial sobre k con adición y multiplicación escalar definidas puntualmente . Este espacio se denomina espacio dual de V o, a veces, espacio dual algebraico , cuando también se considera un espacio dual topológico . A menudo se denota Hom( V , k ) , ^[2] o, cuando se entiende el cuerpo k , ; ^[3] también se utilizan otras notaciones, como , ^{[4] [5]} o ^[2] Cuando los vectores se representan mediante vectores columna (como es común cuando una base es fija), entonces los funcionales lineales se representan como vectores fila , y sus valores en vectores específicos se dan mediante productos matriciales (con el vector fila a la izquierda).${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{\#}}$${\displaystyle V^{\vee }.}$

La función cero constante , que asigna cada vector a cero, es trivialmente una función lineal. Cualquier otra función lineal (como las que se muestran a continuación) es sobreyectiva (es decir, su rango es todo k ).

• Indexación en un vector: El segundo elemento de un vector de tres está dado por la forma uno. Es decir, el segundo elemento de es${\displaystyle [0,1,0].}$${\displaystyle [x,y,z]}$$${\displaystyle [0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.}$$
• Media : El elemento medio de un vector viene dado por la forma unitaria , es decir,${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].}$$${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.}$$
• Muestreo : El muestreo con un núcleo puede considerarse una forma única, donde la forma única es el núcleo desplazado a la ubicación apropiada.
• El valor actual neto de un flujo de efectivo neto , se da mediante la fórmula unidimensional donde es la tasa de descuento . Es decir,${\displaystyle R(t),}$${\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$$

Supongamos que los vectores en el espacio de coordenadas reales se representan como vectores columna${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Para cada vector fila hay una función lineal definida por y cada función lineal puede expresarse de esta forma.${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$

Esto se puede interpretar como el producto matricial o el producto escalar del vector fila y el vector columna :${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

La traza de una matriz cuadrada es la suma de todos los elementos de su diagonal principal . Las matrices se pueden multiplicar por escalares y se pueden sumar dos matrices de la misma dimensión; estas operaciones forman un espacio vectorial a partir del conjunto de todas las matrices. La traza es una función lineal en este espacio porque y para todos los escalares y todas las matrices${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A{\text{ and }}B.}$

Las funciones lineales aparecieron por primera vez en el análisis funcional , el estudio de los espacios vectoriales de funciones . Un ejemplo típico de una función lineal es la integración : la transformación lineal definida por la integral de Riemann es una función lineal del espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo a los números reales. La linealidad de se desprende de los hechos estándar sobre la integral:$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

Sea el espacio vectorial de funciones polinómicas de valor real de grado definido en un intervalo Si entonces sea la función de evaluación La aplicación es lineal ya que${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$${\displaystyle f\mapsto f(c)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

Si son puntos distintos en entonces los funcionales de evaluación forman una base del espacio dual de (Lax (1996) demuestra este último hecho usando la interpolación de Lagrange ).${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$${\displaystyle P_{n}}$

Una función que tiene la ecuación de una línea con (por ejemplo, ) no es una funcional lineal en , ya que no es lineal . ^{[nb 2]} Sin embargo, es afín-lineal .${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=a+rx}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle f(x)=1+2x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

En dimensiones finitas, un funcional lineal puede visualizarse en términos de sus conjuntos de niveles , los conjuntos de vectores que se asignan a un valor dado. En tres dimensiones, los conjuntos de niveles de un funcional lineal son una familia de planos mutuamente paralelos; en dimensiones superiores, son hiperplanos paralelos . Este método de visualización de funcionales lineales se introduce a veces en textos de relatividad general , como Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler (1973).

Si son puntos distintos en [ a , b ] , entonces los funcionales lineales definidos anteriormente forman una base del espacio dual de P _n , el espacio de polinomios de grado El funcional de integración I es también un funcional lineal en P _n , y por lo tanto puede expresarse como una combinación lineal de estos elementos de base. En símbolos, hay coeficientes para los cuales para todo Esto forma la base de la teoría de la cuadratura numérica . ^[6]${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$${\displaystyle \leq n.}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$$${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$${\displaystyle f\in P_{n}.}$

Los funcionales lineales son particularmente importantes en la mecánica cuántica . Los sistemas mecánicos cuánticos se representan mediante espacios de Hilbert , que son antiisomorfos a sus propios espacios duales. Un estado de un sistema mecánico cuántico se puede identificar con un funcional lineal. Para obtener más información , consulte la notación bra-ket .

En la teoría de funciones generalizadas , ciertos tipos de funciones generalizadas llamadas distribuciones pueden realizarse como funcionales lineales en espacios de funciones de prueba .

