Ley circuital de Ampère

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v t e

En el electromagnetismo clásico , la ley circuital de Ampère (que no debe confundirse con la ley de fuerza de Ampère ) ^[1] relaciona la circulación de un campo magnético alrededor de un bucle cerrado con la corriente eléctrica que pasa a través del bucle.

James Clerk Maxwell la derivó usando hidrodinámica en su artículo publicado en 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza ". ^[2] En 1865 generalizó la ecuación para aplicarla a corrientes variables en el tiempo agregando el término de corriente de desplazamiento , lo que resultó en la forma moderna de la ley, a veces llamada ley de Ampère-Maxwell , ^{[3] [4] [5]} que es una de las ecuaciones de Maxwell que forman la base del electromagnetismo clásico .

En 1820, el físico danés Hans Christian Ørsted descubrió que una corriente eléctrica crea un campo magnético a su alrededor, cuando notó que la aguja de una brújula junto a un cable que transportaba corriente giraba de manera que la aguja quedaba perpendicular al cable. ^{[6] [7]} Investigó y descubrió las reglas que gobiernan el campo alrededor de un cable recto que transportaba corriente: ^[8]

• Las líneas del campo magnético rodean el cable que transporta corriente.
• Las líneas del campo magnético se encuentran en un plano perpendicular al cable.
• Si se invierte la dirección de la corriente, se invierte la dirección del campo magnético.
• La intensidad del campo es directamente proporcional a la magnitud de la corriente.
• La intensidad del campo en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia del punto al cable.

Esto dio lugar a una gran cantidad de investigaciones sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo. André-Marie Ampère investigó la fuerza magnética entre dos cables que transportaban corriente y descubrió la ley de fuerza de Ampère . En la década de 1850, el físico matemático escocés James Clerk Maxwell generalizó estos resultados y otros en una única ley matemática. La forma original de la ley circuital de Maxwell, que derivó ya en 1855 en su artículo "Sobre las líneas de fuerza de Faraday" ^[9] basándose en una analogía con la hidrodinámica, relaciona los campos magnéticos con las corrientes eléctricas que los producen. Determina el campo magnético asociado con una corriente dada, o la corriente asociada con un campo magnético dado.

La ley circuital original sólo se aplica a una situación magnetostática , a corrientes continuas y constantes que fluyen en un circuito cerrado. Para sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley original (tal como se presenta en esta sección) debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell (ver más abajo).

La ley circuital original se puede escribir en varias formas diferentes, que en última instancia son todas equivalentes:

• Una "forma integral" y una "forma diferencial". Las formas son exactamente equivalentes y están relacionadas por el teorema de Kelvin-Stokes (ver la sección de "prueba" más abajo).
• Formas que utilizan unidades del SI y aquellas que utilizan unidades del CGS . Otras unidades son posibles, pero poco frecuentes. En esta sección se utilizarán unidades del SI; las unidades del CGS se analizarán más adelante.
• Formas que utilizan campos magnéticos B o H. Estas dos formas utilizan la densidad de corriente total y la densidad de corriente libre, respectivamente. Los campos B y H están relacionados por la ecuación constitutiva : B = μ ₀ H en materiales no magnéticos donde μ ₀ es la constante magnética .

La forma integral de la ley circuital original es una integral lineal del campo magnético alrededor de una curva cerrada C (arbitraria pero que debe ser cerrada). La curva C, a su vez, limita una superficie S por la que pasa la corriente eléctrica (de nuevo arbitraria pero no cerrada, ya que ningún volumen tridimensional está encerrado por S ) y encierra la corriente. El enunciado matemático de la ley es una relación entre la circulación del campo magnético alrededor de un camino (integral lineal) debido a la corriente que pasa por ese camino encerrado (integral de superficie). ^{[10] [11]}

En términos de corriente total (que es la suma de la corriente libre y la corriente ligada), la integral de línea del campo magnético B (en teslas , T) alrededor de la curva cerrada C es proporcional a la corriente total I _enc que pasa a través de una superficie S (encerrada por C ). En términos de corriente libre, la integral de línea del campo magnético H (en amperios por metro , A·m ⁻¹ ) alrededor de la curva cerrada C es igual a la corriente libre If _{,enc que} pasa a través de una superficie S. ^{[ aclaración necesaria ]}

