Infinitesimal

En matemáticas , un número infinitesimal es una cantidad distinta de cero que está más cerca de 0 que cualquier número real distinto de cero . La palabra infinitesimal proviene de una palabra acuñada en latín moderno del siglo XVII, infinitesimus , que originalmente se refería al elemento " infinito - eth " en una secuencia .

Los infinitesimales no existen en el sistema de números reales estándar, pero sí existen en otros sistemas numéricos, como el sistema de números surrealistas y el sistema de números hiperreales , que pueden considerarse como números reales aumentados con cantidades infinitesimales e infinitas; los aumentos son recíprocos entre sí.

Los números infinitesimales se introdujeron en el desarrollo del cálculo , en el que la derivada se concibió por primera vez como un cociente de dos cantidades infinitesimales. Esta definición no se formalizó rigurosamente . A medida que el cálculo se fue desarrollando, los infinitesimales fueron reemplazados por límites , que se pueden calcular utilizando los números reales estándar.

Los infinitesimales recuperaron popularidad en el siglo XX con el desarrollo del análisis no estándar y los números hiperreales por parte de Abraham Robinson , que, después de siglos de controversia, demostró que era posible un tratamiento formal del cálculo infinitesimal. A continuación, los matemáticos desarrollaron los números surrealistas, una formalización relacionada con los números infinitos e infinitesimales que incluyen tanto los números cardinales como los ordinales hiperreales , que es el cuerpo ordenado más grande .

Vladimir Arnold escribió en 1990:

En la actualidad, en la enseñanza del análisis no es muy común hablar de cantidades infinitesimales, por lo que los estudiantes actuales no dominan plenamente este lenguaje. No obstante, sigue siendo necesario dominarlo. ^[1]

La idea crucial ^{[ ¿de quién? ]} para hacer que los infinitesimales fueran entidades matemáticas factibles fue que aún podían conservar ciertas propiedades como el ángulo o la pendiente , incluso si estas entidades eran infinitamente pequeñas. ^[2]

Los infinitesimales son un ingrediente básico en el cálculo desarrollado por Leibniz , incluyendo la ley de continuidad y la ley trascendental de homogeneidad . En el lenguaje común, un objeto infinitesimal es un objeto que es más pequeño que cualquier medida factible, pero no de tamaño cero, o tan pequeño que no se puede distinguir de cero por ningún medio disponible. Por lo tanto, cuando se usa como adjetivo en matemáticas, infinitesimal significa infinitamente pequeño, más pequeño que cualquier número real estándar. Los infinitesimales a menudo se comparan con otros infinitesimales de tamaño similar, como al examinar la derivada de una función. Se suma un número infinito de infinitesimales para calcular una integral .

El concepto de infinitesimales fue introducido originalmente alrededor de 1670 por Nicolaus Mercator o Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[3] Arquímedes utilizó lo que eventualmente llegó a ser conocido como el método de indivisibles en su obra El método de los teoremas mecánicos para encontrar áreas de regiones y volúmenes de sólidos. ^[4] En sus tratados formales publicados, Arquímedes resolvió el mismo problema utilizando el método de agotamiento . El siglo XV vio el trabajo de Nicolás de Cusa , desarrollado aún más en el siglo XVII por Johannes Kepler , en particular, el cálculo del área de un círculo al representarlo como un polígono de lados infinitos. El trabajo de Simon Stevin sobre la representación decimal de todos los números en el siglo XVI preparó el terreno para el continuo real. El método de indivisibles de Bonaventura Cavalieri condujo a una extensión de los resultados de los autores clásicos. El método de los indivisibles se relacionaba con las figuras geométricas como si estuvieran compuestas de entidades de codimensión 1. ^{[ aclaración necesaria ] Los infinitesimales de} John Wallis se diferenciaban de los indivisibles en que descomponían las figuras geométricas en bloques de construcción infinitamente delgados de la misma dimensión que la figura, preparando el terreno para los métodos generales del cálculo integral. Explotó un infinitesimal denotado 1/∞ en los cálculos de área.