Toda forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V induce un isomorfismo V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ tal que $${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$$

donde se denota la forma bilineal de V (por ejemplo, en el espacio euclidiano , es el producto escalar de v y w ).${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$

El isomorfismo inverso es V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , donde v es el único elemento de V tal que para todo$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}$$${\displaystyle w\in V.}$

Se dice que el vector definido anteriormente v ^∗ ∈ V ^∗ es el vector dual de${\displaystyle v\in V.}$

En un espacio de Hilbert de dimensión infinita , se obtienen resultados análogos según el teorema de representación de Riesz . Existe una aplicación V ↦ V ^∗ de V en su espacio dual continuo V ^∗ .

Sea el espacio vectorial V una base , no necesariamente ortogonal . Entonces el espacio dual tiene una base llamada base dual definida por la propiedad especial que${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

O, más sucintamente,$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

donde es el delta de Kronecker . Aquí los superíndices de los funcionales de base no son exponentes sino índices contravariantes .${\displaystyle \delta _{ij}}$

Una función lineal perteneciente al espacio dual se puede expresar como una combinación lineal de funciones base, con coeficientes ("componentes") u _i ,${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}}$$${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

Luego, al aplicar la función a un vector base se obtiene${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$$${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

debido a la linealidad de los múltiplos escalares de los funcionales y a la linealidad puntual de las sumas de los funcionales. Entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cada componente de una función lineal se puede extraer aplicando la función al vector base correspondiente.

Cuando el espacio V lleva un producto interno , entonces es posible escribir explícitamente una fórmula para la base dual de una base dada. Sea V una base (no necesariamente ortogonal) En tres dimensiones ( n = 3 ), la base dual se puede escribir explícitamente para donde ε es el símbolo de Levi-Civita y el producto interno (o producto escalar ) en V .${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$${\displaystyle i=1,2,3,}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

En dimensiones superiores, esto se generaliza de la siguiente manera , donde es el operador de estrella de Hodge .$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$${\displaystyle \star }$

Los módulos sobre un anillo son generalizaciones de espacios vectoriales, lo que elimina la restricción de que los coeficientes pertenecen a un cuerpo . Dado un módulo M sobre un anillo R , una forma lineal sobre M es una función lineal de M a R , donde esta última se considera como un módulo sobre sí misma. El espacio de formas lineales siempre se denota Hom _k ( V , k ) , ya sea que k sea un cuerpo o no. Es un módulo derecho si V es un módulo izquierdo.

La existencia de "suficientes" formas lineales en un módulo es equivalente a la proyectividad . ^[8]

Supongamos que es un espacio vectorial sobre Restringiendo la multiplicación escalar a da lugar a un espacio vectorial real ^[9] llamado la realización de Cualquier espacio vectorial sobre es también un espacio vectorial sobre dotado de una estructura compleja ; es decir, existe un subespacio vectorial real tal que podemos escribir (formalmente) como -espacios vectoriales.${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cada funcional lineal en es de valor complejo mientras que cada funcional lineal en es de valor real. Si entonces un funcional lineal en cualquiera de o es no trivial (lo que significa que no es idénticamente ) si y solo si es sobreyectivo (porque si entonces para cualquier escalar ), donde la imagen de un funcional lineal en es mientras que la imagen de un funcional lineal en es En consecuencia, la única función en que es a la vez un funcional lineal en y una función lineal en es el funcional trivial; en otras palabras, donde denota el espacio dual algebraico del espacio . Sin embargo, cada funcional -lineal en es un operador -lineal (lo que significa que es aditivo y homogéneo sobre ), pero a menos que sea idénticamente no es un funcional -lineal en porque su rango (que es ) es bidimensional sobre A la inversa, un funcional -lineal distinto de cero tiene un rango demasiado pequeño para ser también un funcional -lineal.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \dim X\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si entonces denotamos su parte real por y su parte imaginaria por Entonces y son funcionales lineales en y El hecho de que para todos implica que para todos ^[9] y en consecuencia, que y ^[10]${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$

La asignación define un operador biyectivo ^[10] -lineal cuyo inverso es la función definida por la asignación que envía al funcional lineal definido por La parte real de es y la biyección es un operador -lineal, es decir que y para todos y ^[10] De manera similar para la parte imaginaria, la asignación induce una biyección -lineal cuyo inverso es la función definida por enviando al funcional lineal en definido por${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$${\displaystyle L_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

Esta relación fue descubierta por Henry Löwig en 1934 (aunque generalmente se le atribuye a F. Murray) ^[11] y puede generalizarse a extensiones finitas arbitrarias de un cuerpo de forma natural. Tiene muchas consecuencias importantes, algunas de las cuales se describirán a continuación.