Formas de la ley circuital original escritas en unidades del SI

	Forma integral	Forma diferencial
Utilizando el campo B y la corriente total	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }}$	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$
Utilizando el campo H y la corriente libre	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {f,enc} }}$	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }}$

• J es la densidad de corriente total (en amperios por metro cuadrado, A·m ⁻² ),
• J _f es solo la densidad de corriente libre,
• ∮ _C es la integral de línea cerrada alrededor de la curva cerrada C ,
• ∬ _S denota una integral de superficie sobre la superficie S limitada por la curva C ,
• · es el producto escalar del vector ,
• d l es un elemento infinitesimal (un diferencial ) de la curva C (es decir, un vector con magnitud igual a la longitud del elemento de línea infinitesimal y dirección dada por la tangente a la curva C )
• d S es el área vectorial de un elemento infinitesimal de la superficie S (es decir, un vector con magnitud igual al área del elemento infinitesimal de la superficie y dirección normal a la superficie S. La dirección de la normal debe corresponder con la orientación de C por la regla de la mano derecha); consulte a continuación para obtener una explicación más detallada de la curva C y la superficie S.
• ∇ × es el operador curl .

Hay una serie de ambigüedades en las definiciones anteriores que requieren aclaración y elección de una convención.

1. En primer lugar, tres de estos términos están asociados con ambigüedades de signo: la integral de línea ∮ _C podría dar la vuelta al bucle en cualquier dirección (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario); el área vectorial d S podría apuntar en cualquiera de las dos direcciones normales a la superficie; e I _enc es la corriente neta que pasa a través de la superficie S , es decir, la corriente que pasa en una dirección, menos la corriente en la otra dirección, pero cualquiera de las direcciones podría elegirse como positiva. Estas ambigüedades se resuelven con la regla de la mano derecha : con la palma de la mano derecha hacia el área de integración y el dedo índice apuntando a lo largo de la dirección de la integración de línea, el pulgar extendido apunta en la dirección que debe elegirse para el área vectorial d S . Además, la corriente que pasa en la misma dirección que d S debe contarse como positiva. La regla de agarre de la mano derecha también se puede utilizar para determinar los signos.
2. En segundo lugar, hay infinitas superficies posibles S que tienen la curva C como su borde. (Imagínese una película de jabón en un bucle de alambre, que puede deformarse soplando sobre la película). ¿Cuál de esas superficies se debe elegir? Si el bucle no se encuentra en un solo plano, por ejemplo, no hay una opción obvia. La respuesta es que no importa: en el caso magnetostático, la densidad de corriente es solenoidal (ver la siguiente sección), por lo que el teorema de divergencia y la ecuación de continuidad implican que el flujo a través de cualquier superficie con borde C , con la misma convención de signos, es el mismo. En la práctica, uno generalmente elige la superficie más conveniente (con el borde dado) para integrar.

La corriente eléctrica que surge en las situaciones más sencillas de los libros de texto se clasificaría como "corriente libre" (por ejemplo, la corriente que pasa a través de un cable o una batería) . Por el contrario, la "corriente ligada" surge en el contexto de materiales a granel que se pueden magnetizar y/o polarizar (todos los materiales pueden hacerlo hasta cierto punto).

Cuando se magnetiza un material (por ejemplo, colocándolo en un campo magnético externo), los electrones permanecen ligados a sus respectivos átomos, pero se comportan como si estuvieran orbitando alrededor del núcleo en una dirección determinada, creando una corriente microscópica. Cuando se juntan las corrientes de todos estos átomos, crean el mismo efecto que una corriente macroscópica, circulando perpetuamente alrededor del objeto magnetizado. Esta corriente de magnetización J _M es una contribución a la "corriente ligada".

La otra fuente de corriente ligada es la carga ligada . Cuando se aplica un campo eléctrico, las cargas ligadas positivas y negativas pueden separarse a lo largo de distancias atómicas en materiales polarizables y, cuando las cargas ligadas se mueven, la polarización cambia, creando otra contribución a la "corriente ligada", la corriente de polarización J _P .