El uso de infinitesimales por parte de Leibniz se basó en principios heurísticos, como la ley de continuidad: lo que tiene éxito para los números finitos tiene éxito también para los números infinitos y viceversa; y la ley trascendental de homogeneidad que especifica procedimientos para reemplazar expresiones que involucran cantidades no asignables, por expresiones que involucran solo cantidades asignables. El siglo XVIII vio el uso rutinario de infinitesimales por matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange . Augustin-Louis Cauchy explotó los infinitesimales tanto al definir la continuidad en su Cours d'Analyse como al definir una forma temprana de una función delta de Dirac . Mientras Cantor y Dedekind desarrollaban versiones más abstractas del continuo de Stevin, Paul du Bois-Reymond escribió una serie de artículos sobre continuos enriquecidos con infinitesimales basados ​​en tasas de crecimiento de funciones. El trabajo de Du Bois-Reymond inspiró tanto a Émile Borel como a Thoralf Skolem . Borel vinculó explícitamente el trabajo de du Bois-Reymond con el trabajo de Cauchy sobre las tasas de crecimiento de los infinitesimales. Skolem desarrolló los primeros modelos no estándar de aritmética en 1934. Una implementación matemática tanto de la ley de continuidad como de los infinitesimales fue lograda por Abraham Robinson en 1961, quien desarrolló un análisis no estándar basado en trabajos anteriores de Edwin Hewitt en 1948 y Jerzy Łoś en 1955. Los hiperreales implementan un continuo enriquecido con infinitesimales y el principio de transferencia implementa la ley de continuidad de Leibniz. La función de la parte estándar implementa la adecuación de Fermat .

La noción de cantidades infinitamente pequeñas fue discutida por la Escuela Eleática . El matemático griego Arquímedes (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.), en El método de los teoremas mecánicos , fue el primero en proponer una definición lógicamente rigurosa de los infinitesimales. ^[5] Su propiedad arquimediana define un número x como infinito si satisface las condiciones | x | > 1, | x | > 1 + 1, | x | > 1 + 1 + 1, ..., e infinitesimal si x ≠ 0 y un conjunto similar de condiciones se cumple para x y los recíprocos de los números enteros positivos. Se dice que un sistema numérico es arquimediano si no contiene miembros infinitos o infinitesimales.

El matemático inglés John Wallis introdujo la expresión 1/∞ en su libro de 1655 Tratado sobre las secciones cónicas . El símbolo, que denota el recíproco o inverso de  ∞ , es la representación simbólica del concepto matemático de un infinitesimal. En su Tratado sobre las secciones cónicas , Wallis también analiza el concepto de una relación entre la representación simbólica del infinitesimal 1/∞ que introdujo y el concepto de infinito para el que introdujo el símbolo ∞. El concepto sugiere un experimento mental de sumar un número infinito de paralelogramos de ancho infinitesimal para formar un área finita. Este concepto fue el predecesor del método moderno de integración utilizado en el cálculo integral . Los orígenes conceptuales del concepto del infinitesimal 1/∞ se remontan al filósofo griego Zenón de Elea , cuya paradoja dicotómica de Zenón fue el primer concepto matemático que consideró la relación entre un intervalo finito y un intervalo que se aproxima al de un intervalo de tamaño infinitesimal.

Los infinitesimales fueron objeto de controversias políticas y religiosas en la Europa del siglo XVII, incluida una prohibición de los infinitesimales emitida por los clérigos en Roma en 1632. ^[6]