Supongamos que es una función lineal con parte real y parte imaginaria${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

Entonces, si y sólo si , si y sólo si${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico . Entonces es continuo si y solo si su parte real es continua, si y solo si la parte imaginaria de es continua. Es decir, o los tres de y son continuos o ninguno es continuo. Esto sigue siendo cierto si la palabra "continuo" se reemplaza por la palabra " acotado ". En particular, si y solo si donde el primo denota el espacio dual continuo del espacio . ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$

Sea Si para todos los escalares de longitud unitaria (que significa ) entonces ^{[prueba 1] [12]} De manera similar, si denota la parte compleja de entonces implica Si es un espacio normado con norma y si es la bola unitaria cerrada, entonces los supremos anteriores son las normas del operador (definidas de la manera usual) de y de modo que ^[12] Esta conclusión se extiende a la declaración análoga para polares de conjuntos balanceados en espacios vectoriales topológicos generales .${\displaystyle B\subseteq X.}$${\displaystyle uB\subseteq B}$${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |u|=1}$ $${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle iB\subseteq B}$$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$${\displaystyle \varphi _{i}}$ $${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$

• Si es un espacio de Hilbert complejo con un producto interno (complejo) que es antilineal en su primera coordenada (y lineal en la segunda), entonces se convierte en un espacio de Hilbert real cuando se le dota de la parte real de Explícitamente, este producto interno real en se define por para todos y induce la misma norma en que porque para todos los vectores La aplicación del teorema de representación de Riesz a (resp. a ) garantiza la existencia de un vector único (resp. ) tal que (resp. ) para todos los vectores El teorema también garantiza que y Se verifica fácilmente que Ahora y las igualdades anteriores implican que que es la misma conclusión a la que se llegó anteriormente.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$

A continuación, todos los espacios vectoriales están sobre los números reales o los números complejos.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Si es un espacio vectorial topológico , el espacio de funcionales lineales continuos (el dual continuo ) se suele denominar simplemente espacio dual. Si es un espacio de Banach , entonces también lo es su dual (continuo). Para distinguir el espacio dual ordinario del espacio dual continuo, el primero se denomina a veces espacio dual algebraico . En dimensiones finitas, todo funcional lineal es continuo, por lo que el dual continuo es lo mismo que el dual algebraico, pero en dimensiones infinitas el dual continuo es un subespacio propio del dual algebraico.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Una función lineal f en un espacio vectorial topológico X (no necesariamente localmente convexo ) es continua si y solo si existe una seminorma continua p en X tal que ^[13] ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Las funciones lineales continuas tienen propiedades interesantes para el análisis : una función lineal es continua si y sólo si su núcleo está cerrado, ^[14] y una función lineal continua no trivial es una función abierta , incluso si el espacio vectorial (topológico) no está completo. ^[15]

Un subespacio vectorial de se llama maximal si (que significa y ) y no existe un subespacio vectorial de tal que Un subespacio vectorial de es maximal si y solo si es el núcleo de algún funcional lineal no trivial en (es decir, para algún funcional lineal en que no sea idénticamente 0 ). Un hiperplano afín en es una traducción de un subespacio vectorial maximal. Por linealidad, un subconjunto de es un hiperplano afín si y solo si existe algún funcional lineal no trivial en tal que ^[11] Si es un funcional lineal y es un escalar entonces Esta igualdad se puede usar para relacionar conjuntos de diferentes niveles de Además, si entonces el núcleo de se puede reconstruir a partir del hiperplano afín mediante${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq X}$${\displaystyle M\subseteq X}$${\displaystyle M\neq X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M=\ker f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$${\displaystyle \ker f=H-H.}$

Dos funciones lineales cualesquiera con el mismo núcleo son proporcionales (es decir, múltiplos escalares entre sí). Este hecho se puede generalizar al siguiente teorema.

Si f es una función lineal no trivial en X con núcleo N , satisface y U es un subconjunto equilibrado de X , entonces si y solo si para todo ^[15]${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=1,}$${\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }$${\displaystyle |f(u)|<1}$${\displaystyle u\in U.}$

Cualquier funcional lineal (algebraico) en un subespacio vectorial puede extenderse a todo el espacio; por ejemplo, los funcionales de evaluación descritos anteriormente pueden extenderse al espacio vectorial de polinomios en todos los subespacios. Sin embargo, esta extensión no siempre puede realizarse manteniendo continua la funcional lineal. La familia de teoremas de Hahn-Banach proporciona condiciones bajo las cuales se puede realizar esta extensión. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo ${\displaystyle X'.}$

Para cualquier subconjunto H los siguientes son equivalentes: ^[19]${\displaystyle X',}$

1. H es equicontinuo ;
2. H está contenido en el polar de algún vecindario deen X ;${\displaystyle 0}$
3. el (pre)polar de H es un vecindario de en X ;${\displaystyle 0}$

Si H es un subconjunto equicontinuo de entonces los siguientes conjuntos también son equicontinuos: el cierre débil-* , la envoltura equilibrada , la envoltura convexa y la envoltura convexa equilibrada . ^[19] Además, el teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinuo de es débil-* compacto (y por lo tanto que todo subconjunto equicontinuo débil-* relativamente compacto). ^{[20] [19]}${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$

• Mapa lineal discontinuo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Funcional lineal positivo  : espacio vectorial ordenado con un orden parcialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Forma multilineal  : mapa de múltiples vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

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