La densidad de corriente total J debida a las cargas libres y ligadas es entonces:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}$

siendo J _f   la densidad de corriente "libre" o de "conducción".

Toda corriente es fundamentalmente la misma, microscópicamente. Sin embargo, a menudo hay razones prácticas para querer tratar la corriente ligada de forma diferente a la corriente libre. Por ejemplo, la corriente ligada suele originarse en dimensiones atómicas, y uno puede querer aprovechar una teoría más simple destinada a dimensiones mayores. El resultado es que la ley circuital de Ampère más microscópica, expresada en términos de B y la corriente microscópica (que incluye corrientes libres, de magnetización y de polarización), a veces se expresa en la forma equivalente a continuación en términos de H y la corriente libre solamente. Para una definición detallada de corriente libre y corriente ligada, y la prueba de que las dos formulaciones son equivalentes, vea la sección "prueba" a continuación.

Hay dos cuestiones importantes relacionadas con la ley circuital que requieren un análisis más detallado. En primer lugar, hay una cuestión relacionada con la ecuación de continuidad para la carga eléctrica. En el cálculo vectorial, la identidad para la divergencia de un rotacional establece que la divergencia del rotacional de un campo vectorial siempre debe ser cero. Por lo tanto,

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,}$

y por lo tanto la ley circuital de Ampère original implica que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,}$

es decir que la densidad de corriente es solenoidal .

Pero en general, la realidad sigue la ecuación de continuidad para la carga eléctrica :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,}$

que no es cero para una densidad de carga variable en el tiempo. Un ejemplo se da en un circuito de condensadores donde existen densidades de carga variables en el tiempo en las placas. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

En segundo lugar, existe un problema relacionado con la propagación de las ondas electromagnéticas. Por ejemplo, en el espacio libre , donde

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,}$

La ley circuital implica que

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,}$

es decir que el campo magnético es irrotacional , pero para mantener la consistencia con la ecuación de continuidad para la carga eléctrica , debemos tener

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Para tratar estas situaciones, la contribución de la corriente de desplazamiento debe agregarse al término de corriente en la ley circuital.

James Clerk Maxwell concibió la corriente de desplazamiento como una corriente de polarización en el mar de vórtices dieléctricos, que utilizó para modelar el campo magnético hidrodinámica y mecánicamente. ^[17] Añadió esta corriente de desplazamiento a la ley circuital de Ampère en la ecuación 112 en su artículo de 1861 " Sobre las líneas físicas de fuerza ". ^[18]

En el espacio libre , la corriente de desplazamiento está relacionada con la tasa de cambio del campo eléctrico en el tiempo.

En un dieléctrico, la contribución anterior a la corriente de desplazamiento también está presente, pero una contribución importante a la corriente de desplazamiento está relacionada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. Aunque las cargas no pueden fluir libremente en un dieléctrico, las cargas en las moléculas pueden moverse un poco bajo la influencia de un campo eléctrico. Las cargas positivas y negativas en las moléculas se separan bajo el campo aplicado, lo que provoca un aumento en el estado de polarización, expresado como la densidad de polarización P . Un estado cambiante de polarización es equivalente a una corriente.

Ambas contribuciones a la corriente de desplazamiento se combinan definiendo la corriente de desplazamiento como: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,}$

donde el campo de desplazamiento eléctrico se define como:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,}$

donde ε ₀ es la constante eléctrica , ε _r la permitividad estática relativa y P es la densidad de polarización . Sustituyendo esta forma por D en la expresión de la corriente de desplazamiento, tiene dos componentes:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}$

El primer término del lado derecho está presente en todas partes, incluso en el vacío. No implica ningún movimiento real de carga, pero tiene asociado un campo magnético, como si fuera una corriente real. Algunos autores aplican el nombre de corriente de desplazamiento sólo a esta contribución. ^[19]

El segundo término en el lado derecho es la corriente de desplazamiento tal como la concibió originalmente Maxwell, asociada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico.