Antes de la invención del cálculo, los matemáticos podían calcular líneas tangentes utilizando el método de adecuación de Pierre de Fermat y el método de normales de René Descartes . Existe un debate entre los académicos sobre si el método era de naturaleza infinitesimal o algebraica. Cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo , hicieron uso de infinitesimales, fluxiones de Newton y diferenciales de Leibniz . El uso de infinitesimales fue atacado como incorrecto por el obispo Berkeley en su obra El analista . ^[7] Los matemáticos, científicos e ingenieros continuaron usando infinitesimales para producir resultados correctos. En la segunda mitad del siglo XIX, el cálculo fue reformulado por Augustin-Louis Cauchy , Bernard Bolzano , Karl Weierstrass , Cantor , Dedekind y otros utilizando la definición (ε, δ) del límite y la teoría de conjuntos . Mientras que los seguidores de Cantor, Dedekind y Weierstrass buscaron librar el análisis de los infinitesimales, y sus aliados filosóficos como Bertrand Russell y Rudolf Carnap declararon que los infinitesimales son pseudoconceptos , Hermann Cohen y su escuela de Marburgo del neokantismo buscaron desarrollar una lógica funcional de los infinitesimales. ^[8] El estudio matemático de los sistemas que contienen infinitesimales continuó a través del trabajo de Levi-Civita , Giuseppe Veronese , Paul du Bois-Reymond y otros, a lo largo de finales del siglo XIX y el siglo XX, como lo documentó Philip Ehrlich (2006). En el siglo XX, se descubrió que los infinitesimales podían servir como base para el cálculo y el análisis (ver números hiperreales ).

Al ampliar los números reales para incluir cantidades infinitas e infinitesimales, uno normalmente desea ser lo más conservador posible al no cambiar ninguna de sus propiedades elementales. Esto garantiza que aún estén disponibles tantos resultados familiares como sea posible. Normalmente, elemental significa que no hay cuantificación sobre conjuntos , sino solo sobre elementos. Esta limitación permite afirmaciones de la forma "para cualquier número x..." Por ejemplo, el axioma que establece "para cualquier número  x , x  + 0 =  x " seguiría aplicándose. Lo mismo es cierto para la cuantificación sobre varios números, por ejemplo, "para cualquier número  x e y , xy  =  yx ". Sin embargo, las afirmaciones de la forma "para cualquier conjunto  S  de números..." pueden no ser aplicables. La lógica con esta limitación en la cuantificación se conoce como lógica de primer orden .

El sistema de números extendido resultante no puede concordar con los números reales en todas las propiedades que se pueden expresar por cuantificación sobre conjuntos, porque el objetivo es construir un sistema no arquimediano, y el principio de Arquímedes se puede expresar por cuantificación sobre conjuntos. Se puede extender de manera conservadora cualquier teoría que incluya números reales, incluida la teoría de conjuntos, para incluir los infinitesimales, simplemente agregando una lista infinitamente numerable de axiomas que afirmen que un número es menor que 1/2, 1/3, 1/4, etc. De manera similar, no se puede esperar que la propiedad de completitud se mantenga, porque los números reales son el único cuerpo ordenado completo hasta el isomorfismo.

Podemos distinguir tres niveles en los que un sistema numérico no arquimediano podría tener propiedades de primer orden compatibles con las de los reales:

1. Un cuerpo ordenado obedece a todos los axiomas usuales del sistema de números reales que pueden enunciarse en lógica de primer orden. Por ejemplo, se cumple el axioma de conmutatividad x  +  y  =  y  +  x .
2. Un cuerpo real cerrado tiene todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales, independientemente de si se toman habitualmente como axiomáticas, para enunciados que involucran las relaciones básicas de cuerpo ordenado +, × y ≤. Esta es una condición más fuerte que obedecer los axiomas de cuerpo ordenado. Más específicamente, se incluyen propiedades adicionales de primer orden, como la existencia de una raíz para cada polinomio de grado impar. Por ejemplo, cada número debe tener una raíz cúbica .
3. El sistema podría tener todas las propiedades de primer orden del sistema de números reales para enunciados que involucren cualquier relación (sin importar si esas relaciones pueden expresarse utilizando +, × y ≤). Por ejemplo, tendría que haber una función seno que esté bien definida para entradas infinitas; lo mismo es cierto para cada función real.