La explicación original de Maxwell para la corriente de desplazamiento se centró en la situación que se produce en medios dieléctricos. En la era moderna posterior al éter, el concepto se ha ampliado para aplicarse a situaciones en las que no hay medios materiales presentes, por ejemplo, al vacío entre las placas de un condensador de vacío en carga . La corriente de desplazamiento se justifica hoy en día porque cumple varios requisitos de una teoría electromagnética: predicción correcta de campos magnéticos en regiones donde no fluye corriente libre; predicción de la propagación de ondas de campos electromagnéticos; y conservación de la carga eléctrica en casos en los que la densidad de carga varía con el tiempo. Para una discusión más amplia, consulte Corriente de desplazamiento .

A continuación, se amplía la ecuación circuital incluyendo la corriente de polarización, solucionando así la aplicabilidad limitada de la ley circuital original.

Al tratar las cargas libres por separado de las cargas ligadas, la ecuación que incluye la corrección de Maxwell en términos del campo H es (se utiliza el campo H porque incluye las corrientes de magnetización, por lo que J _M no aparece explícitamente, véase el campo H y también la Nota): ^[20]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

(forma integral), donde H es el campo magnético H (también llamado "campo magnético auxiliar", "intensidad del campo magnético" o simplemente "campo magnético"), D es el campo de desplazamiento eléctrico y J _f es la corriente de conducción encerrada o la densidad de corriente libre . En forma diferencial,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}$

Por otra parte, tratando todas las cargas en el mismo pie de igualdad (sin tener en cuenta si son cargas ligadas o libres), la ecuación generalizada de Ampère, también llamada ecuación de Maxwell-Ampère, está en forma integral (véase la sección de "prueba" a continuación):

En forma diferencial,

En ambas formas, J incluye la densidad de corriente de magnetización ^[21], así como las densidades de corriente de conducción y polarización. Es decir, la densidad de corriente en el lado derecho de la ecuación de Ampère-Maxwell es:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,}$

donde la densidad de corriente J _D es la corriente de desplazamiento y J es la contribución de la densidad de corriente realmente debida al movimiento de cargas, tanto libres como ligadas. Debido a que ∇ ⋅  D = ρ , el problema de continuidad de carga con la formulación original de Ampère ya no es un problema. ^[22] Debido al término en ε ₀ ⁠∂ mi/∂​⁠ , ahora es posible la propagación de ondas en el espacio libre.

Con la incorporación de la corriente de desplazamiento, Maxwell pudo plantear (correctamente) la hipótesis de que la luz era una forma de onda electromagnética . Véase la ecuación de onda electromagnética para un análisis de este importante descubrimiento.

Prueba de que las formulaciones de la ley circuital en términos de corriente libre son equivalentes a las formulaciones que involucran corriente total

En esta prueba, demostraremos que la ecuación

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

es equivalente a la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$

Nótese que sólo estamos tratando con las formas diferenciales, no con las formas integrales, pero eso es suficiente ya que las formas diferenciales e integrales son equivalentes en cada caso, según el teorema de Kelvin-Stokes .

Introducimos la densidad de polarización P , que tiene la siguiente relación con E y D :

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.}$

A continuación, introducimos la densidad de magnetización M , que tiene la siguiente relación con B y H :

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M} }$

y la siguiente relación con la corriente límite:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} },\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} ,}$

se llama densidad de corriente de magnetización , y

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}},}$

es la densidad de corriente de polarización. Tomando la ecuación para B :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }.\end{aligned}}}$

En consecuencia, refiriéndonos a la definición de la corriente límite:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\end{aligned}}}$

como se iba a demostrar.

En unidades cgs , la forma integral de la ecuación, incluida la corrección de Maxwell, se lee

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

donde c es la velocidad de la luz .

La forma diferencial de la ecuación (de nuevo, incluida la corrección de Maxwell) es

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}$

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5.ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.

• Medios relacionados con la ley de Ampere en Wikimedia Commons
• MISN-0-138 Ley de Ampere ( archivo PDF ) de Kirby Morgan para el Proyecto PHYSNET.
• MISN-0-145 La ecuación de Ampere-Maxwell; corriente de desplazamiento (archivo PDF) por JS Kovacs para el Proyecto PHYSNET.
• Una teoría dinámica del campo electromagnético Artículo de Maxwell de 1864