Los sistemas de la categoría 1, en el extremo débil del espectro, son relativamente fáciles de construir pero no permiten un tratamiento completo del análisis clásico utilizando infinitesimales en el espíritu de Newton y Leibniz. Por ejemplo, las funciones trascendentales se definen en términos de procesos limitantes infinitos y, por lo tanto, normalmente no hay forma de definirlas en lógica de primer orden. Si aumentamos la fuerza analítica del sistema pasando a las categorías 2 y 3, encontramos que el tono del tratamiento tiende a volverse menos constructivo y se hace más difícil decir algo concreto sobre la estructura jerárquica de los infinitos y los infinitesimales.

Un ejemplo de la categoría 1 anterior es el campo de series de Laurent con un número finito de términos de potencia negativa. Por ejemplo, la serie de Laurent que consiste únicamente en el término constante 1 se identifica con el número real 1, y la serie que sólo tiene el término lineal  x se considera el infinitesimal más simple, a partir del cual se construyen los demás infinitesimales. Se utiliza el ordenamiento de diccionario, que es equivalente a considerar que las potencias superiores de  x son despreciables en comparación con las potencias inferiores. David O. Tall ^[9] se refiere a este sistema como los superreales, que no deben confundirse con el sistema de números superreales de Dales y Woodin. Dado que una serie de Taylor evaluada con una serie de Laurent como argumento sigue siendo una serie de Laurent, el sistema se puede utilizar para realizar cálculos sobre funciones trascendentales si son analíticas. Estos infinitesimales tienen propiedades de primer orden diferentes a las de los reales porque, por ejemplo, el infinitesimal básico  x no tiene raíz cuadrada.

El campo de Levi-Civita es similar a la serie de Laurent, pero es algebraicamente cerrado. Por ejemplo, el infinitesimal básico x tiene una raíz cuadrada. Este campo es lo suficientemente rico como para permitir que se realice una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún pueden representarse en una computadora en el mismo sentido en que los números reales pueden representarse en punto flotante. ^[10]

El campo de transseries es más grande que el campo de Levi-Civita. ^[11] Un ejemplo de transserie es:

${\displaystyle e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},}$

donde para efectos de ordenamiento x se considera infinito.

Los números surrealistas de Conway pertenecen a la categoría 2, excepto que forman una clase propia y no un conjunto. ^[12] Son un sistema diseñado para ser lo más rico posible en diferentes tamaños de números, pero no necesariamente por conveniencia al hacer análisis, en el sentido de que cada campo ordenado es un subcampo de los números surrealistas. ^[13] Hay una extensión natural de la función exponencial a los números surrealistas. ^{[14] : cap. 10}

La técnica más extendida para manejar infinitesimales son los hiperreales, desarrollados por Abraham Robinson en la década de 1960. Pertenecen a la categoría 3 anterior, habiendo sido diseñados de esa manera para que todo el análisis clásico pueda transferirse desde los reales. Esta propiedad de poder transferir todas las relaciones de manera natural se conoce como el principio de transferencia , demostrado por Jerzy Łoś en 1955. Por ejemplo, la función trascendental sin tiene una contraparte natural *sin que toma una entrada hiperreal y da una salida hiperreal, y de manera similar el conjunto de números naturales tiene una contraparte natural *sin , que contiene enteros finitos e infinitos. Una proposición como se transfiere a los hiperreales como .${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0}$${\displaystyle \forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0}$

El sistema numérico superreal de Dales y Woodin es una generalización de los hiperreales. Es diferente del sistema superreal definido por David Tall .

En álgebra lineal , los números duales extienden los reales mediante la adición de un infinitesimal, el nuevo elemento ε con la propiedad ε ² = 0 (es decir, ε es nilpotente ). Todo número dual tiene la forma z = a + b ε, donde a y b son números reales unívocamente determinados.

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Esta aplicación se puede generalizar a polinomios de n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial de n dimensiones.

La geometría diferencial sintética o el análisis infinitesimal suave tienen sus raíces en la teoría de categorías . Este enfoque se aparta de la lógica clásica utilizada en las matemáticas convencionales al negar la aplicabilidad general de la ley del medio excluido , es decir, no ( a ≠ b ) no tiene por qué significar a = b . Se puede definir entonces un infinitesimal nilcuadrado o nilpotente . Este es un número x donde x ² = 0 es verdadero, pero x = 0 no necesita ser verdadero al mismo tiempo. Dado que la lógica de fondo es la lógica intuicionista , no está inmediatamente claro cómo clasificar este sistema con respecto a las clases 1, 2 y 3. Primero habría que desarrollar análogos intuicionistas de estas clases.

Cauchy utilizó un infinitesimal para escribir una función delta de tipo Dirac, infinitamente alta y estrecha, que satisface varios artículos en 1827 (véase Laugwitz, 1989). Cauchy definió un infinitesimal en 1821 (Cours d'Analyse) en términos de una secuencia que tiende a cero. Es decir, una secuencia nula de este tipo se convierte en un infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot .${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \delta _{\alpha }}$${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Los enfoques modernos de teoría de conjuntos permiten definir infinitesimales a través de la construcción de ultrapotencia , donde una secuencia nula se convierte en un infinitesimal en el sentido de una clase de equivalencia módulo una relación definida en términos de un ultrafiltro adecuado . El artículo de Yamashita (2007) contiene bibliografía sobre las funciones delta de Dirac modernas en el contexto de un continuo enriquecido con infinitesimales proporcionado por los hiperreales .

El método de construcción de infinitesimales del tipo que se utiliza en el análisis no estándar depende del modelo y de qué conjunto de axiomas se utilice. Aquí se consideran sistemas en los que se puede demostrar la existencia de infinitesimales.

En 1936 Maltsev demostró el teorema de compacidad . Este teorema es fundamental para la existencia de los infinitesimales, ya que demuestra que es posible formalizarlos. Una consecuencia de este teorema es que si hay un sistema numérico en el que es cierto que para cualquier entero positivo n hay un número positivo x tal que 0 <  x  < 1/ n , entonces existe una extensión de ese sistema numérico en la que es cierto que existe un número positivo x tal que para cualquier entero positivo n tenemos 0 <  x  < 1/ n . La posibilidad de cambiar "para cualquier" y "existe" es crucial. La primera afirmación es cierta en los números reales tal como se da en la teoría de conjuntos ZFC  : para cualquier entero positivo n es posible encontrar un número real entre 1/ n y cero, pero este número real depende de n . Aquí, uno elige n primero, luego uno encuentra el x correspondiente . En la segunda expresión, el enunciado dice que hay una x (al menos una), elegida en primer lugar, que está entre 0 y 1/ n para cualquier n . En este caso , x es infinitesimal. Esto no es cierto en los números reales ( R ) dados por ZFC. No obstante, el teorema demuestra que hay un modelo (un sistema numérico) en el que esto es cierto. La pregunta es: ¿cuál es este modelo? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Existe solo un modelo de este tipo?

De hecho, hay muchas maneras de construir un conjunto de números ordenados linealmente y unidimensionales , pero fundamentalmente hay dos enfoques diferentes:

1. Ampliar el sistema numérico para que contenga más números que los números reales.
2. Ampliar los axiomas (o ampliar el lenguaje) de modo que la distinción entre infinitesimales y no infinitesimales pueda hacerse en los propios números reales.

En 1960, Abraham Robinson proporcionó una respuesta siguiendo el primer enfoque. El conjunto extendido se llama hiperreales y contiene números menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. El método puede considerarse relativamente complejo, pero demuestra que existen infinitesimales en el universo de la teoría de conjuntos ZFC. Los números reales se denominan números estándar y los nuevos hiperreales no reales se denominan no estándar .

En 1977, Edward Nelson proporcionó una respuesta siguiendo el segundo enfoque. Los axiomas extendidos son IST, que significa teoría de conjuntos internos o las iniciales de los tres axiomas adicionales: idealización, estandarización y transferencia. En este sistema, consideramos que el lenguaje se extiende de tal manera que podemos expresar hechos sobre los infinitesimales. Los números reales son estándar o no estándar. Un infinitesimal es un número real no estándar que es menor, en valor absoluto, que cualquier número real estándar positivo.

En 2006, Karel Hrbacek desarrolló una extensión del enfoque de Nelson en la que los números reales se estratifican en (infinitos) niveles; es decir, en el nivel más burdo no hay infinitesimales ni números ilimitados. Los infinitesimales están en un nivel más fino y también hay infinitesimales con respecto a este nuevo nivel, y así sucesivamente.

Los libros de texto de cálculo basados ​​en infinitesimales incluyen el clásico Calculus Made Easy de Silvanus P. Thompson (que lleva el lema "Lo que un tonto puede hacer, otro puede" ^[15] ) y el texto alemán Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie de R. Neuendorff. ^[16] Los trabajos pioneros basados ​​en los infinitesimales de Abraham Robinson incluyen textos de Stroyan (que datan de 1972) y Howard Jerome Keisler ( Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach ). Los estudiantes se relacionan fácilmente con la noción intuitiva de una diferencia infinitesimal 1-" 0,999... ", donde "0,999..." difiere de su significado estándar como el número real 1, y se reinterpreta como un decimal extendido infinito que es estrictamente menor que 1. ^{[17] [18]}

Otro texto de cálculo elemental que utiliza la teoría de los infinitesimales desarrollada por Robinson es Infinitesimal Calculus de Henle y Kleinberg, publicado originalmente en 1979. ^[19] Los autores introducen el lenguaje de la lógica de primer orden y demuestran la construcción de un modelo de primer orden de los números hiperreales. El texto proporciona una introducción a los conceptos básicos del cálculo integral y diferencial en una dimensión, incluidas las secuencias y series de funciones. En un apéndice, también tratan la extensión de su modelo a los hiperhiperreales y demuestran algunas aplicaciones para el modelo extendido.

Un texto de cálculo elemental basado en el análisis infinitesimal suave es Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2.ª edición. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.

Un texto de cálculo más reciente que utiliza infinitesimales es Dawson, C. Bryan (2022), Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue, Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

En un sentido relacionado pero algo diferente, que evolucionó a partir de la definición original de "infinitesimal" como una cantidad infinitamente pequeña, el término también se ha utilizado para referirse a una función que tiende a cero. Más precisamente, el Cálculo avanzado de Loomis y Sternberg define la clase de funciones infinitesimales, , como un subconjunto de funciones entre espacios vectoriales normados por${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle f:V\to W}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$,

así como dos clases relacionadas (ver notación Big-O ) por${\displaystyle {\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\existe r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$, y

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}| |f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$. ^[20]

Las inclusiones de conjuntos se cumplen en general. Que las inclusiones son adecuadas se demuestra mediante las funciones de valor real de una variable real , y : ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$${\displaystyle g:x\mapsto x}$${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$pero y .${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Como aplicación de estas definiciones, se define que una aplicación entre espacios vectoriales normados es diferenciable en si existe un [es decir, una aplicación lineal acotada ] tal que${\displaystyle F:V\to W}$${\displaystyle \alpha \en V}$${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V\to W}$

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

en un entorno de . Si existe tal mapa, es único; este mapa se llama diferencial y se denota por , ^[21] coincidiendo con la notación tradicional para la noción clásica (aunque lógicamente defectuosa) de un diferencial como un "pedazo" infinitamente pequeño de F . Esta definición representa una generalización de la definición habitual de diferenciabilidad para funciones con valores vectoriales de (subconjuntos abiertos de) espacios euclidianos.${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle dF_{\alpha}}$

Sea un espacio de probabilidad y sea . Una matriz de variables aleatorias se llama infinitesimal si para cada , tenemos: ^[22]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ como }}n\to \infty }$

La noción de matriz infinitesimal es esencial en algunos teoremas del límite central y se ve fácilmente por la monotonía del operador de expectativa que cualquier matriz que satisfaga la condición de Lindeberg es infinitesimal, desempeñando así un papel importante en el Teorema del límite central de Lindeberg (una generalización del Teorema del límite central ).